直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

1、.聚焦考點直線和圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點；試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，不僅考查“三基”掌握的情況，而且重點考查學(xué)生的作圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算，以及運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力。 在近幾年的高考中， 每年風(fēng)格都在變換， 考查思維的敏捷性，在探索中求創(chuàng)新。具體來說，這些問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點， 如直線被圓錐曲線截得的弦長、弦中點問題，垂直問題，對稱問題。與圓錐曲線性質(zhì)有關(guān)的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向?？v觀近幾年高考和各類型考試，可以發(fā)現(xiàn)：1研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，通常有兩種方法：

2、一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數(shù)、與交點坐標(biāo)有關(guān)的問題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題， 結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題； 二是運用數(shù)形結(jié)合， 迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關(guān)系。2涉及弦長問題， 利用弦長公式及韋達定理求解， 涉及弦的中點及中點弦問題，利用差分法較為簡便。3充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用。靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想解題。熱點透析題型 1：直線與圓錐曲線的交點個數(shù)問題例 1 已知雙曲線 C:2 x2 y2=2 與點 P(1 ，2)(1) 求過 P(1 ，

3、2) 點的直線 l 的斜率取值范圍，使 l 與 C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點 .(2) 若 Q(1 ，1) ，試判斷以 Q為中點的弦是否存在 .解 :(1) 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時， l 的方程為 x=1, 與曲線 C 有一個交點 . 當(dāng) l 的斜率存在時，設(shè)直線 l 的方程為 y2=k( x 1), 代入 C的方程，并整理得(2 k2) x2+2( k22k) xk2+4k6=0 .( * )( ) 當(dāng) 2 k2 =0, 即 k=±時，方程 ( * ) 有一個根， l 與 C有一個交點.( ) 當(dāng) 2 k2 0, 即 k±時= 2(k2k24(2 k2)(k2

4、k6)=16(3k)2)+42當(dāng)=0,即kk=時，方程*)有一個實根， l 與 C 有一個交點.32 =0,(當(dāng)0, 即 k, 又 k±,故當(dāng) k或 k或k時，方程 ( * ) 有兩不等實根， l 與C有兩個交點 .當(dāng) ，即 k時，方程*)無解， l 與 C 無交點.0(綜上知 : 當(dāng) k=±, 或 k=，或 k 不存在時， l 與 C只有一個交點；當(dāng)k, 或k, 或 k時， l 與 C 有兩個交點；當(dāng) k 時， l 與 C沒有交點 .(2) 假設(shè)以 Q為中點的弦存在，設(shè)為 AB，且 A( x1, y1), B( x2, y2) ，則 2x12 y1 2=2,2 x22y2

5、2=2 兩式相減得 :2( x1x2 )( x1+x2 )=( y1y2)( y1+y2)又x1 x2=2,y1 y2=22(x1x2)=y1 y1即 kAB=2+=但漸近線斜率為±, 結(jié)合圖形知直線 AB與 C 無交點，所以假設(shè)不正確，即以 Q為中點的弦不存在 . 分析 第一問考查直線與雙曲線交點個數(shù)問題，歸結(jié)為方程組解的問題 . 第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法“點差法”.易錯點提醒 : 第一問，求二次方程根的個數(shù)，忽略了二次項系數(shù)的討論 . 第二問，算得以 Q為中點弦的斜率為 2，就認為所求直線存在了 .技巧與方法 : 涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設(shè)而不求，將

6、弦所在直線的斜率，弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化 .熱身訓(xùn)練 1 直線與雙曲線的右支交于不同的兩點A、B。（ 1）求實數(shù) k 的取值范圍。（ 2）是否存在實數(shù) k，使得以線段 AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線 C的右焦點 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，請說明理由?！窘狻浚?）將直線 l 的方程 y=kx+1 代入雙曲線 C的方程后，整理得。依題意，直線 l 與雙曲線 C 的右支交于不同的兩點，故解得 k 的取值范圍為（ 2）設(shè) A、B 兩點的坐標(biāo)分別為、，則由式得假設(shè)存在實數(shù) k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點，則由得：，即。.整理得。把式及代入式，化簡得。解得或（舍去）。存在使

