高中數(shù)學(xué)教案：排列與組合

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 排列與組合一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、高考考點(diǎn)1、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的掌握與應(yīng)用；2、關(guān)于排列與組合的定義的理解；關(guān)于排列與組合數(shù)公式的掌握；關(guān)于組合數(shù)兩個(gè)性質(zhì)的掌握；3、運(yùn)用排列與組合的意義與公式解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題（多為排列與組合的混合問題）三、知識(shí)要點(diǎn)一分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)算原理1 分類計(jì)算原理（加法原理）：完成一件事，有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1+ m2+ mn種不同的方法。2 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m

2、1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N= m1× m2×× mn種不同的方法。3、認(rèn)知：上述兩個(gè)原理都是研究完成一件事有多少種不同方法的計(jì)數(shù)依據(jù)，它們的區(qū)別在于，加法原理的要害是分類：將完成一件事的方法分成若干類，并且各類辦法以及各類辦法中的各種方法相互獨(dú)立，運(yùn)用任何一類辦法的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；乘法原理的要害是分步：將完成一件事分為若干步驟進(jìn)行，各個(gè)步驟不可缺少，只有當(dāng)各個(gè)步驟依次完成后這件事才告完成（在這里，完成某一步的任何一種方法只能完成這一個(gè)步驟，而不能獨(dú)立完成這件事）。二排列1 定義（1）

3、從n個(gè)不同元素中取出m（ ）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一排列。（2）從n個(gè)不同元素中取出m（ ）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記為 .2 排列數(shù)的公式與性質(zhì)（1）排列數(shù)的公式： =n（n-1）（n-2）（n-m+1）= 特例：當(dāng)m=n時(shí)， =n！=n（n-1）（n-2）×3×2×1規(guī)定：0！=1（2）排列數(shù)的性質(zhì)：（） = （排列數(shù)上標(biāo)、下標(biāo)同時(shí)減1（或加1）后與原排列數(shù)的了解）（） （排列數(shù)上標(biāo)加1或下標(biāo)減1后與原排列數(shù)的了解）（） （分解或合并的依據(jù)）三組合1 定義（1）從n個(gè)不同元素

4、中取出 個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合（2）從n個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示。2 組合數(shù)的公式與性質(zhì)（1）組合數(shù)公式： （乘積表示） （階乘表示）特例： （2）組合數(shù)的主要性質(zhì)：（） （上標(biāo)變換公式）（） （楊輝恒等式）認(rèn)知：上述恒等式左邊兩組合數(shù)的下標(biāo)相同，而上標(biāo)為相鄰自然數(shù)；合二為一后的右邊組合數(shù)下標(biāo)等于左邊組合數(shù)下標(biāo)加1，而上標(biāo)取左邊兩組合數(shù)上標(biāo)的較大者。3 比較與鑒別由排列與組合的定義知，獲得一個(gè)排列需要“取出元素”和“對(duì)取出元素按一定順序排成一列”兩個(gè)過程，而獲得一個(gè)組合只需要“取出元素”

5、，不管怎樣的順序并成一組這一個(gè)步驟。（1） 排列與組合的區(qū)別在于組合僅與選取的元素有關(guān)，而排列不僅與選取的元素有關(guān)，而且還與取出元素的順序有關(guān)。因此，所給問題是否與取出元素的順序有關(guān)，是判斷這一問題是排列問題還是組合問題的理論依據(jù)。（2） 注意到獲得（一個(gè)）排列歷經(jīng)“獲得（一個(gè)）組合”和“對(duì)取出元素作全排列”兩個(gè)步驟，故得排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系： 四、經(jīng)典例題例1、某人計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價(jià)分別為60、70元的單片軟件和盒裝磁盤，要求軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式是（ ）A .5種 B.6種 C. 7種 D. 8種分析：依題意“軟件至少買3片，磁盤至少買2盒”

