差分方程例子Word版

1、第八章 差分方程模型 差分方程是解決離散時間問題的常用的數(shù)學(xué)方法，本章介紹幾個用差分方程建立的實際問題的數(shù)學(xué)模型。8.1個人住房抵押貸款隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,金融問題正越來越多地進(jìn)入普通市民的生活，貸款、保險、養(yǎng)老金和信用卡等都涉及金融問題，個人住房抵押貸款是其中最重要的一項。1998年12月,中國人民銀行公布了新的存、貸款利率水平,其中貸款利率如下表所列:表8.1 中國人民銀行貸款利率表貸款期限 半年 一年 三年五年五年以上利率 6.12 6.39 6.667.207.56當(dāng)貸款期處于表中所列相鄰年限之間時利率為對應(yīng)相鄰兩數(shù)中較大者。其后,上海商業(yè)銀行對個人住房商業(yè)性貸款利率作出相應(yīng)調(diào)整。表8.2

2、和表8.3分別列出了上海市個人住房商業(yè)抵押貸款年利率和商業(yè)抵押貸款(萬元)還款額的部分?jǐn)?shù)據(jù)(僅列出了五年)。表8.2 上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款利率表貸款期限 一年 二年 三年四年五年利率 6.12 6.225 6.3906.5256.660表8.3 上海市商業(yè)銀行住房抵押貸款分期付款表貸款期限 一年 二年 三年四年五年月還款（元） 到期一次還清本息總和（元） 10612.00 444.3610664.54 305.9911015.63 237.2611388.71196.4111784.71一個自然的問題是,表8.2和表8.3是如何依據(jù)中央人民銀行公布的存、貸款利率水平制定的？我們以商業(yè)貸款

3、10000元為例,一年期貸款的年利率為6.12,到期一次還本付息總計10612.00元,這很容易理解。然而二年期貸款的年利率為6.225,月還款數(shù)444.36元為本息和的二十四分之一,這后兩個數(shù)字究竟是怎樣產(chǎn)生的？是根據(jù)本息總額算出月還款額，還是恰好相反？讓我們稍微仔細(xì)一些來進(jìn)行分析。由于貸款是逐月歸還的,就有必要考察每個月欠款余額的情況。設(shè)貸款后第k個月時欠款余額為Ak元，月還款m元,則由Ak變化到Ak+1,除了還款額外,還有什么因素呢？無疑就是利息。但時間僅過了一個月,當(dāng)然應(yīng)該是月利率,設(shè)為r,從而得到=r -m或者Ak+1=(1+r)Ak-m , k=1，2 87 / 33(8.1)初時

4、條件A0=10000 (8.2)這就是問題的數(shù)學(xué)模型。其中月利率采用將年利率R=0.06255平均。即r=0.06255/12=0.00512125 (8.3)若m是已知的,則由(8.1)式可以求出Ak中的每一項,我們稱(8.1)式為一階差分方程。模型解法與討論（1）月還款額 二年期的貸款在24個月時還清,即A24=0 (8.4)為求m的值,設(shè) ，k=1,2, (8.5)易見于是導(dǎo)出Bk的表達(dá)式 Bk=B1(1+r)k-1, k=1,2, (8.6)由(8.5)式與(8.6)式得Ak-A0=B1+B2+Bk=B11+(1+r)+(1+r)k-1 =(A1-A0)=(1+r)A0-m-A0 從而

5、得到差分方程(8.1)的解為 Ak=A0(1+r)k-m(1+r)k-1/r, k=1,2, (8.7)將A24,A0,r的值和k=24代入得到m=444.36(元),與表8.3中的數(shù)據(jù)完全一致,這樣我們就了解了還款額的確定方法。當(dāng)然還款額表的制定依賴于年利率表,而后者又是怎樣制定的呢？盡管我們無法獲知銀行方面的各種考慮,但還是可以通過比較分析得出一些結(jié)論。首先注意表8.2商業(yè)性貸款利率中有兩個數(shù)據(jù)與中央銀行公布的表8.1中的數(shù)據(jù)相同,不過相應(yīng)的貸款年限則放寬了一檔:6.12是一年期,而在表8.1中是上一檔半年期,6.66是五年期而在表8.1中是上一檔三年期。其次再考察表8.2商業(yè)性貸款二、三