7、得以線段 AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點。題型 2：有關(guān)弦長問題【例 2】如圖所示，已知橢圓與拋物線有公共焦點，M是它們的一個交點，若，且。（ 1）求橢圓及拋物線的方程；（ 2）是否存在過 F 的直線 l 被橢圓及拋物線截得的弦長相等，若存在，求出 l 的方程；若不存在，說明理由?！窘狻浚?1）的焦點，準線：，p=2c。設(shè)，由，得，由，得，.， c=2。，代入，解得，橢圓方程為，拋物線方程為。（ 2）設(shè)直線 l 的方程為，與聯(lián)立，得。將 l 的方程與橢圓方程聯(lián)立，得：由。存在直線 l ，其方程為：或。題型 3：與中點弦有關(guān)的問題【例 3】已知雙曲線方程。（ 1）過 M（1，1）的直線交雙曲

8、線于 A、B 兩點，若 M為弦 AB中點，求直線 AB 的方程。.（ 2）是否存在直線l ，使為 l 被雙曲線所截弦的中點，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由?！窘狻勘绢}涉及弦的中點問題，可以選用差分法解決。（1）設(shè)，則，則有-得。，。若，由知，則點 A、B 均不在雙曲線上， 與題設(shè)矛盾，。直線 AB的方程為，即 x-2y+1=0 。雙曲線的一條漸近線方程為，而，直線 x-2y+1=0 與雙曲線交于兩點，x -2y+1=0 為所求。.（ 2）假設(shè)過 N 的直線 l 交雙曲線于，則有，。兩式相減，得。依題意，。雙曲線的一條漸近線方程為，而，直線 l 與雙曲線沒有公共點，以為弦中點

9、的直線不存在。題型 4：對稱問題【例 4】在以 O為原點的直角坐標(biāo)系中，點A（4，-3 ）為的直角頂點，已知，且點 B 的縱坐標(biāo)大于零。（ 1）求向量的坐標(biāo)；（ 2）求圓關(guān)于直線 OB對稱的圓的方程；（ 3）是否存在實數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不存在，理由；若存在，求a 的取值范圍。【說明】這是一個非常好的、綜合性強的題目要認真研究?！窘狻浚?1）設(shè)，則由，.得，解得，或，得。故。（ 2）由，得 B（10，5），于是直線 OB的方程為：。由題設(shè)可知，圓的標(biāo)準方程為：。得圓心（ 3，-1 ），半徑為。設(shè)圓心（ 3，-1 ）關(guān)于直線 OB的對稱點為（ x， y），則，得。故所

10、求圓的方程為。（ 3）設(shè)為拋物線上關(guān)于直線OB對稱的兩點，則，得，即為方程的兩個相異實根。于是由，得。.故當(dāng)時，拋物線上總有關(guān)于直線 OB對稱的兩點?！驹u析】對稱性問題是高考的熱點， 一般包括點對稱與直線對稱， 要重視此類問題的常規(guī)解法， 如本題主要考查兩個方面： 一是中點在對稱軸上； 二是利用垂直關(guān)系，通過聯(lián)立方程組求解。 一般情況下， 對稱問題都可以轉(zhuǎn)化為點的對稱來加以解決。熱身訓(xùn)練 1 若拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，求的范圍 .解法一 : （對稱曲線相交法 ）曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程為.如果拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩點，則兩曲線與必有不在直線上的兩個不同的交點 ( 如圖所示

11、) ，從而可由 :.代入得有兩個不同的解，.解法二 : （對稱點法 ）.設(shè)拋物線上存在異于于直線的交點的點，且關(guān)于直線的對稱點也在拋物線上 . 則必有兩組解 .(1)-(2)得 : 必有兩個不同解 .，有解.從而有有兩個不等的實數(shù)解 .即:有兩個不等的實數(shù)解 .，.解法三 : （點差法）設(shè)拋物線上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且以為中點是拋物線（即）內(nèi)的點 . 從而有.由(1)-(2)得 :.由.從而有.熱身訓(xùn)練 2 試確定的取值范圍，使得橢圓上有不同兩點關(guān)于直線對稱 .解 : 設(shè)橢圓上以為端點的弦關(guān)于直線對稱，且以為中點是橢圓內(nèi)的點 .從而有.由(1)-(2)得:由由在直線上從而有.熱身訓(xùn)練 3

