高考數(shù)學一輪復習 第二章函數(shù)210函數(shù)模型及其應用教學案 理新人教A版

1、.2.10函數(shù)模型及其應用考綱要求1了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用1幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)(2)三種增

2、長型函數(shù)之間增長速度的比較指數(shù)函數(shù)yax(a1)與冪函數(shù)yxn(n0)在區(qū)間(0，)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內ax會小于xn，但由于ax的增長_xn的增長，因而總存在一個x0，當xx0時有_對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)與冪函數(shù)yxn(n0)對數(shù)函數(shù)ylogax(a1)的增長速度，不論a與n值的大小如何總會_yxn的增長速度，因而在定義域內總存在一個實數(shù)x0，使xx0時有_由可以看出三種增長型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)，但它們的增長速度不同，且不在同一個檔次上，因此在(0，)上，總會存在一個x0，使xx0時有_2解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順

3、數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題以上過程用框圖表示如下：1下列函數(shù)中，隨x的增大函數(shù)值增大速度最快的是()Ayex By100ln xCyx100 Dy100·2x22006年8月30日到銀行存入a元，若年利率為x，且按復利計算，到2014年8月30日可取回()Aa(1x)8元Ba(1x)9元Ca(1x8)元Da(1x)8元3在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)：x1.99345.16.12y1.5

4、4.047.51218.01現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()Ay2x2 By(x21)Cylog3x Dy2x24有一批材料可以建成200 m的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣的材料隔成三個面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形最大面積為_(圍墻厚度不計)5里氏震級M的計算公式為：Mlg Alg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為_級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_倍一、

5、一次函數(shù)與分段函數(shù)模型【例11】已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時的速度從A地前往B地，到達B地停留1小時后再以50千米/時的速度返回A地，把汽車離開A地的距離x(千米)表示為時間t(時)的函數(shù)，則下列正確的是()Ax60t50t(0t6.5)BxCxDx【例12】根據(jù)市場調查，某商品在最近40天內的價格P與時間t的關系用圖(1)中的一條折線表示，銷售量Q與時間t的關系用圖(2)中的線段表示(tN*)(1)分別寫出圖(1)表示的價格與時間的函數(shù)關系Pf(t)，圖(2)表示的銷售量與時間的函數(shù)關系Qg(t)；(2)這種商品的銷售額S(銷售量與價格之積)的最大值及此時的時間方法

6、提煉1在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關系是一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升(自變量的系數(shù)大于0)或直線下降(自變量的系數(shù)小于0)2在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數(shù)如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數(shù)提醒：分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起要注意各段變量的范圍，特別是端點請做演練鞏固提升5二、二次函數(shù)模型【例2】某加工廠需定期購買材料，已知每千克原材料的價格為1.5元，每次購買原材料需支付運費600元，每千克原材料每天的保管費用為0.03

7、元，該廠每天需要消耗原材料400千克，每次購買的原材料當天即開始使用(即有400千克不需要保管)(1)設該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內總的保管費用y1關于x的函數(shù)關系式；(2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最少，并求出這個最少總費用方法提煉1有些問題的兩變量之間是二次函數(shù)關系，如面積問題、利潤問題、產量問題等構建二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)圖象與單調性解決提醒：在解決二次函數(shù)的應用問題時，一定要注意定義域2形如f(x)kx(ka0)的函數(shù)，實際是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的“和”函數(shù)，根據(jù)其圖象特點，通常稱其為“對勾函數(shù)”，這種函數(shù)模型在現(xiàn)實生活中也

8、有著廣泛的應用常常利用“基本不等式”求解，有時也利用函數(shù)單調性求解請做演練鞏固提升1三、指數(shù)函數(shù)模型【例3】某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題：(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關系式；(2)計算10年以后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人(精確到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210)方法提煉1指數(shù)函數(shù)模型，常與增長率相結合進行考查，在實際問題中有人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示2應用指數(shù)函數(shù)模型時，關鍵

9、是對模型的判斷，先設定模型將有關數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型3ya(1x)n通常利用指數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)的性質求解4對于直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的特點要注意區(qū)分：直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢公司的利潤選擇直線上升或指數(shù)模型增長，而員工獎金選擇對數(shù)模型增長請做演練鞏固提升4函數(shù)模型應用解答題的規(guī)范解答【典例】(12分)請你設計一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中

10、的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點設AEFBx(cm)(1)某廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值規(guī)范解答：設包裝盒的高為h(cm)，底面邊長為a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(2分)(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，(4分)所以當x15時，S取得最大值(6分)(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)(8分)由V0得x0(舍)或x20.(9分)當x(0,20)時，V0

