定積分知識點

1、定積分知識點1.定積分的概念：一般地，設函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點a = x0 < x1 < x2< L < xi-1 < xi < L < xn = b將區(qū)間a,b等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為Dx(Dxb- a),在每個小區(qū)間nxi-1, xi 上任取一點 i i 1,2,L ,n，作和式:Snnf(i 1i) xJf(i)i i n如果Dx無限接近于0 (亦即n)時，上述和式Sn無限趨近于常數(shù) S，那么稱該常bf (x)dx ,aLf(i);i n數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分。記為：S其中積分號，b 積分上限，a 積

2、分下限，f (x)被積函數(shù)，x 積分變量，a,bb積分區(qū)間，f (x)dx 被積式。說明：(i)定積分f(x)dx是一個常數(shù)，即Sn無限趨ab近的常數(shù)S ( n時)記為 f (x)dx ,而不是Sn. (2)用定義求定積分的一般方法a是：分割：n等分區(qū)間a,b；近似代替：取點取極限：bf(x)dx an b alimf i b a; (3)曲邊圖形面積：n i 1nb、一Sf x dx;變速運a動路程Sv(t)dt;t1b變力做功WF(r)dra2 定積分的幾何意義i從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f (x)連續(xù)且恒有bf (x) 0 ,那么定積分f x dx表示由直線ax a, x b(a

3、 b), y 0和曲線y = f (x)所圍成的曲邊梯b形(如圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分f x dx的幾何意義。ab說明：一般情況下，定積分f(x)dx的幾何意義是介于 x軸、函數(shù)f(x)的圖形以及直線ax = a,x = b之間各部分面積的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積去負號。分析：一般的，設被積函數(shù) y = f （x），若y = f （x）在a,b上可取負值?？疾旌褪?f % x f x2 x L f(x) x LXnx不妨設f（Xj, f仕1）丄，f （Xn）0于是和式即為f x1xX2x Lf(Xii) x f(Xj) x L f xnxf (x)dx陰影A

4、的面積一陰影B的面積（即x軸上方面積減x軸下方的面積）3.定積分的性質(zhì)b性質(zhì) 1 kdx k(b a);abb性質(zhì)2 kf (x)dx kf (x)dx(k為常數(shù))(定積分的線性性質(zhì))aab性質(zhì) 3 f1(x)f2(x)dxabbf1(x)dxf2(x)dx (定積分的線性性質(zhì))aab性質(zhì) 4 f (x)dxacf(x)dx abf (x)dx (其中 acc b）（定積分對積分區(qū)間的可加性）(1)bf(x)dxaaf(x)dxba；(2)f (x)dxa0 ；說明:推廣：bbbbaf1(x) f2(x)Lfm(x)dxa f1(x)dxaaaf2(x)dxLa fm(x)bc2b推廣：af

5、(x)dxaf(x)dxf (x)dxLf(x)dx4.微積分基本定理（牛頓一萊布尼茲公式）bf(x)dxF(x)a F(b) F(a)（熟記xnn 1X/(n1), 1In x , sinxn 1XaX aXaexex )cosx , cosx sin x ,ln a1 .5° (2x 4)dx=()A . 5B. 4C. 3D. 22 .21In xdx =(1 x1 2) A . -In 2B.2In .22C. In 2 D. In23 .a1若(2x)dx1x3 In 2,且 a> 1，則a的值為（)A . 6B.4C.3D.2選擇題:鞏固訓練題v=gt，則落體運動從

6、t=0到t=t0所走的路程為（)Agt：2cgt°廠gt：A .-b . gt0C .D .-32625.由拋物線yx和直線x=1所圍成的圖形的面積等于（4.已知自由落體運動的速率4B .36如圖，陰影部分的面積是（C.題圖7.8.9.A . 2、33|x21(ex0 曲線y4 | dx =e x)dx =cosx, x32321C.31e -eB.30,210 . o3 (2cos2 x 1)dx=(二 .填空題：353222332eC.D.與坐標軸圍成的面積（1B.-2a 211.若 0 (3x 4x 5)dx=a3-2 (a> 1),貝U a=212.曲線y x與直線yx

7、 2所圍成的圖形的面積等于 13由曲線y 2 x2與直線yx所圍成的平面圖形的面積為 14已知彈簧每拉長 0. 02米要用9. 8N的力，則把彈簧拉長 0. 1米所作的功為44x15.2三.計算下列定積分的值16.：(4x x2)dx ;17.o2 (x sinx)dx ;18.cos2-dx；221.0 x2(9 x3 尸 dx；a20. (xcosx 5sin x 2)dxa四解答題：22.設y f (x)是二次函數(shù)，方程 f(x) 0有兩個相等的實根，且 f (x) 2x 2 (1)求f(x)的表達式.(2)若直線xt(0 t 1)把yf(x)的圖象與坐標軸所圍成的圖形的面積二等分，求 t的值.23.求曲線yx3 x2 2x與x軸所圍成的圖形的面積.答案：AADCB CCDD； 11.2 ;12.9；13.9;14.變力函數(shù)為F = 490x.于是所求的功為2 219.0.1490xdx02x490()20.102.45(J) ;15.2 ； 16. 20 ；318.4提示：(|x21 2、2x)271 屮一 x；;20.提示:6(xsinx 6cos(2x) xcosc 5sinx2, 4a;21. 提示：(9(92x 1 ; (2) t 12352x (9 x )2 , - ;22.