12、已知直線過定點 A(4,0) 且與拋物線交于 P、Q兩點，若以 PQ為直徑的圓恒過原點O，求的值 .解 : 可設(shè)直線的方程為代入得. 設(shè)，則.由題意知， OPOQ，則即此時，拋物線的方程為.題型 5：圓錐曲線中幾何量的范圍問題【例 5】已知常數(shù) a>0，向量 m=（ 0，a）， n=（1，0），經(jīng)過定點 A（0，-a ）以 m+ n 為方向向量的直線與經(jīng)過定點 B（0，a），以 n+2 m為方向向量的直線相交于點 P，其中。（ 1）求點 P 的軌跡 C 的方程；（ 2）若，過 E（0，1）的直線 l 交曲線 C 于 M、N兩點，求的取值范圍?！窘狻浚?1）設(shè) P 點的坐標(biāo)為（ x，y），

13、則，又n，m，故 mn， nm。由題知向量與向量 mn 平行，故。.又向量與向量 nm平行，故。兩方程聯(lián)立消去參數(shù)，得點 P（ x， y）的軌跡方程是，即。（ 2），故點 P 的軌跡方程為，此時點 E（ 0，1）為雙曲線的焦點。若直線 l 的斜率不存在，其方程為 x=0，l 與雙曲線交于，此時。若直線 l 的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+1，代入化簡得。直線 l 與雙曲線交于兩點，且，即。設(shè)兩交點為，則。此時。.當(dāng)-1<k<1 時，故，當(dāng) k>1 或 k<-1 時，故。綜上所述，的取值范圍是。熱身訓(xùn)練1如圖，已知某橢圓的焦點是F1( ，、F2，0)，過點 F2 并垂直于

14、B，且4 0)(4x 軸的直線與橢圓的一個交點為F1BF2B，橢圓上不同的兩點|+|=10A( x1, y1), C( x2, y2 ) 滿足條件 :| F2A| 、| F2B| 、 | F2C| 成等差數(shù)列 .(1) 求該橢圓的方程；(2) 求弦 AC中點的橫坐標(biāo)；(3) 設(shè)弦 AC的垂直平分線的方程為 y=kx+m，求 m的取值范圍 .命題意圖 : 本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識，一、二問較簡單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設(shè)計新穎，綜合性，靈活性強.知識依托 : 橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法.錯解分析 : 第三問在表達出“ k=y0 ”時，忽略了

15、“ k=0”時的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系 . 技巧與方法 : 第一問利用橢圓的第一定義寫方程； 第二問利用橢圓的第二定義 ( 即焦半徑公式 ) 求解 , 第三問利用 m表示出弦 AC的中點 P的縱坐標(biāo) y0, 利用 y0 的范圍求 m的范圍解 :(1) 由橢圓定義及條件知， 2a=| F1B|+| F2 B|=10, 得 a=5, 又 c=4,所以 b=3.故橢圓方程為=1.=(2)由點 ByB在橢圓上，得|F2ByB|= .(4,)|=|.因為橢圓右準線方程為x=, 離心率為，根據(jù)橢圓定義，有 | F2A|=(x1),| F2C|=(x2) ，由|F2A、F2 B、F2C成等差數(shù)列，得

16、( x1)+ (x2)=2×,由此|得出 :x1x2=8.+設(shè)弦 AC的中點為 P x0,y0),則 x0=4.(3) 解法一 : 由 A( x1 , y1), C( x2, y2) 在橢圓上 .得得 9( x12 x2 2)+25( y12y22)=0,即 9×=0( x1x2)將,( k0)代入上式，得 9×4+25y0( )=0:( k0)即 k=y0( 當(dāng) k=0 時也成立 ).由點 P(4 ，y0 ) 在弦 AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以 m=y04k=y0y0=y0.由點 P(4 ，y0 ) 在線段 BB(B與 B 關(guān)于 x 軸對稱 ) 的

