度高二第二學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題與答案

1、試卷類型：A高二數(shù)學(xué)(理科)試題2021.7考前須知：1本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩局部，共5頁。2答題前，考生務(wù)必在答題卡上用直徑0.5毫米的黑色字跡簽字筆將自己的、號(hào)填寫清楚，并粘好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的號(hào)、和科目。3答第I卷時(shí)，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答在本試卷上無效。4答第H卷時(shí)，請(qǐng)用直徑 0.5毫米的黑色字跡簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域作答。 答在本試卷上無效。5. 第 ( 22)、(23)小題為選考題，請(qǐng)按題目要求從中任選一題作答，并用2B鉛筆在答 題卡上把所選題目題號(hào)后的方

2、框涂黑。6. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。附：回歸方程? bX ?中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：n_n(Xi x)(yi y)XiYi nxy _b 丄-口, ? V bXnn2 2 2(xi x)xinxi 1i 1第I卷一、選擇題：此題共 12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。2 2i(1 )復(fù)數(shù)z ，其中i是虛數(shù)單位，那么z的模等于1 i(A)2(B) 3 (C) 4(D) 2(2)用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a, b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)正確的反設(shè)為(A) a, b, c中至少有兩個(gè)偶數(shù)(B) a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都

3、是奇數(shù)(C) a, b,c都是奇數(shù)(D) a,b,c都是偶數(shù)-2n 1 n n 2 n 4N *)時(shí)命題成立1 1 1(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正偶數(shù)n,均有1 -2 3 41一)，在驗(yàn)證n 2正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成2n(A)假設(shè)n k(k N*)時(shí)命題成立(B)假設(shè)n k(k(C)假設(shè)n 2k(k N )時(shí)命題成立(D)假設(shè)n 2(k 1)(k N )時(shí)命題成立(4) 從3男4女共7人中選出3人，且所選3人有男有女，那么不同的選法種數(shù)有(A ) 30 種(B) 32 種 (C) 34 種 (D) 35 種(5) 曲線y ex在點(diǎn)2, e2處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為2(A) 2e(

4、B) e22 e (C)29e2(D)4(6)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布3,2，且 P(X1)-P(X 3)，那么 P(X 5)等于41(A)85(B) 5(D)a2o3sinxdx，曲線f(x)ax1ln(ax a1)在點(diǎn)1, f (1)處的切線的斜率為k，那么k的最小值為3(B) 2(A)1(C)2(D) 3(8 )甲、乙、丙三人獨(dú)立參加體育達(dá)標(biāo)測(cè)試，甲、乙、丙各自通過測(cè)試的概率分別為2 3,p，且他們是否通過測(cè)試互不影響3 4中至少有一人通過測(cè)試的概率為7(A)(B)81.假設(shè)三人中只有甲通過的概率為，那么甲、16丙二人(9)函數(shù) f (x)(A) 4 29(10)設(shè) 1 x(A) 242(

5、11)函數(shù)a。5(C) 8(D) 63x 2xf ( 1)，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間 2,3上的值域是(B)d(1(B)121f(x)X/e (4 24.2(C) 4,4.2(D)4,9數(shù)b的取值圍是(A)(B)x) a2 1(C) 2444(bx(12)中國(guó)南北朝時(shí)期的著作?子算經(jīng)?中,. a5(1(D)122R) 假設(shè)存在(C)x)5 ，那么 aoa2 a4等于，使得(D)對(duì)同余除法有較深的研究f(x) xf (x)0，那么實(shí)83,.設(shè) a,b,m(m0)為整數(shù)，假設(shè)a和b被m除得的余數(shù)相同，那么稱 a和b對(duì)模m同余，記為a b(mod m).如9和21 被 6 除得的余數(shù)都是 3，那么記

6、9 21(mod6).假設(shè) a C；。C；° 222 . C； 2 20，a b(mod10)，那么b的值可以是(A) 2021(B) 2021(C) 2021(D) 2021第II卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第1321題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第2223題為選考題。考生根據(jù)要求作答。二、填空題：此題共 4小題，每題5分。1 2(13) 定積分 ° v'1 x 1 x dx .n(14) 假設(shè)JX孚展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和是32,常數(shù)項(xiàng)為15,那么實(shí)數(shù)a Xx2 3x a 在1,2上有零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù) a的取值圍是 (15) 函數(shù)f(X)(16) 觀察以下