6、、四年期的利率,我們把這三個數(shù)字是如何得到的問題留給讀者。 依據(jù)這兩個結(jié)論,請讀者自己制定出住房商業(yè)性貸款直至二十年的利率表和還款額表。(2)還款周期我們看到個人住房貸款是采用逐月歸還的方法,雖然依據(jù)的最初利率是年利率。那么如果采用逐年歸還的方法,情況又如何呢？仍然以二年期貸款為例,顯然,只要對(8.7)式中的利率r代之以年利率R=0.06255,那么由k=2,A2=0,A0=10000,則可以求出年還款額應(yīng)為=5473.87(元)這樣本息和總額為2=10947.73(元)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出逐月還款的本息總額?？紤]到人們的收入一般都以月薪方式獲得,因此逐月歸還對于貸款者來說是比較合適的。讀者還可以討論縮

7、短貸款周期對于貸款本息總額的影響。（3）平衡點回到差分方程(8.1),若令A(yù)k+1=AK=A,可解出 A=m/r (8.8)稱之為差分方程的平衡點或稱之為不動點。顯然,當(dāng)初值A(chǔ)0=m/r時,將恒有Ak=m/r,k=0,1,。 在住房貸款的例子里,平衡點意味著如果貸款月利率r和月還款額m是固定的,則當(dāng)初貸款額稍大于或小于m/r時,從方程(8.1)的解的表達(dá)式(8.7)中容易看出，欠款額Ak隨著k的增加越來越遠(yuǎn)離m/r,這種情況下的平衡點稱為不穩(wěn)定的,對一般的差分方程Ak+1=f(Ak), k=0,1,2， (8.9)當(dāng)初始值稍大于或小于平衡點的值A(chǔ)時,若, (8.10)則稱A為穩(wěn)定的,否則稱A為

8、不穩(wěn)定的。判別平衡點A是否穩(wěn)定的一個方法是考察導(dǎo)數(shù): 當(dāng)<1時,A是穩(wěn)定的; 當(dāng)>1時,A是不穩(wěn)定的。在金融乃至經(jīng)濟(jì)等其它領(lǐng)域中,還有許多問題的數(shù)學(xué)模型都可以用差分方程來表達(dá)。下面再介紹幾個典型例子。8.2養(yǎng)老保險養(yǎng)老保險是與人們生活密切相關(guān)的一種保險類型。通常保險公司會提供多種方式的養(yǎng)老金計劃讓投保人選擇,在計劃中詳細(xì)列出保險費和養(yǎng)老金的數(shù)額。例如某保險公司的一份材料指出:在每月交費200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金的約定下,男子若25歲起投保,屆時月養(yǎng)老金2282元;若35歲起投保,月養(yǎng)老金1056元;若45歲起投保,月養(yǎng)老金420元。我們來考察三種情況所交保險費獲得的利率。設(shè)投保

9、人在投保后第k個月所交保險費及利息累計總額為Fk,那么很容易得到數(shù)學(xué)模型 (8.11) 其中,p,q分別是60歲前所交的月保險費和60歲起每月領(lǐng)的養(yǎng)老金數(shù)(單位: 元),r是所交保險金獲得的利率,N,M分別是投保起至停交保險費和至停領(lǐng)養(yǎng)老金的時間(單位:月).顯然M依賴于投保人的壽命,我們?nèi)≡摫ｋU公司養(yǎng)老金計劃所在地男性壽命的統(tǒng)計平均值75歲,以25歲投保為例,則有p0=200,q=2282;N=420,M=600而初始值F0=0,據(jù)此不難得到 (8.12)由此可得到關(guān)于r的方程如下 (1+r)M-(1+q/p)(1+r)M-N+q/p=0 (8.13)記x=1+r,且將已知數(shù)據(jù)代入,則只需求

10、解方程 x600-12.41x180+11.41=0 (8.14)由方程(8.14)求得x=1.00485, r=0.00485（非線性方程求近似解）。對于35歲起投保和45歲起投保的情況,求得保險金所獲得的月利率分別為0.00461和0.00413。8.3金融公司支付基金的流動金融機(jī)構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付,設(shè)立一筆總額5400萬的基金,分開放置在位于A城和B城的兩家公司,基金在平時可以使用,但每周末結(jié)算時必須確保總額仍然為5400萬。經(jīng)過相當(dāng)長的一段時期的現(xiàn)金流動,發(fā)現(xiàn)每過一周,各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還留在自己的公司內(nèi),而A城公司有10%支付基金流動到B城公司,B城公司則有12%支付

