(完整版)初中數(shù)學一元二次方程知識點總結(jié)與練習

1、知識點總結(jié)：一元二次方程知識框架 it來曲橫.科才事實標問題數(shù)學問題+歷+ e = O(d學0)升平方起才去酢犬法次分篇因式總知識點、概念總結(jié)1. 一元二次方程：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 (二次)的方程，叫做兀二次方程。2. 一元二次方程有四個特點：(1)含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2 ;(3)是整式方程。要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理。如果能整理為 ax 2+bx+c=0(a豐0)的形式，則這個方程就為一元二次方程；(4)將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應(yīng)滿足(aw。)；3

2、. 一元二次方程的一般形式 ：一般地，任何一個關(guān)于 x的一元二次方程，經(jīng)過整理，？都能化成如下形式 ax2+bx+c=0(aw。)。一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0 (aw0)后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項。4. 一元二次方程的解法(1)直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如 (x a)2 b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當b 0時，x a 屈，x a Jb ,當b<0時，方程沒有實數(shù)根。(2)配方法配方法是一種重要的數(shù)學方法，它

3、不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a2 2ab b2 (a b)2 ,把公式中的a看做未知數(shù) x ,并用x代替，則有x2 2bx b2 (x b)2。配方法解一元二次方程的一般步驟：現(xiàn)將已知方程化為一般形式；化二次項系數(shù)為1；常數(shù)項移到右邊；方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；變形為 (x+p) 2=q的形式，如果q>0,方程的根是x=-p±， q；如果q<0,方程無實根.(3)公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2 b

4、x c 0(a0)的求根公式：b . b2 4ac 2x (b 4ac 0)2a(4)因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判別式 222根的判別式：一兀一次萬程ax bx c 0(a 0)中，b4ac叫做一元二次萬程 ax bx c 0(a 0)的根的判別式，通常用“”來表示，即b2 4ac6. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2bc如果萬程ax bx c 0(a0)的兩個實數(shù)根是x1,x2，那么x1x2一，x1x2一。也就是說，對于任何一個aa有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二

5、次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項 除以二次項系數(shù)所得的商。7 .分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。8 .分式方程的一般解法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：(1)去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母(2)解所得的整式方程(3)驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。知識點1.只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。例題：1、判別下列方程是不是一元二次方程，是的打，不是的打“X”，并說明理由.(1)2x 2 -x-3=0.(2) : -y 2 =0.(3) t 2

6、 =0. x 3-x 2 =1.(5) x 2-2y-1=0.(6) 2-3=0.x(7) x2 3x =2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2- 4+6=0.(10)3x 2 = x-3.x41、若關(guān)于x的方程a(x1)2=2x22是一元二次方程，則 a的值是 ()(A) 2(B) 2(C) 0(D)不等于 2222、已知關(guān)于x的萬程 m 1 x n 3 x p 0 ,當 時，萬程為一次萬程；當 時，兩根中有一個為零a。m2 23、已知關(guān)于x的萬程 m 2 x x m 0 ：(1) m為何值時方程為一元一次方程；(2) m為何值時方程為一元二次方程。知識點二.一元二次方

7、程的一般形式22一兀一次萬程的一般形式是：ax bx c 0 a 0 ,其中ax是二次項，a叫二次項系數(shù)；bx是一次項，b叫一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。特別警示：(1) “a 0”是一元二次方程的一般形式的一個重要組成部分；(2)二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項系數(shù)時，必須先將方程化為一般形式。知識點三.一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解。例題：21、已知方程3x 9x0的一個根是1,則m的值是一 一、一22、設(shè)a是一元二次方程x5x 0的較大根,_2b是x 3x 2 0較小根,那么a b的值是(A) -4(B) -

8、3(C) 1(D) 2, 一一 一 ，、一23、已知關(guān)于x的一兀二次方程xkx 20的一個解與方程3的解相同。(1) 求k的值;2(2) 求萬程x kx 2 0的另一個解。知識點四.一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：(1) 直接開平方法：如果 x2 k k 0 ,則xVk(2) 配方法：要先把二次項系數(shù)化為1,然后方程兩變同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式,右邊是非負常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解;(3) 公式法:二次方程 ax2 bxc 0 a 0的求根公式是xb . b2 4ac2a.2b 4ac 0 ；(4) 因式分解法：如果 x a x b0 則 x 1 a

9、,x2溫馨提示:二次方程四種解法都很重要,尤其是因式分解法,它使用的頻率最高，在具體應(yīng)用時，要注意選擇最恰當?shù)姆椒ń?。例題：解方程:1、解下列方程:(1) 2,3 y22.3 y2_(3) (x 3) 2x知識點五.二次方程根的判別式對于二次方程ax2 bx c 00的根的判別式是b24ac :(1)當 b2 4ac0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)當 b2 4ac0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)當 b2 4ac0時,方程無實數(shù)根。溫馨提示：若方程有實數(shù)根,則有 b2 4ac 0。例題:21、已知萬程x 3xk 0有兩個不相等的實數(shù)根，則k=2、當m滿足何條件時,、一一2 一 ， 一