7、數(shù)表：1 3，5 7， 9， 11， 13 15， 17， 19， 21， 23， 25， 27， 29設(shè)999是該表第m行的第n個(gè)數(shù)，那么m n 三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17) (本小題總分值12分)復(fù)數(shù)z a 2i 1 bi，其中i是虛數(shù)單位.(I) 假設(shè)z 5 i，求a, b的值；2 1(II) 假設(shè)z的實(shí)部為2，且a 0,b0，求證：4a b(18) (本小題總分值12分)設(shè)函數(shù)f(x) x3 3mx n(m 0)的極大值為6，極小值為2，求:(I) 實(shí)數(shù)m,n的值；(II) f (x)在區(qū)間0,3上的最大值和最小值.(19)(本小題總分值12分)為了解心

8、肺疾病是否與年齡相關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了40名市民，得到數(shù)據(jù)如下表:患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)大于40歲16小于等于40歲12合計(jì)40在全部的40人中隨機(jī)抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率為5(I) 請(qǐng)將2 2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(II) 大于40歲患心肺疾病的市民中有4名重癥患者，現(xiàn)從這 16名患者中選出2名，記重癥患者的人數(shù)為 ，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(III) 能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)?下面的臨界值表供參考：(20)(本小題總分值12分)是否存在常數(shù)a, b，使等式121 3223 52n2n 1 2n 12豈 n對(duì)于一切nbn 22P(K2 k)0.150.

9、100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：21X2n(ad bc)K，其中 n a b c d )(a b)(c d)(a c)(b d)都成立？假設(shè)存在，請(qǐng)給出證明；假設(shè)不存在，說明理由(21) (本小題總分值12分)函數(shù) f(x) x aln x, (a R).(I)討論函數(shù)f (x)在定義域的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);a 1(II)設(shè)g(x)，假設(shè)不等式f (x) g(x)對(duì)任意x 1,e恒成立，求a的取值圍.x請(qǐng)考生在第(22)、( 23)題中任選一題作答。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)后的方

10、框涂黑。如果多做，那么按第(22)題計(jì)分。(22) (本小題總分值10分)選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程曲線C1的極坐標(biāo)方程為1，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系 (單位長(zhǎng)度相同)，直線l的參數(shù)方程為(I)寫出直線l的普通方程與曲線C1的直角坐標(biāo)方程;x(II)設(shè)曲線G經(jīng)過伸縮變換y3x得到曲線C2，在曲線C2上求一點(diǎn)M，使點(diǎn)M至煩線yl的距離最小，并求出最小距離(23) (本小題總分值 10 分)選修 45：不等式選講 函數(shù) f (x) |x 3| 2,g(x) |x 1| 4.(I) 假設(shè)不等式f(x) g(x) 3，數(shù)x的取值圍；(II) 假設(shè)不等式f(x) g(x) m 1的

11、解集為R，數(shù)m的取值圍.高二數(shù)學(xué)(理科)試題參考答案2021.7、選擇題：此題共12小題，每題5分。1 5 DBCAC610 DBAAD11 12 BA二、填空題：此題共 4小題，每題5分。2c5 1113.14.315.,16. 25443 3三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17)(本小題總分值12分)解:(I)由復(fù)數(shù) z (a 2i)(1 bi)，又 z 5 i，得 a 2i 1 bi a 2b 2 ab i 5 i，2分解得2bab4分6分(II)證明：假設(shè)z的實(shí)部為2，即a 2b 27分因?yàn)?a 0,b0且 a 2b 2，1所以1(a2b)18分211211. 4

12、b a 14b a .八所以a 2b 44 2 410分a b 2 a b2 a b 2 V a b當(dāng)且僅當(dāng)?shù)腶，即a 1,b 1時(shí)取等號(hào)，11分a b22 1所以412分a b(19) (本小題總分值12分)解: (I)因?yàn)?f (x) x3 3mx n(m 0)，3分所以 f (x) 3x2 3m 3(x、m)(x 、m)， 2分令 f (x)0，得 x , m，或 x , mx,jmJmJ mjm,f (x)+0一0+f(x)增極大值減極小值增5分由上表及題意可知6分f (. m) m ； m 3m . m n 6f ( 、m) m、m 3m . m n 2解得所以，實(shí)數(shù)m 1,n(II

13、)由(I)可知 f (x)3x 3x 4，令 f (x) 3x2 33(x 1)(x 1) 0,解得x 1，或x當(dāng)x在0,3上變化時(shí)，f (x)及f (x)的變化情況如下表:x00,111,33f (x)一0+f(x)4減2增2210分由上表可知，f(x)min f(1) 2，f (x) max f (3) 22 11分所以，f (x)在區(qū)間0,3上的最大值是22,最小值是212分(19)(本小題總分值12分)解：(I)設(shè)40人中有x人不患心肺疾病，那么-，解得x 161分405所以，全部的40人中有16人不患心肺疾病.患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)大于40歲16420小于等于40歲81220合計(jì)

