關于矩陣的基本知識點

1、關于矩陣的基本知識點：主要意圖：1. 掌握矩陣的加法，乘法及數(shù)與矩陣的乘法運算法則。及其基本性質(zhì)，并熟練地對矩陣進行運算。2. 了解幾種特殊矩陣的性質(zhì)。 矩陣的運算 1 矩陣相等 我們將在一個數(shù)域上來討論。令F是一個數(shù)域。用F的元素aij作成的一個m 行n 列矩陣 A= 叫做F上一個矩陣。A 也簡記作（aij）。為了指明 A的行數(shù)和列數(shù)，有時也把它記作Amn或（aij ）mn。 一個 m行n列矩陣簡稱為一個m*n矩陣。特別，把一個n*n 矩陣叫做一個 n階正方陣，或n階矩陣。 F上兩個矩陣，只有在它們有相同的行數(shù)和列數(shù)，并且對應位置上的 元素都相等時，才認為上相等的。以下提到矩陣時，都指的是數(shù)

2、域F上的矩陣。我們將引進三種運算：數(shù)與矩陣的乘法，矩陣的加法以及矩陣的乘法。先引入前兩種運算。2 矩陣的線性運算定義 1 數(shù)域F的數(shù) a 與F上一個m*n 矩陣A=(aij) 的乘法aA指的是m*n 矩陣（aaij） 定義 2 兩個m*n 矩陣A=(aij)，B=(bij) 的和A+B指的是m*n 矩陣（aij+bij）。注意 ，我們只能把行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個矩陣相加。以上兩種運算的一個重要特例是數(shù)列的運算。 現(xiàn)在回到一般的矩陣。我們把元素全是零的矩陣叫做零矩陣，記作0。如果矩陣 A=(aij )，我們就把矩陣（- aij），叫做A 的負矩陣，記作A。3 矩陣線性運輸?shù)囊?guī)律A+B=B+A；

3、(A+B)+C=A+(B+C)；0+A=A；A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab；(a+b)A=Aa+Ba ；a(bA)=(ab)A ；這里A,B 和 C 表示任意m*n 矩陣，而a 和 b 表示 F中的任意數(shù)。利用負矩陣，我們?nèi)缦露x矩陣的減法：AB=A+（B）。于是有A+B=CA=CB。由于數(shù)列是矩陣的特例，以上運算規(guī)律對于數(shù)列也成立。 4 乘法定義 3 數(shù)域F 上的m*n矩陣A=(aij)與n*p矩陣B=(bij) 的乘積AB 指的是這樣的一個m*p 矩陣。這個矩陣的第I行第j列（I=1,2,，m; j=1,2, p） 的元素cij等于A的第I行的元素與B的第j列的對應元素的乘積的

4、和： cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj。 注意，兩個矩陣只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時才能相乘。 我們看一個例子: =.5 矩陣乘法的運算規(guī)律：對于數(shù)的乘法成立的運算規(guī)律，對于矩陣的乘法說并不都成立。值得一提的是以下兩點。兩個非零矩陣的乘積肯是零矩陣，例如： .矩陣的乘法不滿足交換律。首先，當 p¹ m時 AmnBnp有意義，但BnpAmn沒有意義。其次，AmnBnp 和BnmAmn雖然有意義，但是當m¹n時，頭一個乘積是m階矩陣而第二個是n階矩陣，它們不相等。最后，AnnBnn和BnnAnn雖然都是n階矩陣，但它們也未必相等。 例如 但是距陣

5、乘法滿足結(jié)合律: (AB)C=A(BC)事實上,可以假定A=(aij)mn,B=(bij)np, C=(cij)pq,那么(AB)C和A(BC)都是m*n距陣,我們來證明它們的對應元素相等,令 AB=U=(uij), BC=V=(vij).由距陣乘法知, = , ,因此(AB)C=UC的第I行第j列的元素是 (1) 另一方面, A(BC)=AV 的第I行第 j列的元素是(2) 由于雙重求和符號可以交換次序,所以(1)和(2)的又端相等.這就證明了結(jié)合律.我們知道,數(shù)1乘任何數(shù)a仍得a.對距陣的乘法來說,存在這樣的距陣,他們有類似于數(shù)1的性質(zhì).我們把主對角線上(從左上角到右下角的對角線

6、)上的元素都是1,而其它元素都是0的n階正距陣1 0 00 1 00 0 1叫做n階單位距陣 ，記作In,有時簡記作I.In顯然有以下性質(zhì)：InAnp=Anp; AmnIn=Amn.距陣的乘法和加法滿足分配律：A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA;這兩個式子的驗證比較簡單，我們留給讀者。注意，由于距陣的乘法不滿足結(jié)合律，所以著兩個式子并不能互推。距陣的乘法和數(shù)與距陣的乘法顯然滿足以下運算規(guī)律： a(AB)=(aA)B=A(aB).給了任意r個距陣A1,A2, Ar,只要前一個距陣的列數(shù)等于后一個距陣的行數(shù)，就可以把它們依次相乘，由于距陣的乘法滿足結(jié)合律，作這樣的乘積時，我們可以把

7、因子任意結(jié)合，而乘積A1A2A r有完全確定的意義。特別，一個n階正方陣A的r 次方（r 是正整數(shù)）有意義 我們再約定 A0=I這樣一來，一個n 階距陣的任意非負整數(shù)次方都有意義。設 f(x)=a0+a1+amxm是Fx中有確定的意義，它仍然是F 上的一個n階正方陣，我們將它記作f(x): f(A)=a0I+a1A+amAm.如果f(x), g(x)Fx,而A 是一個 n階距陣，令 u(x)=f(x)+g(A),v(x)=f(x)g(x) 于是有 u(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A)5 距陣的轉(zhuǎn)置 定義4 設m*n距陣 a11 a12 a1n A= a21 a22 a2n

8、am1 am2   amn把A的行變?yōu)閭z所得到的n×m距陣 a11 a21 am1A= a12 a22 am2 a1n a2n amn 叫A 的轉(zhuǎn)置距陣的轉(zhuǎn)置規(guī)律a) (A)=A,b) (A+B)=A+Bc) (AB)=BAd) (aA)=aA 我們只驗證(5),其它三個規(guī)律容易驗證.設A= , B= 首先容易看出,(AB)和BA都是pm矩陣.其次,位于(AB)的第i行第j列的元素就是位于AB的第j行第i列的元素,因而等于 aj1b1i+aj2b2i+ajnbni. 位于BA的第i行第j列的元素等于B的第i行的元素與A的第j列的對應元素的乘積之和,因而等于B的第i列的元素與A的第j行的對應元素的