11、基金流動到A城公司。其初A城公司基金額為2600萬,B城公司基金為2800萬。按此規(guī)律,兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢如何?如果金融專家認(rèn)為每個公司的支付基金不能少于2200萬,那么是否需要在必要時調(diào)動基金?設(shè)第k+1周末結(jié)算時,A城公司B城公司的支付基金數(shù)分別為ak+1和bk+1(單位:萬元),那么有1.9 . (8.15)這是一個差分方程組,初始條件為a0=2600,b0=2800 (8.16)通過迭代,可以求出第周末時的ak和bk的數(shù)額,下面的表8.4列出了幾種情況下1至12周末兩公司的基金數(shù)。 表8.4（a） 的兩城支付基金表kak bkkak bk 1234562676.0 2724.0

12、2735.3 2664.727815 2618.52817.6 2582.42845.7 2554.32847.7 2532.37891011122884.8 2515.22898.1 2501.92908.5 2491.52916.7 2483.32923.0 2477.02927.9 2472.1 表8.4（b） 的兩城支付基金表kak bkkak bk 1234562832.0 2568.02857.0 2543.0 2876.4 2523.62891.6 2508.42903.5 2496.52912.7 2487.37891011122919.9 2480.12925.5 2474.

13、52929.9 2470.12933.3 2466.72936.0 2464.02938.1 2461.9 表8.4（c） 的兩城支付基金表kak bkkak bk 1234562988.0 24122978.6 2421.4 2971.3 2428.72965.6 2434.42961.2 2438.82957.7 2442.37891011122955.0 2445.02952.9 2447.12951.3 2448.72950.0 2450.02949.0 2451.02948.2 2451.8可以看出A城公司支付基金數(shù)在逐步增加,但增幅逐步減小;B城公司的基金變化正好相反.然而,ak是

14、否有上界,bk是否有下界?bk是否會小于2200?我們還是不能斷言。解決這個問題有許多方法,下面我們借助線性代數(shù)知識來處理這個問題,將(8.15)式寫成矩陣形式 (8.17)那么我們就可以得到 (8.18)利用正交變換（也可以利用矩陣迭代）,便可以圓滿地回答前面的問題。對于本例，當(dāng)充分大時，A城公司的支付基金為2945.8萬元，B城公司的支付基金為2454.2萬元。均滿足2200萬元的最低保證金要求。 8.4選舉問題西方國家的政治生活中,選舉是一件大事。隨著選民人數(shù)的變化，選舉的趨勢會是怎樣的？一直是各個政黨十分關(guān)心的問題。本節(jié)我們介紹用差分方程建立一個由三個政黨參加的選舉問題。考慮有三個政黨

15、參加每次的選舉，每次參加投票的選民人數(shù)保持不變。通常情況下，由于社會、經(jīng)濟(jì)、各黨的政治主張等多種因素的影響，原來投某黨票的選民可能改投其它政黨。為此，我們作如下假設(shè)：(1) 每次投A黨票的選民，下次投票時，分別有比例的選民投政黨的票，每次投B黨票的選民，下次投票時，分別有比例的選民投各政黨的票，每次投C黨票的選民，下次投票時，分別有比例的選民投各政黨的票； （2）表示第n次選舉時分別投各黨的選民人數(shù)。 每次投票的選民數(shù)變動情況見流程圖8.1。根據(jù)假設(shè),可以得到如下差分方程組 （8.19） 其中, 。 圖8.1 選民變動流程圖方程的平衡點滿足方程 （8.20）令上式可以表示為矩陣形式 （8.21

16、）如果給出問題的初始值，就可以利用遞推方法，求出任一次選舉時的選民投票情況。以下是幾個實例模擬，我們將結(jié)果放在表8.5中，供大家參考。（i）取 ，結(jié)果見表8.5（a）。 表8.5（a）n0 1 2 3 4 5 6 7 8ABC2220 22210 222167800 7790 778410000 10000 10000 222197781100002222077801000022221 22222 22222 222227779 7778 7778 777810000 10000 10000 10000(ii)取 ，結(jié)果見表8.5（b）。 表8.5（b）n0 1 2 3 4 5 6 7 8AB

