初中數(shù)學(xué)--培優(yōu)專題13-等腰三角形

1、9、等腰三角形【知識(shí)精讀】（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“

2、三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”。） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。

3、 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問(wèn)題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明線段或角的倍分問(wèn)題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來(lái)定?！痉诸惤馕觥?例1. 如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。 分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DMBC，所以想到連結(jié)BD，證BDED。因?yàn)锳BC是等邊三角形，D

4、BEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從而問(wèn)題得證。 證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn) 所以1ABC 又因?yàn)镃ECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點(diǎn) （等腰三角形三線合一定理）例2. 如圖，已知：中，D是BC上一點(diǎn)，且，求的度數(shù)。 分析：題中所要求的在中，但僅靠是無(wú)法求出來(lái)的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。 解：因?yàn)?，所?因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所以（等邊?duì)等角） 而 所以 所以 又因?yàn)?即 所以 即求

5、得 說(shuō)明1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。 2. 注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。 例3. 已知：如圖，中，于D。求證：。 分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與的關(guān)系。 證明：過(guò)點(diǎn)A作于E， 所以（等腰三角形的三線合一性質(zhì)） 因?yàn)?又，所以 所以（直角三角形兩銳角互余） 所以（同角的余角相等） 即 說(shuō)明：

6、1. 作等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2. 對(duì)線段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線”等輔助線的添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”。因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出的等角等。4、中考題型： 1.如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè) 分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè)，故選擇C。 2.）已知

7、：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 證明：因?yàn)?，所?又因?yàn)?所以 又D是BC的中點(diǎn)，所以 所以 所以，所以 說(shuō)明：證法二：連結(jié)AD，通過(guò) 證明即可5、題形展示： 例1. 如圖，中，BD平分。求證：。 分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結(jié)DE，易得，則有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出。 證明一：在BC上截取，連結(jié)DE、DF 在和中， 又 而 即分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng)BD到E，使DEAD，這樣BDAD=BD+DE=BE，只需證明BEBC，由于，只需證明易證，故作

8、的角平分線，則有，進(jìn)而證明，從而可證出。 證明二：延長(zhǎng)BD到E，使DEAD，連結(jié)CE，作DF平分交BC于F。 由證明一知： 則有 DF平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 說(shuō)明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對(duì) 2. 如圖，是等邊三角形，則的度數(shù)是_。3. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平

9、分線上. 4. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長(zhǎng)線于E，求證：?！驹囶}答案】 1. B 2. 分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。 解：因?yàn)槭堑冗吶切?所以 因?yàn)?，所?所以 在中，因?yàn)?所以，所以 所以 3. 分析：首先將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。已知：如圖，在中，D、E分別為AC、AB邊中點(diǎn)，BD、CE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。 分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵谥校裕ǖ冗厡?duì)等角）又因?yàn)镈、E分別為AC、A

10、B的中點(diǎn)，所以（中線定義）在和 中，所以所以（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以（等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分線上。說(shuō)明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上”正確地理解成“OBOC”是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開放題：“ABC中，ABAC，D、E分別為AC、AB上的中點(diǎn)，BD、CE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4. 分析：此題沒(méi)有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，所以 所以（等腰三角形三線合一性質(zhì)）。所以（鄰補(bǔ)角