電力線和電通量

1、12.1 電力線和電通量、高斯定律電力線和電通量、高斯定律2.2 利用高斯定律求靜電場的分布利用高斯定律求靜電場的分布例三、求無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)分布例三、求無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)分布例一、均勻帶電的球殼內(nèi)外的場強(qiáng)分布例一、均勻帶電的球殼內(nèi)外的場強(qiáng)分布例二、均勻帶電的球體內(nèi)外的場強(qiáng)分布例二、均勻帶電的球體內(nèi)外的場強(qiáng)分布例四、求無限大均勻帶電平板的場強(qiáng)分布例四、求無限大均勻帶電平板的場強(qiáng)分布提綱提綱作業(yè)：作業(yè)：1-8，1-9，1-102 靜電場的高斯定律靜電場的高斯定律22.1 電力線和電通量電力線和電通量 高斯定律高斯定律pSNpE)()( 正確的選擇正確的選擇 可以使數(shù)密度等于場強(qiáng)?？?/p>

2、以使數(shù)密度等于場強(qiáng)。N1定義：定義：一、電力線一、電力線(electric line of force)電力線上各點的電力線上各點的切線方向切線方向表表示電場中示電場中該點場強(qiáng)的方向該點場強(qiáng)的方向，在垂直于電力線的單位面積在垂直于電力線的單位面積上的電力線的條數(shù)（上的電力線的條數(shù)（數(shù)密度數(shù)密度)等于該點的等于該點的場強(qiáng)的大小場強(qiáng)的大小。Eq32 電力線的性質(zhì)：電力線的性質(zhì)：電力線不會中斷。電力線不會中斷。電力線不會相交。（單值）電力線不會相交。（單值）電力線不會形成閉合曲線，電力線不會形成閉合曲線，它起始于正電荷終止于負(fù)電荷。它起始于正電荷終止于負(fù)電荷。Eqq1 定義定義二、電通量二、電通量通

3、過任一面元的電力線通過任一面元的電力線的條數(shù)稱為通過這一面的條數(shù)稱為通過這一面元的元的電通量電通量。（類比于。（類比于流速場的定義）。流速場的定義）。EdSE/E4 cos) cos(dSnEdSdS dSdS 面元在垂直于場強(qiáng)方向的投影是面元在垂直于場強(qiáng)方向的投影是 ，dS 是面元是面元 的法線方向，的法線方向， 是場強(qiáng)是場強(qiáng) 的方向與面元的方向與面元 法向法向 的夾角。所以的夾角。所以 n dSn E cosEdSEdSde 定義：定義：矢量面元矢量面元ndSSd 大小等于面元的面積，方向取其法線方向。大小等于面元的面積，方向取其法線方向。因此電通量：因此電通量：SdEde dSdSn E

4、dS所以通過它的電通量等于面元所以通過它的電通量等于面元 的電通量的電通量,又因又因5通過任一曲面通過任一曲面S的電通量：的電通量：SSeeSdEd0 ed0 ed2 方向的規(guī)定方向的規(guī)定： 閉合曲面外法線方向閉合曲面外法線方向(自內(nèi)向外自內(nèi)向外) 為正。為正。En En En 0 ed 非閉合曲面的邊界繞行非閉合曲面的邊界繞行方向與法向成右手螺旋法則方向與法向成右手螺旋法則n6三、靜電場的高斯定律三、靜電場的高斯定律Gauss theorem表述：表述：e0靜電場中任何一閉合曲面靜電場中任何一閉合曲面 S的電通量的電通量 ，等于，等于該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的該曲面所包圍的電荷的代數(shù)和的

5、分之一倍。分之一倍。iinsideiSqSdE,01數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式證明：可用庫侖定律和疊加原理證明。證明：可用庫侖定律和疊加原理證明。1 證明包圍點電荷證明包圍點電荷 的同心球面的同心球面 的電通量的電通量 等于等于 qSe0q球面上各點的場強(qiáng)方向與其徑向相同。球面上各點的場強(qiáng)方向與其徑向相同。球面上各點的場強(qiáng)大小由庫侖定律給出。球面上各點的場強(qiáng)大小由庫侖定律給出。qrEdSrqEdSSdEde2041 7dSrqEdSSdEde2041 0202044 qdSrqdSrqdSSSee 此結(jié)果與球面的半徑無關(guān)。換句話說，此結(jié)果與球面的半徑無關(guān)。換句話說，通過各球面的電力線總條數(shù)相等。通過

6、各球面的電力線總條數(shù)相等。從從 發(fā)出的電力線連續(xù)的延伸到無窮遠(yuǎn)。發(fā)出的電力線連續(xù)的延伸到無窮遠(yuǎn)。qqrE2 證明包圍點電荷證明包圍點電荷 的任一閉合曲面的任一閉合曲面 的的 電通量電通量 等于等于 qSe0/q立體角立體角solid angle q2rdSd 8立體角立體角2rdSd cosdSdS 2 2 cosrdSrrSdd dqEdSndSrESdEde0 4 實際上因為電力線不會中斷（連續(xù)性），所以實際上因為電力線不會中斷（連續(xù)性），所以通過閉合曲面通過閉合曲面 和和 的電力線數(shù)目是相等的。的電力線數(shù)目是相等的。SSdSdSn Er d4Sd可以證明，略。可以證明，略。0 qdSee