17、 C13333 18000 20033 13333 11333 983313333 10667 10133210458928100272158084151000521870 22029 22116 22164 8129 7971 7884 7836 10001 10000 10000 10000 (iii) 取 ，結(jié)果見表8.5（c）。 表8.5（c）n0 1 2 3 4 5 6 7 8AB C10000 15500 1852520000 14500 1147510000 10000 10000201899811100002110488961000021607 21884 22036 2212

18、08393 8116 7964 7880 10000 10000 10000 10000 (iv) 取 ，結(jié)果見表8.5（d）。 表8.5（d）n0 1 2 3 4 5 6 7 8AB C20000 19000 2005020000 13000 103500 8000 96002094791339920215058511998421825 22003 22101 221568179 7998 7899 78449997 9999 10000 10000可以驗證，當(dāng)時，四組初值條件下，三個政黨的選票數(shù)將分別穩(wěn)定在22222、7778、10000。進(jìn)一步借助矩陣還可以證明，當(dāng)， ，如果總選民數(shù)為4

19、0000，最終三個政黨的選票數(shù)將分別穩(wěn)定在22222、7778、10000。我們還可以借助這個模型,分析選民數(shù)有變化的情況。8.5簡單的種群增長模型 假設(shè)在一個自然生態(tài)地區(qū)生長著一群鹿,在一段時間內(nèi),鹿群的增長受資源制約的因素較小。試預(yù)測鹿群的增長趨勢如何?下面將建立一個簡單的鹿群增長模型。假設(shè):（1）公、母鹿占群體總數(shù)的比例大致相等,所以本模型僅考慮母鹿的增長情況；（2）鹿群中母鹿的數(shù)量足夠大,因而可近似用實數(shù)來表示；（3）將母鹿分成兩組:一歲以下的稱為幼鹿組,其余的稱為成年組；（4）將時間離散化,每年觀察一次,分別用表示第n年的幼鹿數(shù)及成年鹿數(shù)，且假設(shè)各年的環(huán)境因素都是不變的;（5）分別用

20、b1,b2表示兩個年齡組鹿的出生率,用d1,d2表示其死亡率。出生率、死亡率為常數(shù)，記s1=1-d1, s2=1-d2;（6）鹿的數(shù)量不受自然資源的影響;（7）剛出生的幼鹿在哺乳期的存活率為s， t1=sb1, t2=sb2。根據(jù)以上假設(shè),建立模型如下 n=0,1, (8.22)或?qū)懗删仃囆问?(8.23)令un=, A=。則(8.23)式可表示為 (8.24)于是可得到un=Anu0也即 (8.25)其中x0,y0分別是初始時刻的幼鹿數(shù)與成年鹿數(shù)。的解法假如A可以對角化,先將A對角化,如不能對角化,則將其化成約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。對于本例,可作如下處理,令 得到特征方程 (8.26)判別式>0特

21、征方程(8.26)有兩個相異的實根,因此A可以對角化。對應(yīng)的特征向量分別為, 。由此得到 A= (8.27)因而An=代入(8.25)式得=也即 n (8.28)其中 (8.29)故解為 (8.30)最后,我們利用(8.30)式對下面一組數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證x0=800,t1=0.24,s1=0.62 ; y0=1000,t2=1.2,s2=0.75 。經(jīng)計算得 將這組數(shù)據(jù)代入（8.29）得 由（8.30）式得 x1，x2，x3，x 6=1.392，1.829，2.596，3.602，5.03，7.011,y1，y2，y3，y6=1.246, 1.798, 2.482, 3.471, 4.837, 6

22、.746,模型分析該模型沒有考慮資源的限制，所以當(dāng)鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時，模型需要修正。讀者可以作進(jìn)一步考慮。8.6 Leslie人口模型現(xiàn)在我們來建立一個簡單的離散的人口增長模型，借用前面提出的差分方程模型，僅考慮女性人口的發(fā)展變化。如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的兩組，則人口的年齡結(jié)構(gòu)無法刻劃，因此必須建立一個更精確的模型。20世紀(jì)40年代提出的Leslie人口模型，就是一個預(yù)測人口按年齡組變化的離散模型。模型假設(shè)(1) 將時間離散化，假設(shè)男女人口的性別比為1:1，因此本模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化。假設(shè)女性最大年齡為S歲，將其等間隔劃分成m個年齡段（不妨假設(shè)為的整數(shù)倍），每隔S

