橢圓典型題型歸納.

1、橢圓典型題型歸納題型一 . 定義及其應(yīng)用例 1. 已知一個(gè)動(dòng)圓與圓C : ( x4)2y 2100 相內(nèi)切，且過點(diǎn) A(4,0) ，求這個(gè)動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程；練習(xí) ：1.方程 (x3)2y2( x3)2y26 對(duì)應(yīng)的圖形是（）A. 直線B.線段C.橢圓D.圓2.方程 (x3) 2y 2( x3) 2y 210 對(duì)應(yīng)的圖形是（）A. 直線B.線段C.橢圓D.圓4.如果方程x2( ym)2x2( ym)2m1 表示橢圓，則 m 的取值范圍是5.過橢圓 9x24 y21的一個(gè)焦點(diǎn) F1 的直線與橢圓相交于 A, B 兩點(diǎn)，則 A, B 兩點(diǎn)與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2 構(gòu)成的ABF2 的周長(zhǎng)等于；6.

2、設(shè)圓 ( x 1)2y225的圓心為 C ，A(1,0) 是圓內(nèi)一定點(diǎn)， Q 為圓周上任意一點(diǎn)，線段AQ 的垂直平分線與 CQ 的連線交于點(diǎn)M ，則點(diǎn) M 的軌跡方程為；題型二 . 橢圓的方程（一）由方程研究曲線例 1. 方程 x2y21的曲線是到定點(diǎn)和的距離之和等于的點(diǎn)的軌跡；1625（二）分情況求橢圓的方程例 2. 已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3 倍，并且過點(diǎn)（三）用待定系數(shù)法求方程例 3. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1 (P(3,0)6,1) 、，求橢圓的方程；P2(3,2) ，求橢圓的方程；例 4. 求經(jīng)過點(diǎn) (2,3) 且與橢圓 9x24 y23

3、6 有共同焦點(diǎn)的橢圓方程；注：一般地， 與橢圓 x2y2 1共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)其方程為x2ky21(kb2 ) ；a2b2a2b2k（四）定義法求軌跡方程；例 5. 在 ABC 中， A, B, C 所對(duì)的三邊分別為a,b, c ，且 B( 1,0), 1,0)(C，求滿足 ba c且 b, a, c 成等差數(shù)列時(shí)頂點(diǎn)A 的軌跡；（五）相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；例 6. 已知 x 軸上一定點(diǎn) A(1,0) ， Q 為橢圓 x2y21上任一點(diǎn)，求 AQ 的中點(diǎn) M 的軌跡4方程；（六）直接法求軌跡方程；例 7. 設(shè)動(dòng)直線 l 垂直于 x 軸，且與橢圓 x22 y24 交于 A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn) P 是直線

4、 l 上滿足PA PB 1的點(diǎn)，求點(diǎn) P 的軌跡方程；（七）列方程組求方程例 8. 中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F (0,50) 的橢圓被直線y3x2 截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1 ，求此橢圓的方程；2題型三 . 焦點(diǎn)三角形問題例 1. 已知橢圓 x2y21上一點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為5，橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F2、 F1，16253求 PF1 、 PF2 及 cosF1PF2 ；題型四 . 橢圓的幾何性質(zhì)例 1. 已知 P 是橢圓 x2y21上的點(diǎn)，的縱坐標(biāo)為5 ， F1 、 F2 分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，a2b23橢圓的半焦距為c ，則PF1PF2 的最大值與最小值之差為例 2. 橢圓 x2y21 (a

5、 b0) 的四個(gè)頂點(diǎn)為A, B,C , D ，若四邊形 ABCD 的內(nèi)切圓恰a2b2好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為；例 3.若橢圓x2y21 的離心率為1 ，則 k；k 142例 4.若 P 為橢圓 x2y21(a b0) 上一點(diǎn)， F1 、 F2 為其兩個(gè)焦點(diǎn)， 且 PF1F2150 ，a2b2PF2 F1750 ，則橢圓的離心率為題型七 . 求離心率例 1.橢圓 x2y21 ( ab0) 的左焦點(diǎn)為 F1 (c,0) ， A(a,0) ， B(0, b) 是兩個(gè)頂點(diǎn)，a2b2如果 F1 到直線 AB 的距離為b ，則橢圓的離心率e7例 2.若 P 為橢圓 x2y21(ab 0) 上一點(diǎn)， F1

6、 、 F2 為其兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1F2，a2b2PF2 F1 2，則橢圓的離心率為例3.F1 、F2 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2 的直線交橢圓于P, Q兩點(diǎn)，PF1PQ ，且PF1PQ ，則橢圓的離心率為；題型八 . 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用例1.橢圓 x2y21 上的點(diǎn) P 到直線 x 2 y 70 的距離最大時(shí)，點(diǎn)P 的坐標(biāo)43例 2. 方程 x2 siny2 cos1( 0) 表示焦點(diǎn)在y 軸上的橢圓， 求的取值范圍；題型九 . 直線與橢圓的關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系例 1.當(dāng) m 為何值時(shí)，直線l : yxm 與橢圓 9 x216 y2144 相切、相交、相離？例 2. 曲線 2x2y22

