特征值和特征向量(共19頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五章矩陣的特征值§1.矩陣的特征值和特征向量一、矩陣的特征值的定義定義1：設(shè)為n階矩陣，是一個數(shù)，如果存在非零n維向量，使得：，則稱是矩陣的一個特征值，非零向量為矩陣的屬于（或?qū)?yīng)于）特征值的特征向量。下面討論一般方陣特征值和它所對應(yīng)特征向量的計算方法。設(shè)是n階矩陣，如果是的特征值，是的屬于的特征向量，則因為是非零向量，這說明是齊次線性方程組的非零解，而齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣的行列式等于零，即0而屬于的特征向量就是齊次線性方程組的非零解。定理1：設(shè)是n階矩陣，則是的特征值，是的屬于的特征向量的充分必要條件是是0的根，是齊次線性方程

2、組的非零解。定義2：稱矩陣稱為的特征矩陣，它的行列式稱為的特征多項式，0稱為的特征方程，其根為矩陣的特征值。由定理1可歸納出求矩陣的特征值及特征向量的步驟：（1）計算；（2）求0的全部根，它們就是的全部特征值；（3）對于矩陣的每一個特征值，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系：，其中為矩陣的秩；則矩陣的屬于的全部特征向量為：其中為不全為零的常數(shù)。例1 求的特征值及對應(yīng)的特征向量。解：令0得：當(dāng)時，解齊次線性方程組即：可知，取為自由未知量，對應(yīng)的方程為求得一個基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù)。當(dāng)時，解齊次線性方程組，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為求得它的一個基礎(chǔ)解

3、系為，所以的屬于特征值-2的全部特征向量為，其中是不為零的常數(shù)。例2 求的特征值及對應(yīng)的特征向量。解：令0，解得：。對于，解齊次線性方程組，的秩為2，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，求得它的一個基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值0的全部的特征向量為，其中K為不為零的常數(shù)。例3 求的特征值及對應(yīng)的特征向量。解：令0解得：當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，解得一個基礎(chǔ)解系為，所以A的屬于特征值-1的全部特征向量為，其中是不為零的常數(shù)。當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，解得一個基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為，其中是不為零的常數(shù)。當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，解得一個基礎(chǔ)解系

4、為，所以的屬于特征值1的全部特征向量為，其中是不為零的常數(shù)。例4 已知矩陣有一個特征向量，求的值。解：由已知有：得：，所以有：練習(xí)：（1）求矩陣的特征值及相應(yīng)的特征向量。解：的特征向量為；的特征向量為（不全為零）。（2）已知矩陣有一個特征向量，試求及所對應(yīng)的特征值。解：設(shè)是特征向量所對應(yīng)的特征值，由定義得：解得：，。二、特征值、特征向量的基本性質(zhì)（1）如果是的屬于特征值的特征向量，則一定是非零向量，且對于任意非零常數(shù)K，K也是的屬于特征值的特征向量。（2）如果是的屬于特征值的特征向量,則當(dāng)時，也是的屬于特征值的特征向量。證：）（3）n階矩陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值。證：注：同一特征值的特

5、征向量不一定相同；的特征矩陣不一定相同。（4）設(shè)，則（a）（b）推論：A可逆的充分必要條件是A的所有特征值都不為零。即。定義3：設(shè)，把A的主對角線元素之和稱為A的跡，記作，即：。由此性質(zhì)（）可記為(5）設(shè)是A的特征值，且是A屬于的特征向量，則（a）是的特征值，并有（）（）（b）是的特征值，（c）若A可逆，則且是的特征值，。證：因為是A屬于的特征值，有，（a）兩邊同乘得：，則是的特征值。（b），則是的特征值，（c）因為A可逆，所以它所有的特征值都不為零，由，得：，即：再由，兩邊同除以得：，所以且是的特征值。例1 已知三階方陣A，有一特征值是3，且，求A的所有特征值。解：設(shè)A的特征值為3，由上述性

