初二講義：勾股定理

1、初二數學講義 勾股定理一.知識歸納1.勾股定理內容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為 a , b ,斜邊為 c ,那么 222a b c +=勾股定理的由來:勾股定理也叫商高定理,在西方稱為畢達哥拉斯定理.我國古代把直角三角形中較短 的直角邊稱為勾,較長的直角邊稱為股,斜邊稱為弦.早在三千多年前,周朝數學家商高就提出了 “ 勾三,股 四,弦五 ” 形式的勾股定理,后來人們進一步發(fā)現并證明了直角三角形的三邊關系為:兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方2. 勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形進

2、過割補拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變 根據同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導出勾股定理 常見方法如下:方法一:4EFGH S S S +=正 方 形 正 方 形 ABCD , 2214( 2ab b a c+-=,化簡可證.(方法一cbEDCBA(方法二bacbac abcab (方法三 a bbaE D CBA方法二: 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積. 四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為 221422S ab c ab c=+=+大正方形面積為 222( 2S a b a ab b =+=+所以 AB 方法三:, 2112S 222A

3、DE ABE S S ab c=+=+梯 形 ,化簡得證3. 勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系,它只適用于直角三角形,對于銳角三角形和鈍角 三角形的三邊就不具有這一特征,因而在應用勾股定理時,必須明了所考察的對象是直角三角形 4. 勾股定理的應用 已知直角三角形的任意兩邊長,求第三邊在 A B C 中, 90C =,則 c =, b = , a = 知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數量關系 可運用勾股定理解決一些實際問題 5. 勾股數 能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數,即 222a b c +=中, a , b , c 為正整數時,稱

4、a , b , c 為一組勾股數 記住常見的勾股數可以提高解題速度,如 3, 4, 5; 6,8,10; 5,12,13; 7, 24, 25等 用含字母的代數式表示 n 組勾股數:221, 2, 1n n n -+(2, n n 為正整數 ; 2221, 22, 221n n n n n +(n 為正整數2222, 2, m n mn m n-+(, m n >m , n 為正整數例題解析題型一:直接考查勾股定理 例1. 在 A B C 中, 90C =.已知 6AC =, 8B C =.求 AB 的長 已知 17AB =, 15A C =,求 BC 的長 分析:直接應用勾股定理 22

5、2a b c +=考點一、已知兩邊求第三邊例.已知,如圖在 ABC 中, AB=BC=CA=2cm, AD 是邊 BC 上的高.求 AD 的長; ABC 的面積. 練習一1.已知直角三角形的兩邊長為 3、 2,則另一條邊長 _.2. (2009年濱州某樓梯的側面視圖如圖 4所示,其中 4A B =米, 30B A C =°, 90C =°,因某種活動要求鋪設紅色地毯,則在 AB 段 樓梯所鋪地毯的長度應為 . 3.在數軸上作出表示 的點.4.三角形 ABC 中 ,AB=10,AC=17,BC邊上的高線 AD=8,求 BC題型二:應用勾股定理建立方程 例2.在 A B C 中

6、, 90AC B =, 5A B =cm , 3B C =cm , C D AB 于 D , C D = 已知直角三角形的兩直角邊長之比為 3:4,斜邊長為 15,則這個三角形的面積為已知直角三角形的周長為 30cm ,斜邊長為 13cm ,則這個三角形的面積為分析:在解直角三角形時,要想到勾股定理,及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.有時可根據勾 股定理列方程求解BCA°B A DEF例3. 如圖 A B C 中, 90C =, 12=, 1.5C D =, 2.5BD =,求 A C 的長1EDCBA例 4. 如圖 R t A B C , 90C =3, 4AC BC =,