17、內(nèi)部，得 y0 , 所以m.解法二 : 因為弦 AC的中點為 P(4, y0) ，所以直線 AC的方程為y y0 (x4) (k0)=將代入橢圓方程=1, 得(9k2+25)x250(ky 0x+25(ky 0+4)2+4)k2=025×9所以x1x2=8,解得 k=y0當(dāng) k=0時也成立)+ =. ( 以下同解法一 ).最新考題探究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系綜合考查了直線與圓錐曲線的有關(guān)概念、 定義與性質(zhì)以及運算能力、轉(zhuǎn)化能力，是高考命題的重點和熱點。 在高考試題中年年會出現(xiàn)，且試題的難度比較大， 經(jīng)常在“壓軸題”中出現(xiàn)， 集中體現(xiàn)了對知識和能力的考查，其中直線與圓錐曲線相交及圓錐曲

18、線中的相關(guān)弦問題是考查的重點。【考題】（07四川文）本小題滿分12分)求F1、F2 分別是橢圓的21 (左、右焦點 .（）若 r 是第一象限內(nèi)該數(shù)軸上的一點，求點 P 的作標(biāo)；（）設(shè)過定點 M（ 0， 2）的直線 l 與橢圓交于同的兩點 A、B，且 ADB為銳角（其中 O為坐標(biāo)原點），求直線 的斜率 的取值范圍 .解析：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理計算能力.（）易知，設(shè)則，又，聯(lián)立，解得，（）顯然不滿足題設(shè)條件可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，由，得又為銳角，又.綜可知，的取值范圍是【評析】向量與解析幾何的交匯是近兩年高考數(shù)學(xué)題的“ 流行色” ，

19、由于向量兼具“數(shù)”和“形”的雙重特征， 因此用向量實現(xiàn)數(shù)形的轉(zhuǎn)化與溝通較容易， 而解析幾何又正是用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)分支， 相似的理念、共同的目標(biāo)使得向量與解析幾何的聯(lián)袂一拍即合，相得益彰。名師溫馨提示1有關(guān)直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)問題，應(yīng)該注意數(shù)形結(jié)合；2有關(guān)弦長問題，應(yīng)注意運用弦長公式及韋達定理，設(shè)而不求；有關(guān)焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算；3有關(guān)弦的中點問題，應(yīng)注意靈活運用“差分法”，設(shè)而不求，簡化運算。4有關(guān)垂直關(guān)系問題，要注意運用斜率關(guān)系及韋達定理，設(shè)而不求，整體處理。5有關(guān)圓錐曲線關(guān)于直線l 的對稱問題中，若A、A是對稱點，則應(yīng)抓住線段AA的中點在 l

20、 上及這兩個關(guān)鍵條件解決問題。6有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問題， 一般采用“假設(shè)反證法”或“假設(shè)驗證法”。課后實戰(zhàn)訓(xùn)練.1橢圓與直線交于兩點，過原點與線段中點所在直線的斜率為，則的值是（）ABCD（目的：理解中點弦的斜率與圓錐曲線方程中系數(shù)的關(guān)系）【答案】（A）【解析】設(shè)則，兩式相減得，所以2設(shè)拋物線與過焦點的直線交于兩點，則的值是（）ABC3D-3（目的：借助向量、利用韋達定理理解拋物線焦點弦的特性）【答案】（ B）【解析】3若直線與橢圓相交于兩點，當(dāng)變化時，的最大值是？（目的：掌握弦長公式的應(yīng)用，理解直線與橢圓相交弦的弦長隨的變化情況）【答案】【解析】.4在拋物線上求一點，使該點到直線的距離最短， 該點的坐標(biāo)是 _。（目的：學(xué)會借用直線與圓錐曲線位置關(guān)系來討論曲線上的點到直線距離的最值問題）【答案】【解析】設(shè)直線是與直線平行且與拋物線相切的直線，求得，切點為，即為所求的點。5已知對，直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCD（目的：理解方程中含有一個參數(shù)的直線的特征， 能夠用直線上的特殊點判斷直線與圓錐曲線的關(guān)系）【答案】【解析】直線恒過點，當(dāng)點在橢圓上或橢圓內(nèi)時此直線恒與橢圓有公共點。6已知雙曲線中心