6、，而購得3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，只需討論剩下的180元如何使用的問題。解：注意到購買3片軟件和2盒磁盤花去320元，所以，這里只討論剩下的180元如何使用，可從購買軟件的情形入手分類討論：第一類，再買3片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第二類，再買2片軟件，不買磁盤，只有1種方法；第三類，再買1片軟件，再買1盒磁盤或不買磁盤，有2種方法； 第四類，不買軟件，再買2盒磁盤、1盒磁盤或不買磁盤，有3種方法；于是由分類計(jì)數(shù)原理可知，共有N=1+1+2+3=7種不同購買方法，應(yīng)選C。例2、已知集合M=-1，0，1，N=2，3，4，5，映射 ，當(dāng)xM時(shí)， 為奇數(shù)，則這樣的映射 的個(gè)數(shù)是（ ）

7、A.20 B.18 C.32 D.24分析：由映射定義知，當(dāng)xM時(shí)， 當(dāng)xM時(shí)，這里的x可以是奇數(shù)也可以是偶數(shù)，但 必須為奇數(shù)，因此，對(duì)M中x的對(duì)應(yīng)情況逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，當(dāng)x=-1時(shí)， ，此時(shí) 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素-1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法；第二步，考察x=0的象，當(dāng)x=0時(shí)， 為奇數(shù)，故 只有2種取法（ =3或 =5），即M中的元素0與N中的元素有2種對(duì)應(yīng)方法；第三步，考察x=1的象，當(dāng)x=1時(shí)， 為奇數(shù)，故 可為奇數(shù)也可為偶數(shù), 可取N中任一數(shù)值，即M中的元素1與N中的元素有4種對(duì)應(yīng)方法，于是由分步計(jì)數(shù)原理可知，映射 共有4×2×

8、;4=32個(gè)。例3、在中有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小三角形，要在每一個(gè)小三角形中涂上紅、藍(lán)、黃、白、黑五種顏色中的一種，使有相鄰邊的小三角形顏色不同，共有多少種不同的涂法？解：根據(jù)題意，有相鄰邊的小三角形顏色不同，但“對(duì)角”的兩個(gè)小三角形可以是相同顏色，于是考慮以對(duì)角的小三角形1、4同色與不同色為標(biāo)準(zhǔn)分為兩類，進(jìn)而在每一類中分步計(jì)算。第一類：1與4同色，則1與4有5種涂法，2有4種涂法，3有4種涂法，故此時(shí)有N1=5×4×4=80種不同涂法。第二類：1與4不同色，則1有5種涂法，4有4種涂法，2有3種涂法，3有3種涂法，故此時(shí)有N2=5×4×3

9、5;3=180種不同涂法。綜上可知，不同的涂法共有80+180=260種。點(diǎn)評(píng)：欲不重不漏地分類，需要選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，一般地，根據(jù)所給問題的具體情況，或是從某一位置的特定要求入手分類，或是從某一元素的特定要求入手分類，或是從問題中某一事物符合條件的情形入手分類，或是從問題中有關(guān)事物的相對(duì)關(guān)系入手分類等等。例4、將字1、2、3、4填入標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ）A.6種 B.9種C.11種 D.23種解法一（采用“分步”方法）：完成這件事分三個(gè)步驟。第一步：任取一個(gè)數(shù)字，按規(guī)定填入方格，有3種不同填法；第二步：取與填入數(shù)

10、字的格子編號(hào)相同的數(shù)字，按規(guī)定填入方格，仍有3種不同填法；第三步：將剩下的兩個(gè)數(shù)字按規(guī)定填入兩個(gè)格子，只有1種填法；于是，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有N=3×3×1=9種不同填法。解法二：（采用“列舉”方法）：從編號(hào)為1的方格內(nèi)的填數(shù)入手進(jìn)行分類。第一類：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字2，共有3種不同填法： 2413 2143 2341第二類：編號(hào)1的方格內(nèi)填數(shù)字3，也有3種不同填法： 3142 3412 3421第三類：編號(hào)為1的方格內(nèi)填數(shù)字4，仍有3種不同填法： 4123 4312 4321于是由分類計(jì)數(shù)原理得共有N=3+3+3=9種不同填法，應(yīng)選B解法三（間接法）：將上述4個(gè)數(shù)字填