7、 9由于由于電力線的連續(xù)性電力線的連續(xù)性可知可知，穿入與穿出任一閉合曲面穿入與穿出任一閉合曲面的電通量應(yīng)該相等。所以的電通量應(yīng)該相等。所以當(dāng)閉合曲面無電荷時，電當(dāng)閉合曲面無電荷時，電通量為零。通量為零。 3 證明不包圍點電荷的任一閉合曲面證明不包圍點電荷的任一閉合曲面 的的 電通量恒等于零。電通量恒等于零。SEqdS dS4證明：多個點電荷的電通量等于它們單獨存在時的證明：多個點電荷的電通量等于它們單獨存在時的電通量的代數(shù)和。電通量的代數(shù)和。iq2q1q利用利用場強(qiáng)疊加原理場強(qiáng)疊加原理可證。可證。10兩點說明兩點說明E 高斯定律中的場強(qiáng)高斯定律中的場強(qiáng) 是由是由全部電荷全部電荷產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。

8、 通過閉合曲面的通過閉合曲面的電通量只決定于它所包含的電通量只決定于它所包含的 電荷電荷，閉合曲面外的電荷對電通量無貢獻(xiàn)。，閉合曲面外的電荷對電通量無貢獻(xiàn)。 SnSSSSneSdESdESdESdEEEESdE21321)( iinsideiSeneeeqSdE,0211 11附附對于靜止電荷的電場，庫侖定律和高斯定律等價。對于靜止電荷的電場，庫侖定律和高斯定律等價。高斯定律的用途高斯定律的用途：當(dāng)電荷分布具有某種對稱性時，可用高斯定律求當(dāng)電荷分布具有某種對稱性時，可用高斯定律求 出該電荷系統(tǒng)的電場的分布。比用庫侖定律簡便。出該電荷系統(tǒng)的電場的分布。比用庫侖定律簡便。 當(dāng)已知場強(qiáng)分布時，可用高

9、斯定律求出任一區(qū)域當(dāng)已知場強(qiáng)分布時，可用高斯定律求出任一區(qū)域 的電荷、電位分布。的電荷、電位分布。開文迪許就是用高斯定律來證明庫侖定律的平方開文迪許就是用高斯定律來證明庫侖定律的平方 反比關(guān)系。這說明它們不是相互獨立的定律，而反比關(guān)系。這說明它們不是相互獨立的定律，而 是用不同形式表示的電場與場源電荷關(guān)系的同一是用不同形式表示的電場與場源電荷關(guān)系的同一 客觀規(guī)律?？陀^規(guī)律。對于運動電荷的電場，庫侖定律不再正確，對于運動電荷的電場，庫侖定律不再正確，而高斯定律仍然有效。而高斯定律仍然有效。122.2 利用高斯定律求靜電場的分布利用高斯定律求靜電場的分布中的中的 能以標(biāo)量能以標(biāo)量SSdEE當(dāng)當(dāng)場源

10、電荷分布具有某種對稱性時場源電荷分布具有某種對稱性時，應(yīng)用高斯定律，選取適當(dāng)?shù)膽?yīng)用高斯定律，選取適當(dāng)?shù)母咚姑娓咚姑妫姑娣e分使面積分形式提出來，即可求出場強(qiáng)。形式提出來，即可求出場強(qiáng)。均勻帶電球殼均勻帶電球殼均勻帶電細(xì)棒均勻帶電細(xì)棒ElS eOrpQESopE均勻帶電無限大平板均勻帶電無限大平板e13例一、均勻帶電的球殼內(nèi)外的場強(qiáng)分布。例一、均勻帶電的球殼內(nèi)外的場強(qiáng)分布。設(shè)球殼半徑為設(shè)球殼半徑為 R，所帶總電量為所帶總電量為 Q。解：解：場源的對稱性決定著場強(qiáng)分布的對稱性。場源的對稱性決定著場強(qiáng)分布的對稱性。它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。固選同心球面為高斯面。它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。固選同心

11、球面為高斯面。 場強(qiáng)的方向沿著徑向，且在球面上的場強(qiáng)處處相等。場強(qiáng)的方向沿著徑向，且在球面上的場強(qiáng)處處相等。QK_1高斯面高斯面高斯面高斯面EQ均勻帶電球殼均勻帶電球殼Rr024 QrEdSESdESSe RrrrQE 420 當(dāng)當(dāng) 高斯面內(nèi)電荷為高斯面內(nèi)電荷為 0Rr RrE 0當(dāng)當(dāng) 高斯面內(nèi)電荷為高斯面內(nèi)電荷為Q，所以所以Rr 14結(jié)果表明：結(jié)果表明：QK_1均勻帶電球殼外的場強(qiáng)均勻帶電球殼外的場強(qiáng)分布正象球面上的電荷分布正象球面上的電荷都集中在球心時所形成都集中在球心時所形成的點電荷在該區(qū)的場強(qiáng)的點電荷在該區(qū)的場強(qiáng)分布一樣。在球面內(nèi)的分布一樣。在球面內(nèi)的場強(qiáng)均為零。場強(qiáng)均為零。EQRr1

