723在第3章中,我們介紹了微分學的兩個基本概念導數(shù)與微分及其計算

1、 在第在第3章中，我們介紹了微分學的兩個基本概章中，我們介紹了微分學的兩個基本概念念導數(shù)與微分及其計算方法導數(shù)與微分及其計算方法. 本章以微分學基本本章以微分學基本定理定理微分中值定理為基礎，進一步介紹利用微分中值定理為基礎，進一步介紹利用導數(shù)研究函數(shù)及進行經(jīng)濟分析導數(shù)研究函數(shù)及進行經(jīng)濟分析. 第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值第七節(jié)第七節(jié) 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的凹凸性與拐點函數(shù)的凹凸性與拐點第八節(jié)第八節(jié) 導數(shù)在經(jīng)濟管理方面的應用導數(shù)在經(jīng)濟管理方面的應用 第二節(jié)第二節(jié) 洛比達法則洛比達法則

2、第三節(jié)第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理由第三章我們知道，導數(shù)的幾何意義表示曲線上該點由第三章我們知道，導數(shù)的幾何意義表示曲線上該點一條連續(xù)光滑的曲線弧，在一條連續(xù)光滑的曲線弧，在(a,b)內(nèi)可導，即在內(nèi)可導，即在(a,b)內(nèi)內(nèi)每一點都存在不垂直于每一點都存在不垂直于x軸的切線，函數(shù)在區(qū)間軸的切線，函數(shù)在區(qū)間a,b上上那么問題是，在區(qū)間（那么問題是，在區(qū)間（a,b）內(nèi)是否）內(nèi)是否存在一點存在一點，使得曲線在該點切線的平行于直線，使得曲線在該點切線的平行于直線ab?即即切線的斜率，下圖所示函數(shù)切線的斜率，下圖所示函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖像是上的圖像是的端點分別為的

3、端點分別為a,b.),(,)()()(baabafbffabxoy)(xfy ab一、羅爾（一、羅爾（rolle）定理定理 如果如果m = m, 那么那么f (x)在在 a, b 上為上為常數(shù)常數(shù), 而常數(shù)的導數(shù)為零而常數(shù)的導數(shù)為零, 故故(a, b)內(nèi)任內(nèi)任何一點都可作為何一點都可作為 . 定理定理1 1(rolle定理定理) 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連上連續(xù)續(xù), 在在(a, b)內(nèi)可導內(nèi)可導, 且且 f (a)= = f (b), 那么在那么在(a, b)內(nèi)至少有一內(nèi)至少有一點點),(ba 使得使得. 0)( f 證證 如圖如圖, , 由于由于f (x)在

4、閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 故必有最大值故必有最大值m和最小值和最小值m.)(xfy xyo ab圖圖4.1fxf()( ) 當當 x 0時時, 有有故故 f ( ) = 0.0()( )( )lim0;xfxffx ; 0)()(lim)(0 xfxffx由于由于 f (x)存在存在,所以所以).()(ff 如果如果 , 那么最大值與最小值至少有一個在那么最大值與最小值至少有一個在(a, b)內(nèi)取的內(nèi)取的. 不妨設不妨設 f ( ) = m . 故故 x, x (a,b),有有mm羅爾定理的幾何解釋羅爾定理的幾何解釋:0)(f觀察圖觀察圖4-2，函數(shù)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)

5、間a,b上的圖像是一條上的圖像是一條即有即有連續(xù)光滑的曲線弧，在連續(xù)光滑的曲線弧，在(a,b)內(nèi)可導，即在內(nèi)可導，即在(a,b)內(nèi)每一點內(nèi)每一點都存在不垂直于都存在不垂直于x軸的切線，軸的切線， 且且 f (a)= f (b),則可以發(fā)現(xiàn)則可以發(fā)現(xiàn)在曲線上的最高點和最低點處，在曲線上的最高點和最低點處， 曲線有水平切線，曲線有水平切線，ab12xyo)(xfy c32)(2xxxf).1)(3(xx,3 , 1上連續(xù)在 ,) 3 , 1(上可導在 ( 1)(3)0,ff),1(2)(xxf1, (1( 1,3) . 0)(f例例1 函數(shù)函數(shù)且有且有 因為因為故存在故存在使得使得 分別在什么范圍

6、？有幾個零點，這些零點的導數(shù)不求導數(shù)，判斷例)3)(2)(1()(2xxxxf0)3()2() 1 (fff上應用羅爾定理，、分別在對3 , 22 , 1 )(xf使得、至少存在)3 , 2()2 , 1 (21, 0)()(21ff兩個實根，為二次多項式，最多有又因為)(xf .)3 , 2()2 , 1 (,0)(內(nèi)和分別在區(qū)間只有兩個實根xf例例3 證明方程證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個小于的有且僅有一個小于的正實根正實根 .證證: 1) 存