11、入4個(gè)方格，每格填一個(gè)數(shù)，共有N1=4×3×2×1=24種不同填法，其中不合條件的是(1)4個(gè)數(shù)字與4個(gè)格子的編號(hào)均相同的填法有1種；(2)恰有兩個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法有6種；(3)恰有1個(gè)數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法有8種；因此，有數(shù)字與格子編號(hào)相同的填法共有N2=1+6+8=15種于是可知，符合條件的填法為24-15=9種。點(diǎn)評(píng)：解題步驟的設(shè)計(jì)原則上任意，但不同的設(shè)計(jì)招致計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度不同，一般地，人們總是優(yōu)先考慮特殊元素的安置或特殊位置的安排，以減少問題的頭緒或懸念。當(dāng)正面考慮頭緒較多時(shí)，可考慮運(yùn)用間接法計(jì)算：不考慮限制條件的方法種數(shù)不符合條件的方法種數(shù)=符

12、合條件的方法種數(shù)。在這里，直接法中的“分析”與間接法主體的“分類”，恰恰向人們展示了“分步”與“分類”相互依存、相互了解的辯證關(guān)系。例5、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字4位數(shù)，其中，必含數(shù)字2和3，并且2和3不相鄰的四位數(shù)有多少個(gè)？解：注意到這里“0”的特殊性，故分兩類來討論。第一類：不含“0”的符合條件的四位數(shù)，首先從1，4，5這三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作排列有 種；進(jìn)而將2和3分別插入前面排好的兩個(gè)數(shù)字中間或首尾位置，又有 種排法，于是由分步計(jì)數(shù)原理可知，不含0且符合條件的四位數(shù)共有=36個(gè)。第二類：含有“0”的符合條件的四位數(shù)，注意到正面考慮頭緒較多，故考慮運(yùn)用“間接法”：首先從1

13、，4，5這三個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，而后與0，2，3進(jìn)行全排列，這樣的排列共有 個(gè)。其中，有如下三種情況不合題意，應(yīng)當(dāng)排險(xiǎn)：（1）0在首位的，有 個(gè)；（2）0在百位或十位，但2與3相鄰的，有 個(gè)（3）0在個(gè)位的，但2與3相鄰的，有 個(gè)因此，含有0的符合條件的四位數(shù)共有 =30個(gè)于是可知，符合條件的四位數(shù)共有36+30=66個(gè)點(diǎn)評(píng)：解決元素不相鄰的排列問題，一般采用“插空法”，即先將符合已知條件的部分元素排好，再將有“不相鄰”要求的元素插空放入；解決元素相鄰的排列問題，一般采用“捆綁法”，即先將要求相鄰的元素“捆綁”在一起，作為一個(gè)大元素與其它元素進(jìn)行排列，進(jìn)而再考慮大元素內(nèi)部之間的排列問題。例6、某

14、人在打靶時(shí)射擊8槍，命中4槍，若命中的4槍有且只有3槍是連續(xù)命中的，那么該人射擊的8槍，按“命中”與“不命中”報(bào)告結(jié)果，不同的結(jié)果有（ ）A.720種 B.480種 C.24種 D.20種分析：首先，對(duì)未命中的4槍進(jìn)行排列，它們形成5個(gè)空擋，注意到未命中的4槍“地位平等”，故只有一種排法，其次，將連中的3槍視為一個(gè)元素，與命中的另一槍從前面5個(gè)空格中選2個(gè)排進(jìn)去，有 種排法，于是由乘法原理知，不同的報(bào)告結(jié)果菜有 種點(diǎn)評(píng)：這里的情形與前面不同，按照問題的實(shí)際情況理解，未命中的4槍“地位平等”，連續(xù)命中的3槍亦“地位平等”。因此，第一步排法只有一種，第二步的排法種數(shù)也不再乘以 。解決此類“相同元素