10、，萬程 mx 2 m 1 x 9m 10有兩個不相等實根？有兩個相等實根？有實根?一一、一 23、美于x的萬程mx22 m 2 x m 5 0無實根，試解關(guān)于 x的萬程m 5 x 2m 2xm0。.2. 4、已知關(guān)于x的一兀二次萬程 x 4 m 1 x 2m 1 0,求證：不論 m為任何實數(shù)，總有兩個不相等的實數(shù)根。知識點六.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系2b c右一兀一次萬程 ax bx c 0 a 0的兩個實數(shù)根為 為，x2，則x1 x2-, x1x2 。a a溫馨提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，一元二次方程必須有實數(shù)根。例題：2-2_x1,x2 ,且滿足 x1 x2 x1x2,則 k的值為:

11、1、關(guān)于x的一元二次方程 x2 kx 4k2 3 0的兩個實數(shù)根分別是，、，、3（A）1或一（B）14-3_ 一(C) (D)不存在4是關(guān)于x的一元二次方程x2c c2112、已知2m 3 x m 0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足 一 一值是(A) 3 或-1(B) 3(C) 1(D) -3 或 1、一 23、方程x3x 620與方程x2 6x 30的所有根的乘積是4、兩個不相等的實數(shù)2m,n滿足m6m一 24,n 6n 4 ,則mn的值為、一一、.一 ,、一25、設(shè)x1，x2是關(guān)于x的一兀二次萬程 x2px q 0的兩個根，X 1,x2 1是關(guān)于x的一兀二次萬程x qx p 0的兩個根，則p,

12、q的值分別等于多少?知識點七.一元二次方程的實際應(yīng)用列一元二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5）檢驗（6）寫出答案。在檢驗時，應(yīng)從方程本身和實際問題兩個方面進行檢驗。1、有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3,而此兩位數(shù)比這兩個數(shù)字之積的二倍多5,求這個兩位數(shù)。2、市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒200元下調(diào)至128 元，求這種藥品平均每次降價的百分率是多少?1、卜列方程中，關(guān)于 x的二次方程是元二次方程綜合復習“ c , 2 C -11A. 3 x 12 x 1 B.x x2、方程(m21) x2+

13、 mx- 5 = 022 0 C.ax是關(guān)于(D) m= ± 13、若x、一2.二次萬程 ax bx4、實數(shù)b . b2 4ac 已是萬程 的根2a(A) ax2bx c 0(B) ax2(C) ax2bx c 0，一、2(D) ax,八 2-2bx c 0 D. x 2x x 1二次方程，則m滿足的條件是0的一個根，則a bbxbx)(A) mw1(B) mw 0(C)、一 25、方程x25 0的解是:A. x 1 x25 B. x 1 x225C.x 15,x2D. x 1 25, x2256、關(guān)于x的二次方程kx22x0兩個不相等的實數(shù)根，則 k的取值范圍是(A) k 1(B)

14、(C)(D) k7、在下列方程中,有實數(shù)根的是2A) x 3x 10 B) J4x 1C)2x 3 0 D)8、關(guān)于x的2二次方程 2x2x3m0有兩個實數(shù)根x1，x2x1x2x1 x24,則m的取值范圍是(A) m1(B) m 一2(C) m 一35(D)一39.若(x+y )(1x y) +6=0,貝U x+y 的值是()B. 3C. 2或 3D. 2 或一3m(m 2) 110、右(m+1) x +2mx 1=0 是關(guān)于 x 的二次方程，則 m的值是11、填上適當?shù)臄?shù)，使等式成立：x2 5x=(x -)2.12、當 x =時，代數(shù)式x2 3x比代數(shù)式2x2 x 1的值大2 .13、某商品

15、原價每件 25元，在圣誕節(jié)期間連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在商品每件16元，則該玩具平均每次降價的百分率17、設(shè)X1,X2是關(guān)于X的方程Xm 0 m 0的兩個根，且滿足19、已知關(guān)于x的一元二次方程x2 kx 1 0。(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)的方程有兩根分別為 x1,x2,且滿足x1 x2 x1 x2求k的值。_.、一2221.已知： ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一兀二次萬程 x 2k 3 x k 3k 2 0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5,問：k取何值時， ABC是以BC為斜邊的直角三角形？22、一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個正方形，制成高是5cm,容積是5

16、 0 0 cm3的無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。23、如圖，有一面積為 150 m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻(墻長18 m),另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆的長為 35 m,求雞場的長與寬各為多少米？H- E -24、西瓜經(jīng)營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售，每天可售出200千克，為了促銷,該經(jīng)營戶決定降價，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出 40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，該經(jīng)營戶要想每天盈利 200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？25、在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=3cm。點P沿邊AB從點A開始向

17、點B以2cm/s的速度移動，點 Q沿邊DA從點D開始向點A以1cm/s的速度移動。如果P、Q同時出發(fā)，用t (s)表示移動的時間(0wtw3)。那么，當t為何值1. (I)已知a,b,c均不為0,且a 2b 3b c 2c a757c 2b2b 3a的值;時， QAP的面積等于2cm2?(n)已知：x 0,且x 6jXy 7 y 0 ,求2的值. y22 .已知關(guān)于 x的一兀二次方程 x 4x+k+1 = 0(1)若x=1是方程的一個根，求 k值和方程的另一根；(2)設(shè)xi, x2是關(guān)于x的方程x24x+k+1=0的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù) k,使得xiX2>Xi+x2成立？請說明理由.