難點(diǎn)25圓錐曲線綜合題doc

1、難點(diǎn) 25圓錐曲線綜合題圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應(yīng)用，與圓錐曲線有關(guān)的定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應(yīng)用題和探索性問題，圓錐曲線知識(shí)的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識(shí)和三角、復(fù)數(shù)等代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形認(rèn)識(shí)能力，要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算，推理轉(zhuǎn)換， 并在運(yùn)算過程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整 .難點(diǎn)磁場x2y 2( )若橢圓 a2b2 =1( a b 0)與直線 l：x+y=1 在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求 a、b 所滿足的條件，并畫出點(diǎn)P(a,b)的存在區(qū)域 .案例探究例 1已知圓 k 過定點(diǎn) A( a,0)(a0), 圓心 k

2、在拋物線 C： y2=2ax 上運(yùn)動(dòng)， MN 為圓 k在 y 軸上截得的弦 .(1)試問 MN 的長是否隨圓心k 的運(yùn)動(dòng)而變化？(2)當(dāng) |OA|是 |OM |與 |ON|的等差中項(xiàng)時(shí)，拋物線C 的準(zhǔn)線與圓 k 有怎樣的位置關(guān)系？命題意圖：本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識(shí)及學(xué)生綜合、靈活處理問題的能力，屬級題目 .知識(shí)依托：弦長公式，韋達(dá)定理，等差中項(xiàng)，絕對值不等式，一元二次不等式等知識(shí).錯(cuò)解分析：在判斷d 與 R 的關(guān)系時(shí)， x0 的范圍是學(xué)生容易忽略的 .技巧與方法：對第(2) 問，需將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為判斷d=x0+ a 與 R= x02a 的大小 .解： (1)設(shè)圓心 k(x0 ,y0),且 y

3、02=2 ax0,2圓 k 的半徑 R=|AK |=( x0a )2y02x02a2|MN |=2 R2x022 x02a 2x02=2a(定值 )弦 MN 的長不隨圓心k 的運(yùn)動(dòng)而變化 .(2)設(shè) M(0,y1)、 N(0,y2 )在圓 k： (x x0)2+(y y0)2=x02+a2 中，令 x=0，得 y2 2y0y+y02 a2=0 y1y2=y02 a2 |OA|是 |OM |與 |ON |的等差中項(xiàng) . |OM |+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA |=2a.又 |MN |=|y1 y2|=2a |y1|+|y2 |=|y1 y2| y1y2 0，因此 y0 2 a20,即

4、 2ax0 a20. 0 x0 a .2圓心 k 到拋物線準(zhǔn)線距離d=x0+ a a,而圓 k 半徑 R= x02a2 a.2且上兩式不能同時(shí)取等號，故圓k 必與準(zhǔn)線相交 .例 2如圖，已知橢圓x 2y21 的直線與橢圓m=1(2 m 5),過其左焦點(diǎn)且斜率為m 1及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、 C、 D，設(shè) f(m)=|AB| |CD|(1)求 f(m)的解析式；(2)求 f(m)的最值 .命題意圖： 本題主要考查利用解析幾何的知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值， 體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合.屬級題目 .知識(shí)依托： 直線與圓錐曲線的交點(diǎn)， 韋達(dá)定理， 根的判別式， 利用單調(diào)性求函數(shù)

5、的最值 .錯(cuò)解分析：在第(1)問中，要注意驗(yàn)證當(dāng) 2 m5 時(shí)，直線與橢圓恒有交點(diǎn) .技巧與方法：第(1)問中，若注意到 xA,xD 為一對相反數(shù)，則可迅速將 |AB| |CD|化簡 .第(2) 問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法.a、b、c，則 a2 =m,b2=m 1,c2=a2 b2=1解：(1)設(shè)橢圓的半長軸、 半短軸及半焦距依次為橢圓的焦點(diǎn)為 F 1( 1,0),F2(1,0).故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準(zhǔn)線方程為 x=± a 2,即 x=± m.c A(m,m+1),D(m,m+1)yx 1,消去 y 得： (m 1)x2+m(x+1)2=m(m 1)

6、考慮方程組 x 2y 2mm 11整理得： (2m1)x2+2mx+2m m2=0=4m2 4(2m 1)(2m m2)=8 m(m 1)22m 2m 5, 0 恒成立， xB+xC=.2m1又 A、 B、 C、 D 都在直線 y=x+1 上 |AB|=|xB xA |=2 =(xB xA )·2,|CD|= 2(xD xC) |AB| |CD |=2 |xB xA+xD xC|=2 |(xB+xC) (xA+xD)|又 xA= m,xD =m, xA+xD=0 |AB| |CD |=|xB+xC|·2 =|2m|·2 =22m(2m 5)12m2m故 f(m)=