23、/m年觀察一次，不考慮同一時間間隔內(nèi)人口數(shù)量的變化;(2) 記ni（t）為第i個年齡組次觀察的女性總?cè)藬?shù)，記n（t）=n1（t），n2（t），n3（t），nm（t），T。第i年齡組女性生育率為bi（注：所謂女性生育率指生女率），女性死亡率為di，記si=1-di，假設(shè)bi，di不隨時間變化; (3) 不考慮生存空間等自然資源的制約,不考慮意外災(zāi)難等因素對人口變化的影響;(4) 生育率僅與年齡段有關(guān)，存活率也僅與年齡段有關(guān)。建立模型與求解根據(jù)以上假設(shè)，可得到方程 n1(t+1)= t i=1,2.,-1。 t+1寫成矩陣形式為 圖8.2存活率示意圖 n（t+1）=Ln（t），其中，L= （8.3

24、1）記n（0）=n1（0），n2（0），nm（0）T （8.32）假設(shè)n（0）和矩陣L已經(jīng)由統(tǒng)計資料給出，則n（t）=Ltn（0） t=1，2，為了討論女性人口年齡結(jié)構(gòu)的長遠(yuǎn)變化趨勢，我們先給出如下兩個條件：(i) si> 0，i=1，2，m-1;(ii) bi，i=1，2，m，且bi不全為零。易見，對于人口模型，這兩個條件是很容易滿足的。在條件（i）、（ii）下，下面的結(jié)果是成立的：定理8.1 L矩陣有唯一的單重正特征根，且對應(yīng)的一個特征向量為 =1，s1/，s1s2/，s1s2 sm-1/T （8.33）定理8.2 若是矩陣的任意一個特征根，則必有。定理8.3 若第一行中至少有兩個順

25、次的，則 （i）若是矩陣L 的任意一個特征根，則必有。 （ii）=， （8.34）其中c是與n（0）有關(guān)的常數(shù)。定理8.1至定理8.3的證明這里省去。由定理8.3的結(jié)論知道，當(dāng)t充分大時，有 (8.35)定理8.4 記=bis1s2si-1，q（）=/+/2+/m，則是L的非零特征根的充分必要條件為q（）=1 （8.36）所以當(dāng)時間充分大時，女性人口的年齡結(jié)構(gòu)向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個年齡組的人口數(shù)近似地按1的比例增長。由（8.35）式可得到如下結(jié)論：(i) 當(dāng)>1時，人口數(shù)最終是遞增的；(ii) 當(dāng)<1時，人口數(shù)最終是遞減的；(iii) 當(dāng)=1時，人口數(shù)是穩(wěn)

26、定的。根據(jù)（8.36）式，如果=1，則有 b1 + b2s1 + b3s1s2 + + bms1 s2sm-1=1記 R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + + bms1 s2sm-1 （8.37）R稱為凈增長率，它的實際含義是每個婦女一生中所生女孩的平均數(shù)。當(dāng)R>1時，人口遞增；當(dāng)R<1時，人口遞減。Leslie模型有著廣泛應(yīng)用，這里我們給出幾個應(yīng)用的例子，供大家參考。動物種群管理隨著種群數(shù)量的增長,由于受食物、生存空間等自然資源的制約,種群的總量不能無限制地增長,增長比例會逐漸減小。而且讓動物群體自然地增長,而不去捕獲它,也會造成一種資源的浪費,但是過度的捕獲會導(dǎo)致動物