6、質(zhì)得：66由此得：例2 已知三階方陣A的三個特征值是1，-2，3，求（1），（2）的特征值，（3）的特征值，（4）的特征值。解：（1）1-6（2）的特征值：1，；（3）的特征值：1，2，3；（4）-6，則的特征值為：-6即為：-6，3，-2。例3 已知矩陣，且向量是逆矩陣的特征向量，試求常數(shù)。解：設(shè)是對于的特征值，所以，即得：或例4 設(shè)A為n階方陣，證明的充要條件是0為矩陣A的一個特征值。證明：0為矩陣A的一個特征值例5 若，則A的特征值只有是零。證明：設(shè)是矩陣A的任一特征值，是對應(yīng)的特征向量，則，而，所以練習(xí)：已知矩陣有特征值（二重），試確定之值。解：因為矩陣的全部特征值之和等于其主對角線上

7、元素之和，故有：，解得：§2.相似矩陣一、相似矩陣的定義定義1：設(shè)A、B為n階矩陣，如果存在n階可逆矩陣P，使得成立，則稱矩陣A與B相似，記作。例1 已知，則，且 所以。例2 如果n階矩陣A與n階單位矩陣I相似，則AI。解：因為，所以一定存在可逆陣P使成立，由此得 。二、相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣具有下述性質(zhì)：（1） 反身性：對任意n階方陣A，都有。（）（2） 對稱性：若，則。（因）（3） 傳遞性：若，。則。由，。（4） 若n階矩陣A、B相似，則它們具有相同的特征值。證明：由已知得：。注：相似矩陣對于同一特征值不一定有相同的特征向量。（5） 若n階矩陣A、B相似，則它們具有相同的行列式。

8、證：因為A與B相似，所以 兩邊求行列式得：即得：推論：相似矩陣具有相同的可逆性。（6） 若n階矩陣A、B相似，則它們具有相同的跡。（7） 若n階矩陣A、B相似，則它們具有相同的秩。（8） 若n階矩陣A、B相似，即。則（k為任意非負(fù)整數(shù)）且。證：當(dāng)k1時，成立，（矩陣A、B相似）假設(shè)km時成立，即有現(xiàn)證k=m+1時也成立，則k=m+1時也成立。例1 已知n階方陣A、B相似，求，。解：因為，所以有，又因；則得。例2 若A相似，求的值。解：因為，所以 ，由此得，又由于，所以，得解得：例3 如果矩陣A可逆，試證AB與BA的特征值相同。證：因為A可逆，所以即AB與BA相似，由性質(zhì)（4）得AB與BA的特征

9、值相同。三、方陣對角化定義2：若方陣A可以和某個對角矩陣相似，則稱矩陣A可對角化。定理1：設(shè)為n階矩陣A的不同特征值。分別是屬于的特征向量，則線性無關(guān)。定理2：n階矩陣A相似于對角陣的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。從定理2可知：只要能求出A的n個線性無關(guān)的特征向量，令P=()就能使，其中矩陣，對角陣的主對角元素依次為所對應(yīng)的特征值。推論：若n階矩陣A有n個相異的特征值，則矩陣A一定可對角化。定理3：設(shè)是n階矩陣A的特征多項式的k重根，則A的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)最多有k個。定理4：設(shè)n階矩陣A有m個不同特征值。設(shè)是矩陣A的屬于的線性無關(guān)的特征向量，則向量組，線性無關(guān)。定

10、理5：n階矩陣A與對角陣相似的充分必要條件是對每一個特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)的最大個數(shù)等于該特征值的重數(shù)，即對每一個重特征值， ()X=0的基礎(chǔ)解系含有個向量。()例1 已知，問矩陣A可否對角化？若可對角化求出可逆陣P及對角陣。解：解得：，由推論可得矩陣A可對角化。當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，解得一個基礎(chǔ)解系為：當(dāng)，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，解得一個基礎(chǔ)解系為：當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，解得一個基礎(chǔ)解系為：則可逆陣為，對應(yīng)的對角陣。例2 已知，問矩陣A可否對角化？若可對角化求出可逆陣P及對角陣。解：，令0得：當(dāng)時， 取為自由未知量，對應(yīng)的方程為，求得一個基礎(chǔ)解系