7、 2 2m ， m 2,5 .2m(2)由 f(m)=22m ，可知 f(m)= 222m21m又2121 212m5 f(m) 10 2 , 4 2 93故 f(m)的最大值為4 2 ，此時(shí) m=2;f(m)的最小值為 10 2 ，此時(shí) m=5.39例 3艦 A 在艦 B 的正東 6 千米處，艦C 在艦 B 的北偏西30°且與 B 相距 4 千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動(dòng)物，某時(shí)刻A 發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號，4 秒后 B、 C 同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號，A 發(fā)射麻醉炮彈 .設(shè)艦與動(dòng)物均為靜止的，動(dòng)物信號的傳播速度為1 千米 /秒，炮彈的速度是203g3千米 /秒，其中 g 為重力加速度，若不計(jì)空氣阻力與艦高

8、，問艦A 發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？命題意圖：考查圓錐曲線在實(shí)際問題中的應(yīng)用，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力，屬級題目 .知識(shí)依托： 線段垂直平分線的性質(zhì)， 雙曲線的定義，兩點(diǎn)間的距離公式，斜拋運(yùn)動(dòng)的曲線方程 .錯(cuò)解分析：答好本題，除要準(zhǔn)確地把握好點(diǎn)P 的位置 (既在線段BC 的垂直平分線上，又在以 A、 B 為焦點(diǎn)的拋物線上)，還應(yīng)對方位角的概念掌握清楚.技巧與方法：通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時(shí)間差來建立方程.解：取 AB 所在直線為x 軸，以 AB 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由題意可知， A、

9、B、 C 艦的坐標(biāo)為 (3， 0)、 ( 3， 0)、 ( 5， 23 ).由于 B、C 同時(shí)發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號，記動(dòng)物所在位置為P，則 |PB|=|PC |.于是 P 在線段 BC 的中垂線上，易求得其方程為3 x 3y+7 3 =0.又由 A、 B 兩艦發(fā)現(xiàn)動(dòng)物信號的時(shí)間差為4秒，知 |PB| |PA|=4，故知 P 在雙曲線x2y 24=1 的右支上 .5直線與雙曲線的交點(diǎn)為(8， 5 3 )，此即為動(dòng)物P 的位置，利用兩點(diǎn)間距離公式，可得|PA|=10.據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式，得kPA=3 ,所以直線PA 的傾斜角為60°,于是艦A 發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30° .設(shè)發(fā)

10、射炮彈的仰角是 ，初速度20 3g，則2v0 sin10v0=g,3v0 cos sin2 = 10g3,仰角 =30° .v022錦囊妙計(jì)解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、 圖形與幾何性質(zhì)， 注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識(shí)的重新組合，以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的 .(1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式(組 )求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域.(2) 對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義， 可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條

11、件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( )已知 A、 B、 C 三點(diǎn)在曲線y=x 上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1 m 4)，當(dāng) ABC 的面積最大時(shí)， m 等于 ()A.3B.95D.34C.22設(shè)，且 2則 22u29 2 的最小值為 ()2.()u,vR,v0,v) +()|u|(uvA.4B.2C.8D.22二、填空題3.( )A 是橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)，O 是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使OPA= ,則橢圓離心率的范圍是 _.24.( )一輛卡車高3 米，寬1.6 米，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若

12、拱口寬為a 米，則能使卡車通過的a 的最小整數(shù)值是 _.5.( )已知拋物線 y=x2 1 上一定點(diǎn) B( 1， 0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、Q，當(dāng) P 在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)， BP PQ，則 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.三、解答題6.( )已知直線 y=kx 1與雙曲線 x2 y2=1 的左支交于 A、 B 兩點(diǎn)，若另一條直線 l 經(jīng)過點(diǎn) P(2， 0)及線段 AB 的中點(diǎn) Q，求直線 l 在 y 軸上的截距 b 的取值范圍 .7.( )已知拋物線 C： y2=4x.(1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C 的焦點(diǎn) F 及準(zhǔn)線 l 分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn) B 與焦點(diǎn) F 連線中點(diǎn) P 的軌跡方程；

13、(2)若 M(m,0)是 x 軸上的一定點(diǎn)， Q 是 (1) 所求軌跡上任一點(diǎn)，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.8.( )如圖，為半圓， AB 為半圓直徑， O 為半圓圓心，且 OD AB， Q 為線段 OD 的中點(diǎn)，已知 |AB|=4，曲線 C 過Q 點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 在曲線 C 上運(yùn)動(dòng)且保持 |PA|+|PB|的值不變 .(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C 的方程；(2)過 D 點(diǎn)的直線 l 與曲線 C 相交于不同的兩點(diǎn) M、 N，且 M 在 D、 N 之間，設(shè)DM=DN，求 的取值范圍 .學(xué)法指導(dǎo)怎樣學(xué)好圓錐曲線圓錐曲線將幾何與代數(shù)進(jìn)行了完美結(jié)合.借助純代數(shù)的