27、種群趨于滅絕。那么我們應(yīng)該采取怎樣的捕獲策略呢? 現(xiàn)在我們來考慮一個牧場或飼養(yǎng)場生長的一個動物種群,從經(jīng)濟(jì)的角度出發(fā)，我們總是希望盡可能多的飼養(yǎng)動物，但是，如果飼養(yǎng)的動物太多的話，牧場的條件又不許可。我們不妨假設(shè)動物的數(shù)量在牧場規(guī)模許可的范圍內(nèi)時，其食物、生存空間等自然因素對動物群體的增長不構(gòu)成較大的制約。下面我們將給出一個持續(xù)穩(wěn)定的的屠宰方案,進(jìn)行周期的屠宰。假設(shè)每次屠宰都在生育期和哺乳期之后進(jìn)行,每次屠宰數(shù)量相同,屠宰后的動物數(shù)量與上一次屠宰后的數(shù)量相同。類似于Leslie模型,我們僅考慮雌性動物數(shù)量的變化。仍然采用前面的一些記號,且假設(shè)第i個年齡組的動物按hi的比例屠宰,稱其為第i組的屠

28、宰率,并稱矩陣 H=diag()為屠宰矩陣。則各組的動物屠宰數(shù)量可用向量表示。根據(jù)持續(xù)屠宰策略的要求得到方程Ln(t)-HLn(t)=n(t) (8.38)上式表明n(t)是矩陣L-HL的特征值為1所對應(yīng)的特征向量。容易算出 L-HL= (8.39)從上式可以看出,矩陣L-HL也是Leslie矩陣,因此該矩陣有正特征根1的充要條件為(1-h1) b1 + b2s1(1-h2) + b3s1s2(1-h2)(1-h3) + + bms1 s2sm-1(1-h2)(1-h3)(1-hm-1)=1 (8.40)該式表明,如果h1,h2,hm滿足(8.40)式,就能保證種群數(shù)量的穩(wěn)定，此時對應(yīng)的一個特

29、征向量為n*=1, s1(1-h2), s1s2(1-h2)(1-h3), , s1s2sm-1(1-h2)(1-h3)(1-hm)T (8.41)下面考慮在任給一個初始年齡分布向量n(0)=n1(0),n2(0),nm(0)T后,怎樣確定hi。根據(jù)(8.40)式,令kn*=解得 (8.42)因此 (8.43)要使解出的hi滿足0hi1,根據(jù)(8.43)式,只要初始年齡分布向量滿足據(jù)此得到定理8.5 設(shè)n(0)=n1,(0),n2(0),nm(0)T是一個初始年齡分布向量,如果n(0)的分量滿足 (8.44)則可以唯一確定一組hi,其中 (8.45)滿足方程(L-HL)n(0)=n(0)其中,

30、L是Leslie矩陣,H為屠宰矩陣。最優(yōu)年齡分布向量的確定從定理8.5可知,任意給定一組初始年齡分布向量,可以唯一確定一組hi 。(8.45)式告訴我們,不同的初始年齡向量分布所確定的屠宰矩陣是不一樣的。下面考慮怎樣的初始年齡分布向量,可使屠宰數(shù)量最大。也就是說,當(dāng)動物總數(shù)控制在某一范圍內(nèi)時,使每年的屠宰的數(shù)量為最大。假設(shè)動物群體的規(guī)模為N,即當(dāng)動物總數(shù)不超過N時,動物群體的增長幾乎不受環(huán)境因素的制約。設(shè)初始年齡分布向量n(0)=n1(0),n2(0),nm(0)T,則在下一次屠宰前,年齡分布向量為Ln(0)=T由于動物的總數(shù)不能超過N,即+=N 這里取sm=0,各組動物的屠宰量可以由向量Ln

31、(0)-n(0)唯一確定,即HLn(0)=Ln(0)-n(0)屠宰總數(shù)M為M=+-n1(0)- （8.46） 最優(yōu)年齡分布向量問題歸結(jié)為如下線性規(guī)劃問題 (8.47)此處我們不打算介紹線性規(guī)劃問題的解法,有興趣的讀者可以參閱文獻(xiàn)15。8.7 差分形式阻滯增長模型 我們在前面介紹的都是線性差分方程模型,對這類方程的求解與穩(wěn)定性分析是比較容易的。下面介紹的模型涉及非線性差分方程，對于一般的非線性差分方程，求解與穩(wěn)定性分析都是比較困難的，通常需要借助計算機(jī)給出數(shù)值解。本節(jié)我們通過幾個例子說明，非線性差分方程具有線性差分方程所沒有的有趣的性質(zhì)，比如，周期分支，混沌現(xiàn)象等。在第七章中，我們曾用微分方程形