15、”的排列問題，切忌照搬計(jì)算相同元素的排列種數(shù)的方法，請(qǐng)讀者引起注意。例7、（1） ；（2）若 ，則n=；（3） ；（4）若 ，則n的取值集合為 ；（5）方程 的解集為 ；解：（1）注意到n滿足的條件原式= （2）運(yùn)用楊輝恒等式，已知等式 所求n=4。（3）根據(jù)楊輝恒等式 原式= = = = （4）注意到這里n滿足的條件n5且nN* 在之下，原不等式 由、得原不等式的解集為5，6，7，11（5）由 注意到當(dāng)y=0時(shí)， 無意義，原方程組可化為 由此解得 經(jīng)檢驗(yàn)知 是原方程組的解。例8、用紅、黃、綠3種顏色的紙做了3套卡片，每套卡片有寫上A、B、C、D、E字母的卡片各一張，若從這15張卡片中，每次取

16、出5張，則字母不同，且3種顏色齊全的取法有多少種？解：符合條件的取法可分為6類第一類：取出的5張卡片中，1張紅色，1張黃色，3張綠色，有 種取法；第二類：取出的5張卡片中，1張紅色，2張黃色，2張綠色，有 種取法；第三類：取出的5張卡片中，1張紅色，3張黃色，1張綠色，有 種取法；第四類：取出的5張卡片中，2張紅色，1張黃色，2張綠色，有 種取法；第五類：取出的5張卡片中，2張紅色，2張黃色，1張綠色，有 種取法；第六類：取出的5張卡片中，3張紅色，1張黃色，1張綠色，有 種取法；于是由分類計(jì)數(shù)原理知，符合條件的取法共有 點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵在于分類，分類討論必須選擇適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，在這里，以

17、紅色卡片選出的數(shù)量進(jìn)行主分類，以黃色卡片選出的數(shù)量進(jìn)行次分類，主次結(jié)合，確保分類的不重不漏，這一思路值得學(xué)習(xí)和借鑒。例9、（1）從5雙不同的襪子中任取4只，則至少有2只襪子配成一雙的可能取法種數(shù)是多少？（2）設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，將五個(gè)小球放入五個(gè)盒子中（每個(gè)盒子中放一個(gè)小球），則至少有兩個(gè)小球和盒子編號(hào)相同的放法有多少種？（3）將四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，則恰有一個(gè)空盒的放法共多少種？（4）某產(chǎn)品共有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同，現(xiàn)在每次取出一只產(chǎn)品測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五

18、次測(cè)試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少種？解：（1）滿足要求的取法有兩類，一類是取出的4只襪子中恰有2只配對(duì)，這只要從5雙襪子中任取1雙，再從其余4雙中任取2雙，并從每雙中取出1只，共有 種選法；另一類是4只襪子恰好配成兩雙，共有 種選法，于是由加法原理知，符合要求的取法為 種。（2）符合條件的放法分為三類：第一類：恰有2個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，這只需先從5個(gè)中任取兩個(gè)放入編號(hào)相同的盒子中，有 種放法，再從剩下的3個(gè)小球中取出1個(gè)放入與其編號(hào)不同的盒子中，有 種方法，則最后剩下的兩個(gè)小球放入編號(hào)不同的盒中只有1種放法，故此類共有 種不同方法；第二類：恰有3個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，這只需先從5個(gè)中任取三個(gè)放

19、入編號(hào)相同的盒子中，有 種放法，則最后剩下的兩個(gè)小球放入編號(hào)不同的盒中只有1種放法，故此類共有 種不同方法；第三類：恰有5個(gè)小球與盒子編號(hào)相同，這只有1種方法；于是由分類計(jì)數(shù)原理得，共有N=20+10+1=31種不同方法。（3）設(shè)計(jì)分三步完成：第一步，取定三個(gè)空盒（或取走一個(gè)空盒），有 種取法；第二步，將4個(gè)小球分為3堆，一堆2個(gè)，另外兩堆各一個(gè)，有 種分法；第三步，將分好的3堆小球放入取定的3個(gè)空盒中，有 種放法；于是由乘法原理得共有： 種不同方法。（4）分兩步完成：第一步，安排第五次測(cè)試，由于第五次測(cè)試測(cè)出的是次品，故有 種方法；第二步，安排前4次測(cè)試，則在前四次測(cè)試中測(cè)出3只次品和1只正