7、 分別以各邊為直徑作半圓,求陰影部分面積 考點二、利用列方程求線段的長例.如圖,鐵路上 A , B 兩點相距 25km , C , D 為兩村莊, DA AB 于 A , CB AB 于 B ,已知 DA=15km, CB=10km, 現在要在鐵路 AB 上建一個土特產品收購站 E ,使得 C , D 兩村到 E 站的距離相等,則 E 站應建在離 A 站多少 km 處?練習二如圖,小紅用一張長方形紙片 ABCD 進行折紙,已知該紙片寬 AB 為 8cm , 長 BC 為 10cm .當小紅折疊時,頂點 D 落在 BC 邊上的點 F 處(折痕為 AE .想一想,此時 EC 有多長? 題型三:實際

8、問題中應用勾股定理例 5. 如圖有兩棵樹,一棵高 8cm ,另一棵高 2cm ,兩樹相距 8cm ,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數 的樹梢,至少飛了 mEBCABCD E題型四:與展開圖有關的計算 例 4、如圖一個圓柱,底圓周長 6cm ,高 4cm ,一只螞蟻沿外 壁爬行,要從 A 點爬到 B 點,則最少要爬行 cm題型五:勾股定理的實際應用用勾股定理求兩點之間的距離問題例、如圖所示,在一次夏令營活動中,小明從營地 A 點出發(fā),沿北偏東 60°方向走了 到達 B 點,然后再沿北偏西 30°方向走了 500m 到達目的地 C 點。 (1求 A 、 C 兩點之間的距離。

9、(2確定目的地 C 在營地 A 的什么方向。練習 . 如圖 8,公路 MN 和公路 PQ 在點 P 處交匯,且 QPN =300,點 A 處有一所中學, AP =160米,假設拖拉 機行駛時,周圍 100米以內會受到噪音的影響,那么拖拉機在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時,學校是否回受到 噪聲的影響?說明理由.如果受影響,已知拖拉機的速度為 18千米 /時,那么學校受影響的時間為多少秒?圖8AB B 第 7題ED C B A 第 9題 BA6cm3cm第 10題圖勾股定理提高訓練(一1、在 Rt ABC 中 , 若直角邊的長分別為 1cm , 2cm ,則斜邊長為 _. 2、已知直角三角形的

10、兩邊長為 3、 2,則另一條邊長是 _.3.在一個直角三角形中,若斜邊長為 5cm ,直角邊的長為 3cm ,則另一條直角邊的長為 ( . A. 4cm B. 4cm 或 cm 34 C. cm 34 D.不存在 4、在直角三角形 ABC 中,斜邊 AB=1,則 AB 222AC BC +的值是( A.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形兩直角邊長分別為 5和 12,則它斜邊上的高為 _. 6、如圖,學校有一塊長方形花鋪,有極少數人為了避開拐角走“捷徑”, 在花鋪內走出了一條“路”.他們僅僅少走了 步路 (假設 2步為 1米 7、如圖,在 ABC 中, AB =AC =13, BC =10

11、, D 是 AB 的中點,過點 D 作 DE AC 于點 E ,則 DE 的長是 _. 8、 把一根長為 10的鐵絲彎成一個直角三角形的兩條直角邊, 如果要使三角形的面積是 9 2, 那么還要準備一根長為 _的鐵絲才能把三角形做好.9.如圖,將一個邊長分別為 4、 8的長方形紙片 ABCD 折疊,使 C 點與 A 點重合,則 EB 的長是( . A . 3B . 4 CD . 510、如圖,長方體的底面邊長分別為 1cm 和 3cm ,高為 6cm .如果用一根細線從點 A 開始經過 4個側面纏繞一圈到達點 B , 那么所用細線最短需要 _cm;如果從點 A 開始經過 4個側面纏繞 3圈到達點 B , 那么所用細線最短需要 _cm.11、在數軸上作出表示 的點.有志者事竟成！ 勤奮努力+堅持不懈+沉著自信=成功！ 12、如圖，某學校（A 點）與公路（直線 L）的距離為 300 米，又與公路車站（D 點）的距離為 500 米，現要在公路上建一個小商店（C 點） ，使之與該校 A 及車站 D 的距離相等，求商店與車 站之間的距離 13、如圖，AB 為一棵大樹