14、2416403分(II) 可以取 0,1,2 , 4P(P(P(0)12020482C161205c：61Cw12020，66111)2)C12即有121 3223 52n2n 1 2n 12 n4n對(duì)于n1, n2成立4猜測(cè):121 3223 52n2n 1 2n 12 n4n對(duì)于一切nN都成立5故的分布列為012P112025120.8分11211分E0 -12 -9205202(III)k 40(16128 4)26.6676.6351120 20 24 16所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)12(20)(本小題總分值12分)解：假設(shè)存在常數(shù)a, b使等式成

15、立，那么將n 1, n 2代入上式,1 a 1有3b2? 2144a23152b2解得3證明如下:12 1 1 1所以等式成立;(1 )當(dāng)n 1時(shí)，左邊，右邊 1 334 12(2)假設(shè)nk(k 1,且k N )時(shí)等式成立，即小21 2133 5k22k 1 2k 1k2 k4k 2那么當(dāng)n k 1時(shí),225k22k 1 2k 1(k 1)22k 1 2kk2 k4k 2(k1)2k 1 2k 3k 12k 122k 5k 22(2k 3)k 12k 1(2k 1)(k2)2(2k 3)1)2 (k(k 1)(k 2)(k4k 64(k 1)2也就是說，當(dāng)n k 1時(shí)，等式成立11 分根據(jù)(1

16、)(2)可知，等式對(duì)于任何n N都成立12 分(21)(本小題總分值12分)解：(I)因?yàn)?f (x) x a In x,(x 0)，所以f (x) 1 - ,1分x x a 0時(shí)，f (x) 0， f (x)在0,上遞增，f (x)無極值；.2分 a 0時(shí)，令f (x)0，解得x a，令f (x)0，解得0 x a，所以f(x)在0，a上遞減，在 a， 上遞增，所以f(x)有1個(gè)極小值點(diǎn);(II)假設(shè)不等式f(x) g(x)對(duì)任意x 1,e恒成立,0在1,e恒成立,令 h(x) f (x) g(x)，即 h(x)最小值a 1因?yàn)?h(x) x a In x(a R)，x所以h (x)1(X

17、1)X (a 1)2 ， x令h (x) 0，得x1 (舍去)，或x a 1當(dāng)1 a 1，即a 0時(shí)，h(x) 0，所以h(x)在1,e上為增函數(shù),所以 h(x)minh(1)11 a0，解得a 2，1即 2a 0 7分當(dāng)1 a e，即ae 1時(shí),h (x)0，所以h(x)在1,e上單:調(diào)遞減，所以 h(x)minh(e) ea 1a 0，解得ae2 1ee 1e2 1 因?yàn)閑 1 e1，e 1所以e 1 ae2 1 8分e 1當(dāng)1 1 ae，即0a ey 1 時(shí)，h(x)在1,1a上單調(diào)遞減，在1 a,e上單調(diào)遞增,所以 h(x)minh(1 a)a 2aln(1 a)，.9 分因?yàn)? ln

18、(1a) 1,所以0aln (1 a) a,所以h(1 a)a 2aln(1a) 2，此時(shí) h(1a) 0成立， 10分所以，0 ae 1 11分綜上，2 ae2 1時(shí)，不等式f (x) g(x)對(duì)寸任意x1,e恒成立12分e 122.(本小題總分值10分)x解：(I)由6 t2 (t為參數(shù))，消參，得l ：x , 3y 1t2由 1得，曲線G:X2 y21 .Ci上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過伸縮變換y3x得到點(diǎn)P (x , y ),y,x 3x1xx由，得3y yy y(II)設(shè)點(diǎn)P(x, y)是曲線1,1,1x x把 3代入曲線C1 :所以曲線C2 : y 2 1.4分9令 M(3cos ,sin ),0,2,.5分那么點(diǎn)M至煩線I的距離d |3cosV3sin616 分2 .12、3(cossin2|2.3cos(-) 6|所以，當(dāng)0即時(shí)，dmin 3. 3 ,8分6 6 23 3.13 3 1小八此時(shí)，3cos, sin，即 M ,.9 分2 2 2 2所以，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 空丄 時(shí)，點(diǎn)M至煩線I的距離最小，