20、品的方法種數(shù)為 。于是由分布計(jì)數(shù)原理可知，共有 種測(cè)試方法。點(diǎn)評(píng)：為了出現(xiàn)題設(shè)條件中的“巧合”，我們需要考慮對(duì)特殊情形的“有意設(shè)計(jì)”，本例（1）則是這種“有意設(shè)計(jì)”的典型代表，而這里的（3），則是先“分堆”后“分配”的典型范例。五、高考真題（一）選擇題1、過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有（ ）A、18對(duì) B、24對(duì) C、30對(duì) D、36對(duì)分析：注意到任一四面體中異面直線的對(duì)數(shù)是確定的，所以，這里欲求異面直線的對(duì)數(shù)，首先確定上述以單直線可構(gòu)成的四面體個(gè)數(shù)。由上述15條直線可構(gòu)成 個(gè)四面體，而每一四面體有3對(duì)異面直線，故共有36對(duì)異面直線，應(yīng)選D。2、不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離

21、都相等，這樣的平面共有（ ）A、3個(gè) B、4個(gè) C、6個(gè) D、7個(gè)分析：不共面的四點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)四面體，取四面體各棱中點(diǎn)，分別過有公共頂點(diǎn)的三棱中點(diǎn)可得到與相應(yīng)底面平行的4個(gè)截面，這4個(gè)截面到四個(gè)定點(diǎn)距離相等；又與三組對(duì)棱分別平行且等距的平面有3個(gè)，故符合條件的平面共7個(gè)，應(yīng)選D。3、北京財(cái)富全球論壇期間，某高校有14名志愿者參加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為（ ）A、 B、 C、 D、 分析：排班工作分三步完成：第一步，從14人中選出12人，有 種選法；第二步，將第一步選出的12人平均分成三組，有 種分法；第三步，對(duì)第二步分出的3組

22、人員在三個(gè)位置上安排，有 種排法；于是由乘法原理得不同的排班種數(shù)為 ，應(yīng)選A4、從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市各一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（ ）A、300種 B、240種 C、114種 D、96種分析：注意到甲、乙兩人不去巴黎，故選人分三類情況（1）不選甲、乙，不同方案有 種；（2）甲、乙中選1人，不同方方案有 種；（3）甲、乙均入選，不同方案有 種；于是由加法原理得不同的方案總數(shù)為24+144+72=240，應(yīng)選B。5、4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一

23、題作答，選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得-100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得-90分，若4位同學(xué)的總分為0，則這四位同學(xué)不同的得分情況的種數(shù)是（ ）A、48 B、36 C、24 D、18分析：注意到情況的復(fù)雜，故考慮從“分類”切入第一類：四人全選甲題，2人答對(duì)，2人答錯(cuò)，有 種情況；第二類：2人選甲題一對(duì)一錯(cuò)，2人選乙題一對(duì)一錯(cuò)，有 種情況；第三類：四人全選乙題，2對(duì)2錯(cuò)，有 種情況。于是由加法原理得不同得分情況共有 種，應(yīng)選B。6、四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是危險(xiǎn)的，沒有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉庫是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、的4個(gè)倉庫存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為（ ）A、96 B、48 C、24 D、0分析：本題的關(guān)鍵是找“異面直線對(duì)”的個(gè)數(shù)，設(shè)四棱錐為S-ABCD，沒有公共頂點(diǎn)的棱只能分成4組，每組兩條棱（否則三條棱必有公共點(diǎn)），每8條棱分成4組，每組兩條無公共點(diǎn)的棱