12、5例二、均勻帶電的球體內(nèi)外的場強(qiáng)分布。例二、均勻帶電的球體內(nèi)外的場強(qiáng)分布。設(shè)球體半徑為設(shè)球體半徑為R，所帶總帶電為所帶總帶電為QJD3Q_1解：它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。解：它具有與場源同心的球?qū)ΨQ性。固選取同心的球面為高斯面。固選取同心的球面為高斯面。 QERr333302343414RQrRQrrESdEoS RrrRQrEo 43 RrrrQEo 42 16例三、求無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)分布。例三、求無限長均勻帶電直線的場強(qiáng)分布。設(shè)線電荷密度為設(shè)線電荷密度為e該電場分布具有軸對稱性。該電場分布具有軸對稱性。距離導(dǎo)線距離導(dǎo)線 r 處一點處一點 p 點的場強(qiáng)方向點的場強(qiáng)方向一定垂直于帶電

13、直導(dǎo)線沿徑向，并一定垂直于帶電直導(dǎo)線沿徑向，并且和且和 p點在同一圓柱面（以帶電直點在同一圓柱面（以帶電直導(dǎo)線為軸）上的各點場強(qiáng)大小也都導(dǎo)線為軸）上的各點場強(qiáng)大小也都相等，都沿徑向。相等，都沿徑向。以帶電直導(dǎo)線為軸，作一個通過以帶電直導(dǎo)線為軸，作一個通過p點，點，高為高為 的圓筒形封閉面為高斯面的圓筒形封閉面為高斯面 S，通過通過S面的電通量為圓柱側(cè)面和上下面的電通量為圓柱側(cè)面和上下底面三部分的通量。底面三部分的通量。lElS eOrp17因上、下底面的場強(qiáng)方向與面平行，因上、下底面的場強(qiáng)方向與面平行，其電通量為零。即式中后兩項為零。其電通量為零。即式中后兩項為零。此閉合面包含的電荷總量此閉合

14、面包含的電荷總量其方向沿求場點到直導(dǎo)線的垂線其方向沿求場點到直導(dǎo)線的垂線方向。正負(fù)由電荷的符號決定。方向。正負(fù)由電荷的符號決定。ElS eOrp bottomtopfacesideSeSdESdESdESdE lqeinsidei lrlEdSESdEefacesidefacesidee 012 rEe02 18解：由于電荷分布對于求場點解：由于電荷分布對于求場點 p到平面的垂線到平面的垂線 op 是對稱的，是對稱的，所以所以 p 點的場強(qiáng)必然垂直于該點的場強(qiáng)必然垂直于該平面。平面。0e0e又因電荷均勻分布在無限大的平面上，又因電荷均勻分布在無限大的平面上，所以電場分布對該平面對稱。即離平所以

15、電場分布對該平面對稱。即離平面等遠(yuǎn)處的場強(qiáng)大小都相等、方向都面等遠(yuǎn)處的場強(qiáng)大小都相等、方向都垂直于平面，垂直于平面，當(dāng)當(dāng) 場強(qiáng)指離平面。場強(qiáng)指離平面。當(dāng)當(dāng) 場強(qiáng)方向指向平面。場強(qiáng)方向指向平面。例四、求無限大均勻帶電平板的場強(qiáng)分布。例四、求無限大均勻帶電平板的場強(qiáng)分布。設(shè)面電荷密度為設(shè)面電荷密度為eopeES19選一其軸垂直于帶電平面的選一其軸垂直于帶電平面的圓筒圓筒式封閉面作為高斯面式封閉面作為高斯面 S，帶電平帶電平面平分此圓筒，場點面平分此圓筒，場點 p位于它的位于它的一個底面上。由于圓筒側(cè)面上各一個底面上。由于圓筒側(cè)面上各點的場強(qiáng)方向垂直于側(cè)面的法線點的場強(qiáng)方向垂直于側(cè)面的法線方向，所以電通量為零；又兩個方向，所以電通量為零；又兩個底面上場強(qiáng)相等、電通量相等，底面上場強(qiáng)相等、電通量相等，均為穿出。均為穿出。場強(qiáng)方向垂直于帶電平面。場強(qiáng)方向垂直于帶電平面。opESeSESdESdESdEfacerightfaceleftSe 202 SSEe 2002 eE 場強(qiáng)方向指離平面場強(qiáng)方向指離平面;0e場強(qiáng)方向指向平面。場強(qiáng)方向指向平面。0eE0eE0e