32、式的Logistic模型來描述種群增長，即 （8.48）但是，我們在處理實際問題時，通常用離散化的時間來研究會覺得更加方便，也能更好地利用觀測資料。例如有些生物每年在固定的時間繁殖，通常人們對動物種群的觀測也是定期進(jìn)行的。于是需要阻滯增長的離散模型。將方程（8.48）離散化得到 （8.49）記 （8.50） 則（8.49）式可以簡化為 （8.51）上式是一階非線性差分方程。在實際應(yīng)用中通常沒有必要找出該方程的一般解，因為給定初值后利用計算機(jī)就可以方便地遞推出。事實上，在應(yīng)用差分形式的阻滯增長模型（8.49）或者（8.51）時，人們最關(guān)心的是時或者的收斂情況，即差分方程平衡點的穩(wěn)定性問題。方程(

33、8.48)有兩個平衡點,。是不穩(wěn)定的平衡點，是穩(wěn)定的平衡點，即不論和取什么值都有：當(dāng)時，方程的解。那么該方程的差分形式的方程（8.51）是否也有同樣的性質(zhì)呢？下面的分析將會看到，情況并不完全一樣。對于差分方程（8.51），因為，所以。為了求（8.51）式的平衡點，令 容易得到其平衡點為，其中非零平衡點所對應(yīng)的就是（8.48）式的非零平衡點。為了分析的穩(wěn)定性，我們考慮（8.51）的局部線性化方程 （8.52）關(guān)于的局部穩(wěn)定性有如下結(jié)論：定理8.6 若，是方程（8.52）的穩(wěn)定平衡點，也是方程（8.51）的穩(wěn)定平衡點；若，是方程（8.52）的不穩(wěn)定平衡點，也是方程（8.51）不的穩(wěn)定平衡點。因此在

34、分析方程穩(wěn)定性的過程中具有重要作用。 由，容易得到。根據(jù)定理8.6，我們有：當(dāng)時，（8.51）式所給出的非零平衡點與（8.48）式所給出的非零平衡點的穩(wěn)定性是相同的，即都是穩(wěn)定的，但是當(dāng)時，（8.51）式給出的平衡點是不穩(wěn)定的，而（8.48）式 給出的平衡點仍然是穩(wěn)定的，兩者的穩(wěn)定性并不相同。雖然時，方程（8.51）的非零平衡點是穩(wěn)定的,即滿足任意非零初值的解都收斂到,但是對不同的值，其解的收斂形式是不一樣的。圖8.3分別給出了不同值的兩種收斂形式。 圖8.3 方程（8.51）有穩(wěn)定平衡點上圖對應(yīng)的是的情況，對于這樣的值，當(dāng)初值時，關(guān)于是單調(diào)遞增趨向的，當(dāng)時，經(jīng)過有限次迭代，的值就滿足，以后的

35、值關(guān)于單調(diào)遞增趨向。下圖對應(yīng)的是的情況，可以得到，經(jīng)過有限次的迭代后，的值就將會在 的左右跳動，表現(xiàn)為種群數(shù)圍繞著呈衰退狀的上下振動。 下面的圖8.4給出了非平衡點不穩(wěn)定的情況，即的情況。圖8.4 方程（8.51）平衡點不穩(wěn)定 雖然時，方程（8.51）的非零平衡點是不穩(wěn)定的，但是方程（8.51）仍然可以求解，進(jìn)一步計算的值還是有一定規(guī)律的，對于某些值，具有某類周期性，即包含收斂到不同值的收斂子序列。下面我們通過幾個例子來加以說明。倍周期收斂 利用差分方程（8.51），可以得到 （8.53）其中，。類似于（8.51）式的分析，可以得到（8.53）式的非零平衡點為 （8.54）不難驗證，當(dāng)時，且，

36、是（8.53）式的不穩(wěn)定的平衡點。，即的穩(wěn)定性相同。此時 （8.55）類似于定理8.6，我們有當(dāng)時，是穩(wěn)定的平衡點； 當(dāng)時，是不穩(wěn)定的平衡點。據(jù)此，可以得到 的穩(wěn)定條件為 （8.56）圖8.5給出了方程（8.51）存在倍周期解的數(shù)值結(jié)果。 圖8.5 方程(8.51) 存在倍周期穩(wěn)定解 當(dāng)時,不再是(8.53)的穩(wěn)定平衡點。令 （8.57）進(jìn)一步分析還可以得到4周期解，8周期解等形式的周期解。圖8.6是一個4周期解的例子，迭代方程為（8.57）式，從圖中我們可以看出，方程（8.57）共有7個非零平衡點，其中3個為方程（8.53）的平衡點，對于，這3個平衡點是不穩(wěn)定的。類似與方程（8.53）的分析