7、在性存在性 .則則)(xf在在 0 , 1 上連續(xù)上連續(xù) , 且且由零點定理知存在由零點定理知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根.0 x2) 唯一性唯一性 .假設另有假設另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,之間在10, xx至少存在一點至少存在一點,.0)(f使但但矛盾矛盾, 故假設不真故假設不真!設設 注意注意：若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足：若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)其結(jié)論可能不成立論可能不成立.例如例如, 2,20,x在上除不連續(xù)外 滿足羅爾定理的一切條件;在上

8、除不連續(xù)外 滿足羅爾定理的一切條件;0,10,)(. 12 xxxxxf( 2 2)0.f但在，內(nèi)以上三例都找不到一點 ，使 （ ）但在，內(nèi)以上三例都找不到一點 ，使 （ ）2. ( ), 2 20f xxx在在，上上除除不不可可導導外外滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的一一切切條條件件; ;3. ( )1, 2,2,f xx在在上上除除端端點點函函數(shù)數(shù)值值不不等等外外滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的一一切切條條件件 ( (x) )滿足滿足rolle定理的條件定理的條件, 則在則在(a,b)內(nèi)至少存在內(nèi)至少存在一點一點 ,使得使得 ( ) = 0二、二、 拉格朗日（拉格朗日（lagange）中值）中值定

9、理定理 定理定理2 2(lagange定理定理) 如果如果 f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連上連續(xù)續(xù), 在在(a, b)內(nèi)可導內(nèi)可導,則則 (a, b)，使使)()()(abfafbf 證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)( )( )( )( ),f bf axf xxba ( )( )( )0,f bf afba 即即)()()(abfafbf 或或則則( )( )( )( ),bf aaf babbaab xoy)(xfy abcd (2)lagange定理精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的定理精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導數(shù)之間的關系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的

10、導數(shù)之間的關系.()( )()(01).f xxf xfxxx 左端左端 y = f (x + x) f (x)是函數(shù)的增量是函數(shù)的增量, 因此因此, lagange中值定理又稱中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.有兩點必須注意：有兩點必須注意：(1)定理中定理中f (b) f (a) =f ( )(b a), 當當b a時也成立時也成立.設設b =x+ x, a=x, 記記 = x+ x (0 1) 有有 在區(qū)間在區(qū)間i上任取兩點上任取兩點x1，x2 (x1x2), 由由 f (x) 在在i上的可導性，則在區(qū)間上的可導性，則在區(qū)間x1，x2上應用上應用lagange 中值定理可得中值定理可

11、得由假定，由假定，即即, 0)( f).()(12xfxf 因為因為x1，x2是是i 上任意兩點，所以上面的等式表明：上任意兩點，所以上面的等式表明： 推論推論1 1 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間i i上有上有f (x) 0, 則則 f (x)在在區(qū)間區(qū)間i i上是一個常數(shù)。上是一個常數(shù)。).()()()(211212xxxxfxfxf f (x)在區(qū)間在區(qū)間i i 上的函數(shù)值相等上的函數(shù)值相等, ,即即 f (x)在區(qū)間在區(qū)間i i上是一個上是一個常數(shù)。常數(shù)。( )( )fxg x推論推論2，則這兩個函數(shù)在（，則這兩個函數(shù)在（a,b）內(nèi)至多相差一個）內(nèi)至多相差一個常數(shù)常數(shù). 如果

12、函數(shù)如果函數(shù)f(x)與與g(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導數(shù)恒有內(nèi)的導數(shù)恒有例例4. 證明等式證明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設設,arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知由推論可知cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)常數(shù)) 令令 x = 0 , 得得.2c又又,2) 1(f故所證等式在定義域故所證等式在定義域 上成立上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗經(jīng)驗: 欲證欲證ix時時,)(0cxf只需證在只需證在 i 上上, 0)( xf,0ix 且.)(00cxf使證證( )ln(1),f xx設 設 例例5 50,ln(1).1xxxxx證證明明當當時時在在0, x上應用上應用lagrange定理定理, 知知 (0, x)，使使1ln(1)ln(10)(11).1xx ln(1).1xx ,11xxxx ln(1).1xxxx 即即而而從而從而三、三、cauchy定理定理如果函數(shù)如果函數(shù)( )( )f xf x及及滿滿足足（1）在閉區(qū)間）在閉區(qū)間,ba上連續(xù)；上連續(xù)；（2）在開區(qū)間）在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導；內(nèi)可導；（3）對任一）對任一( , ),( )0.xa b f x 那么在那么在),(ba內(nèi)至少有一點內(nèi)至少有一點, 使使等等式