7、a 2（ a0 ）與連結(jié) A(1,1)， B(2,3) 的線段沒有公共點(diǎn)，求a 的取值范圍。例 3. 過點(diǎn) P(3, 0) 作直線 l 與橢圓 3x24 y 212 相交于 A, B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OAB 面積的最大值及此時(shí)直線傾斜角的正切值。例4. 求 直 線 x cosy sin2 和 橢 圓 x23y 26 有 公 共 點(diǎn) 時(shí) ，的 取 值 范 圍(0) 。（二）弦長(zhǎng)問題例 1. 已知橢圓 x22 y212 ， A 是 x 軸正方向上的一定點(diǎn)，若過點(diǎn)A ，斜率為 1 的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為4 13 ，求點(diǎn) A 的坐標(biāo)。3例2.橢圓2by21xy 1A, Bax與直線相交于兩

8、點(diǎn)， C 是 AB 的中點(diǎn)，若|AB| 22 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC 的斜率為2 ，求 a,b 的值。2例 3. 橢圓 x 2y21的焦點(diǎn)分別是F1 和 F2 ，過中心 O 作直線與橢圓交于A, B 兩點(diǎn)，若4520ABF2 的面積是 20，求直線方程。（三）弦所在直線方程例 1. 已知橢圓 x2y 21 ，過點(diǎn) P(2,0) 能否作直線 l 與橢圓相交所成弦的中點(diǎn)恰好是P ；164例 2. 已知一直線與橢圓4x29 y236相交于 A, B 兩點(diǎn)，弦 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為M (1,1)，求直線 AB 的方程；例 3. 橢圓 E 中心在原點(diǎn) O ，焦點(diǎn)在 x 軸上，其離心率 e21,0) 的直

9、線 l 與橢,過點(diǎn) C(3圓 E 相交于 A, B 兩點(diǎn)，且 C 分有向線段 AB 的比為（ 1）用直線 l 的斜率 k (k 0) 表示OAB 的面積；（ 2）當(dāng) OAB 的面積最大時(shí)，求橢圓E 的方程例 4. 已知 A( x1 , y1 ), B(1, y0 ), C(x2x2y2, y2 ) 是橢圓1上的三點(diǎn)， F 為橢圓的左焦點(diǎn)，43且 AF , BF , CF 成等差數(shù)列，則AC 的垂直平分線是否過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論。（四）關(guān)于直線對(duì)稱問題例 1. 已知橢圓 x2y 21 ，試確定 m 的取值范圍，使得橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線43y4xm 對(duì)稱；例 2. 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

10、y 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 6，離心率 e22，試問是否存在直3線 l ，使 l 與橢圓交于不同兩點(diǎn)A, B ，且線段 AB 恰被直線 x1平分？若存在，求出直2線 l 傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。題型十 . 最值問題例 1若 P( 2, 3)x2y2MF2，F(xiàn)2 為橢圓1 的右焦點(diǎn)，點(diǎn) M 在橢圓上移動(dòng)， 求 MP2516的最大值和最小值。M 1F1F2M 2結(jié)論 1：設(shè)橢圓 x 2y 21的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , P( x0 , y0 ) 為橢圓內(nèi)一點(diǎn)， M ( x, y) 為a 2b 2橢圓上任意一點(diǎn)，則MPMF2的最大值為2a PF1 ,最小值為 2a PF1；例 2

11、P( 2,6) , F2x 2y2MPMF2 的為橢圓251 的右焦點(diǎn)，點(diǎn) M 在橢圓上移動(dòng)，求16最大值和最小值。論 2 設(shè)橢圓 x 2y 21的左右焦點(diǎn)分別為F1, F2 ， P( x0 , y0 ) 為橢圓外一點(diǎn)， M ( x, y) 為橢a 2b 2圓上任意一點(diǎn)，則MPMF2的最大值為2a PF1 ，最小值為 PF2 ;2.二次函數(shù)法例 3求定點(diǎn) A(a,0) 到橢圓 x2y2 1上的點(diǎn)之間的最短距離。a2b2結(jié)論 3：橢圓 x 2y 21上的點(diǎn) M ( x, y) 到定點(diǎn) A(m,0) 或 B(0,n)距離的最值問題，可以用a 2b 2兩點(diǎn)間距離公式表示MA 或 MB ，通過動(dòng)點(diǎn)在橢

12、圓上消去y 或 x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3.三角函數(shù)法例 4求橢圓 x 2y 21上的點(diǎn) M ( x, y) 到直線 l : x 2 y 4的距離的最值；4 2結(jié)論 4：若橢圓 x2y 21上的點(diǎn)到非坐標(biāo)軸上的定點(diǎn)的距離求最值時(shí),可通過橢圓的參數(shù)a2b2方程，統(tǒng)一變量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值。4.判別式法例 4 的解決還可以用下面方法結(jié)論 5：橢圓上的點(diǎn)到定直線l 距離的最值問題 ,可轉(zhuǎn)化為與 l 平行的直線 m 與橢圓相切的問題 ,利用判別式求出直線m 方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。例 5. 已知定點(diǎn) A( 2,3)，點(diǎn) F 為橢圓 x2y21的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M 在該橢圓上移動(dòng)時(shí)，1612求 AM2 MF 的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)M 的坐標(biāo)；（第二定義的應(yīng)用）題型十一 .軌跡問題例 1到兩定點(diǎn) (2,1)， (2, 2) 的距離之和為定值5 的點(diǎn)的軌跡是()橢圓雙曲線直線線段例 2已知點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)P在圓22x y1的上