37、，可以得到另外4個平衡點的穩(wěn)定性是相同的。其穩(wěn)定條件為 3.544 (8.58) 圖8.6 方程(8.51)存在4周期穩(wěn)定解按照這樣的增長規(guī)律，我們可以討論序列的周期的收斂情況。收斂性完全由參數(shù)確定。如果記為周期收斂的上限，則上面的結(jié)果給出：，。更深入的分析，可以得到，單調(diào)遞增，且 （8.59）當(dāng)時就不再有任何周期收斂情況的發(fā)生，的趨勢呈現(xiàn)一片混亂，這就是所謂的混沌現(xiàn)象。圖8.7就是其中的一個例子。 圖8.7 混沌情形習(xí)題81.已知一種昆蟲每2周產(chǎn)卵一次,6周以后即死亡,孵化后的幼蟲2周后成熟,平均產(chǎn)卵100個,4周齡的成蟲平均產(chǎn)卵150個。假設(shè)每個卵發(fā)育為2周齡成蟲的成活率為0.09,2周齡

38、的成蟲發(fā)育成4周齡成蟲的成活率為0.2。(1)假設(shè)開始時,02周,24周,46周齡的昆蟲數(shù)目相同,計算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數(shù)目；(2)討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數(shù)目的變化趨勢,各周齡的昆蟲的比例是否有一個穩(wěn)定值；(3)假設(shè)使用了一種除蟲劑來控制昆蟲的數(shù)目,已知使用后各周齡昆蟲的成活率減半,問這種除蟲劑是否有效。2.(1)若某種群年齡結(jié)構(gòu)矩陣及初始個體數(shù)為 討論這個種群的年齡分布的發(fā)展趨勢；(2)若 時間單位為2周,討論這個種群的年齡分布與個體總體數(shù)的發(fā)展趨勢。3.著名哈德遜河的鱸魚生活在大西洋,但是每年游到哈德遜河產(chǎn)卵。由于哈德遜河流域工業(yè)的發(fā)展引起重大的污染,使得河水溫度升高,影

39、響了產(chǎn)卵率和成活率。為了了解工業(yè)污染對鱸魚的影響,將鱸魚分成16個年齡組:01年(卵),12年(幼魚)、2齡魚、3齡魚、, 15齡魚已知515年齡的魚為成年魚,允許捕撈315年齡的魚。考慮自然死亡及捕撈等原因,得各年齡組的成活率及每個雌性個體所產(chǎn)雌性后代的統(tǒng)計資料如下:年齡組 0 1 2 3 4 5 6 7 2.12×10-5 0.3965 0.6000 0.8000 0.6387 0.5688 0.5688 0.5688 0 0 0 0 0 80110 162700 212700 年齡組 8 9 10 11 12 13 14 15 0.5688 0.5688 0.5688 0.56

40、88 0.5688 0.5688 0.5688 0.5688 267900 326400 386000 444500 499700 549600 592200 592200 已知1970年各年齡組的魚數(shù)為（千條） (1)在所給條件下，求矩陣的模最大特征值及穩(wěn)定的年齡分布；(2)假設(shè)生態(tài)條件不變，討論何時鱸魚達(dá)到穩(wěn)定的年齡分布（精確到小數(shù)點后2位）。(3)假設(shè)由于工業(yè)污染使卵的成活率降低25%,幼魚的成活率降低15%，成年魚的成活率降低10%，對鱸魚年齡分布結(jié)構(gòu)進(jìn)行特征分析，并預(yù)測種群的發(fā)展趨勢：經(jīng)過幾年后，可捕撈的魚數(shù)減半；(4)能否將模型簡化?對簡化的模型進(jìn)行特征值分析,并討論達(dá)到穩(wěn)定的年齡分布的時間.將所得結(jié)果與(1)、(2)進(jìn)行比較。 第九章 變分法模型變分法是研究函數(shù)極值問題的數(shù)學(xué)方法，