11、為，對于時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，求得它的一個基礎(chǔ)解系為。則由定理5可得矩陣A可對角化。即存在可逆陣，相應(yīng)的對角陣。例3 已知，問矩陣A可否對角化？若可對角化求出可逆陣P及對角陣。解：所以矩陣A的特征值為。當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，求得它的一個基礎(chǔ)解系為。當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，求得它的一個基礎(chǔ)解系為。因為A只有2個線性無關(guān)的特征向量，而，所以矩陣A不能對角化。注意對重根一般有：。由性質(zhì)（8）知：當(dāng)n階矩陣A、B相似，即時，有，（k為任意非負(fù)整數(shù)），且。由此可得：，如果B是對角陣，則。例4 已知，試計算。解：令0得：當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程為，求得一

12、個基礎(chǔ)解系為，當(dāng)時，取為自由未知量，對應(yīng)的方程組為，求得它的一個基礎(chǔ)解系為。所以可逆陣為，相應(yīng)的對角陣。從而 例5 已知，求。解：解得A的特征值為，當(dāng)時，解線性方程組，解得一個基礎(chǔ)解系當(dāng)時，解線性方程組，解得一個基礎(chǔ)解系所以可逆陣，相應(yīng)的對角陣。從而 例6 設(shè)3階矩陣A的特征值為3，對應(yīng)的特征向量依次為：。求解：，其中例7 設(shè)方陣相似，求之值；并求可逆陣P，使。解：因為A與B相似，有，又有：。A的特征值分別是：；而對應(yīng)的特征向量為：，對應(yīng)的特征向量為： ，對應(yīng)的特征向量為：，所以。§3. 實對稱陣的對角化定理1：實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。定理2：實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量

13、是正交的。我們還可以證明：如果實對稱矩陣A的特征值的重數(shù)是k，則恰好有k個屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量。如果利用施密特正交化方法把這k個向量正交化，它們?nèi)允蔷仃嘇的屬于特征值的特征向量。定理3：設(shè)A為n階實對稱矩陣，則存在n階正交矩陣Q，使為對角陣。假設(shè)A有m個不同特征值，其重數(shù)分別為，。由上述說明可知，對同一特征值，相應(yīng)有個正交的特征向量；而不同特征值對應(yīng)的特征向量也是正交的，因此A一定有n個正交的特征向量，再將這n個正交的特征向量單位化，記其為，顯然這是一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，令，則Q為正交矩陣，且為對角陣?？偨Y(jié)實對稱陣對角化的步驟如下：1） 求全部不同的根，它們是A的全部不同的特征值；2）

14、 對于每個特征值（重根），求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系：，利用施密特正交化方法將其正交化，再將其單位化得：；3） 在第二步中對每個特征值得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組組合為一個向量組：共有個。它們是n個向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。以其為列向量組的矩陣Q就是所求正交矩陣。4），其主對角線元素依次為：例1 求正交矩陣Q，使為對角陣，其中。解：得A的特征值為：分別求出屬于的線性無關(guān)的向量為：，則是正交的，再將單位化，得：，。令，則 例2 求正交矩陣，使為對角陣，其中。解：得矩陣的特征值為：。求出屬于的特征向量為，屬于的特征向量為，,利用施密特正交化方法將正交化得：，所以相互正交，再將其單位化得：，令，則。練習(xí)：將對角化。解：時，時，例3 設(shè)3階實對稱矩陣A的特征值是1，2，3；矩陣A的屬于特征值1，2的特征向量分別為，。（1）求A的屬于3的特