11、；當x(20,30)時，V0.所以當x20時，V取得極大值，也是最大值(11分)此時.即包裝盒的高與底面邊長的比值為.(12分)答題指導：1在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)忽視實際問題對變量x的限制即定義域(2)將側面積、容積求錯，從而造成后續(xù)的求解不正確2解決函數(shù)模型應用的解答題，還有以下幾點容易造成失分，在備考中要高度關注：(1)讀不懂實際背景，不能將實際問題轉化為函數(shù)模型(2)對涉及到的相關公式，記憶錯誤(3)在求解的過程中計算錯誤另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確地求解1某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數(shù)關系是y3 00020x0.1x2

12、(0x240，xN*)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是()A100臺 B120臺 C150臺 D180臺2某工廠采用高科技改革，在兩年內產值的月增長率都是a，則這兩年內第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率為()Aa121 B(1a)121Ca Da13已知y與x(x100)之間的部分對應關系如下表：x1112131415y則x和y可能滿足的一個關系式是_4一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定：駕駛員血液中的酒精

13、含量不得超過0.09 mg/mL，那么，一個喝了少量酒后的駕駛員，至少經(jīng)過_小時才能開車(精確到1小時)5某民營企業(yè)生產A，B兩種產品，根據(jù)市場調查與預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(注：利潤與投資單位：萬元)(1)分別將A，B兩種產品的利潤表示為投資x(萬元)的函數(shù)關系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A，B兩種產品的生產，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤為多少萬元？參考答案基礎梳理自測知識梳理1(2)快于axxn慢于logaxxnaxxnlogax基礎自測1A解析：在(0，)上，總存

14、在一個x0，使xx0時有axxnlogax(a1)，排除B，C.又e2，ex的增長速度大于100·2x的增長速度2A解析：由題意知一年后可取回a(1x)元，二年后可取回a(1x)2元，2014年8月30日可取回a(1x)8元3B解析：把表格中的數(shù)據(jù)代入選擇項的解析式中，易得最接近的一個函數(shù)是y(x21)42 500 m2解析：設矩形的長為x m，寬為m，則Sx·(x2200x)當x100時，Smax2 500 m2.5610 000解析：第一空，lg 1 000lg 0.0013(3)6，第二空，設9級地震時最大振幅為A1,5級地震時最大振幅為A2，則9lg A1(3)，5

15、lg A2(3)，所以A1106，A2102，10 000.考點探究突破【例11】D解析：依題意，函數(shù)為分段函數(shù)求出每一段上的解析式即可【例12】解：(1)Pf(t)Qg(t)，t1,40，tN*.(2)當1t20時，S2.tN*，t10或11時，Smax176.當20t40時，S(t41)t228t為減函數(shù)；當t20時，Smax161.而161176，當t10或11時，Smax176.【例2】解：(1)每次購買原材料后，當天用掉的400千克原材料不需要保管，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需要保管3天，第x天(也就是

16、下次購買原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x1)天每次購買的原材料在x天內的保管費用y1400×0.03×123(x1)6x26x.(2)由(1)可知，購買一次原材料的總費用為(6x26x6001.5×400x)元，購買一次原材料平均每天支付的總費用為y(6x26x600)1.5×4006x594.y2594714.當且僅當6x，即x10時取得等號該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用y最少，最少總費用為714元【例3】解：(1)1年后該城市人口總數(shù)為y100100×1.2%100×(11.2%)2年后該城

17、市人口總數(shù)為y100×(11.2%)100×(11.2%)×1.2%100×(11.2%)2.3年后該城市人口總數(shù)為y100×(11.2%)2100×(11.2%)2×1.2%100×(11.2%)3.x年后該城市人口總數(shù)為y100×(11.2%)x.所以該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關系是y100×(11.2%)x.(2)10年后人口總數(shù)為100×(11.2%)10112.7(萬)所以10年后該城市人口總數(shù)約為112.7萬(3)設x年后該城市人口將達到120萬人，即10

18、0(11.2%)x120，于是1.012x，xlog1.012log1.0121.215.315(年)大約15年后該城市人口總數(shù)將達到120萬人演練鞏固提升1C解析：設利潤為f(x)(萬元)，則f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 0000，又xN*，x150.2B解析：不妨設第一年8月份的產值為b，則9月份的產值為b(1a),10月份的產值為b(1a)2，依次類推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12個月，即一個時間間隔是1個月，這里跨過了12個月，故第二年8月份產值是b(1a)12.又由增長率的概念知，這兩年內的第二年某月的產值比第一年相應月產值的增長率為：(1a)121.3y(108x)2(x100)解析：將11,12,13,14,15對應的函數(shù)值分別寫成，分母成等差數(shù)列，由此可知分母an97(n11)(1)97n11108n.所以x和y可能滿足的一個關系式是y(108x)2(x100)45解析