14、解決手段研究曲線的概念和性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從數(shù)學(xué)家笛卡爾開創(chuàng)了坐標(biāo)系那天就已經(jīng)開始.高考中它依然是重點(diǎn)，主客觀題必不可少，易、中、難題皆有.為此需要我們做到：1.重點(diǎn)掌握橢圓、 雙曲線、 拋物線的定義和性質(zhì).這些都是圓錐曲線的基石，高考中的題目都涉及到這些內(nèi)容 .2.重視求曲線的方程或曲線的軌跡，此處作為高考解答題的命題對象難度較大.所以要掌握住一般方法：定義法、直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等.3.加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí).此處一直為高考的熱點(diǎn) .這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長、 垂直問題， 因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想

15、和設(shè)而不求法與弦長公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決.這樣加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)各種能力的考查 .4.重視對數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行歸納提煉，達(dá)到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程.(1)方程思想解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達(dá)定理進(jìn)行整體處理，就簡化解題運(yùn)算量.(2)用好函數(shù)思想方法對于圓錐曲線上的一些動(dòng)點(diǎn)， 在變化過程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量， 從而使一些線的長度及a,b,c,e 之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時(shí)就很有效.(3)掌握坐標(biāo)法坐標(biāo)法是解決有關(guān)圓錐曲線問題的基本方法.近幾年都考查了坐標(biāo)法，因此要加強(qiáng)坐標(biāo)法的訓(xùn)練 .參考答案難點(diǎn)磁場x

16、y1222222x 2y 2解：由方程組消去 y,整理得 (a +b )x 2ax+a (1 b )=0a 2b21則橢圓與直線l在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件是方程在區(qū)間(0， 1）內(nèi)有兩相異實(shí)根，令f(x)=( a2+b2)x2 2a2x+a2(1 b2),則有4a 24a 2 ( a2b2 )(1 b2 ) 0f ( 0)a2(1b2)0a 2b210b1f (1)b2a 2a2(1b2 ) 00a1a 201ab0b2a 2a b0同時(shí)滿足上述四個(gè)條件的點(diǎn)P(a,b)的存在區(qū)域?yàn)橄聢D所示的陰影部分：殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、 1.解析：由題意知A(1， 1)， B(m,m ),C(4,2

17、).直線 AC 所在方程為 x 3y+2=0,點(diǎn) B 到該直線的距離為d= | m3m2 | .10S ABC1| AB | d110| m3m 2|1| m 3m 2 |1| (m3) 21|22102224 m (1,4),當(dāng)m3時(shí)， SABC 有最大值，此時(shí) m= 9.24答案： B2.解析： 考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓 x2+y2=2 上的點(diǎn)與雙曲線xy=9 上的點(diǎn)的距離的最小值 .答案： C二、 3.解析：設(shè)橢圓方程為x 2y 222a2b2 =1(a b 0),以 OA 為直徑的圓：x ax+y =0,兩式聯(lián)立消y 得a 2b2222 22a,由韋達(dá)定理a 2x ax+b=0.

18、即 e x ax+b =0,該方程有一解 x2 ,一解為x2=aa,0 x2 a，即 0 a a a2 e 1.e2e22答案：2 e 124.解析：由題意可設(shè)拋物線方程為x2= ay,當(dāng) x= a 時(shí)，y= a ；當(dāng) x=0.8 時(shí)，y= 0.64.24a由題意知 a0.64 3,即 a2 12a 2.56 0.解得 a 的最小整數(shù)為 13.4a答案： 135.解析：設(shè)P(t,t2 1)，Q(s,s2 1) BP PQ, t 21 (s21)(t 21)= 1,t1st即 t2+( s 1)t s+1=0 t R,必須有=(s 1)22+4( s1) 0.即 s +2 s 30,解得 s 3

19、 或 s 1.答案： ( ,3 1,+)三、 6.解：設(shè) A(x1,y1） ,B(x2,y2).ykx1由y 2,得 (1 k2） x2+2 kx 2=0,x21又直線 AB 與雙曲線左支交于 A、B 兩點(diǎn)，1k 20(2k) 28(1 k 2 )0故有 x1 x22k0k 212x1 x21k2 0解得2 k 1x1x2k, y0kx011設(shè) Q( x0 , y0 ), 則x021k 221ky0011k 21l的斜率為k2k 2x022k2k 21l的方程為 y1( x2).2k 2k2令 x0,則 b2,又k (2, 1)2k 2k22k2k 2( 1,22),即b2或b2.27.解：由拋物線y2 =4x,得焦點(diǎn) F(1,0),準(zhǔn)線 l： x= 1.(1)設(shè) P(x,y)，則 B(2x 1,2y),橢圓中心 O ,則 |FO | |BF|=e,又設(shè)點(diǎn) B 到 l 的距離為 d, 則|BF|d=e, |FO | |BF|=|BF|d,即 (2x 2)2+(2 y)2=2x(2x 2),化簡得 P 點(diǎn)軌跡方程為 y2=x 1(x1).(2) 設(shè) Q(x,y), 則 |MQ|= ( x m) 2y2( x m) 2x 1 x (m1)2m5 ( x 1