閔嗣鶴嚴士健初等數(shù)論部分教案(孫子定理)_第1頁
閔嗣鶴嚴士健初等數(shù)論部分教案(孫子定理)_第2頁
閔嗣鶴嚴士健初等數(shù)論部分教案(孫子定理)_第3頁
閔嗣鶴嚴士健初等數(shù)論部分教案(孫子定理)_第4頁
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文檔簡介

1、孫子定理孫子定理是數(shù)論中的一個重要定理，在數(shù)論中的應(yīng)用非常廣泛。孫子定理給出了在一定條件下同余式組 （1）的解的個數(shù)，以及求解的方法。在公元四、五世紀的孫子算經(jīng)中的“物不知數(shù)”問題： “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”答案為：“23”。這個問題也就是求解同余式組明朝程大位根據(jù)孫子算經(jīng)里所用的方法用歌謠給出了該題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知。”即解為在西方，與孫子算經(jīng)同類的算法，最早見于1202年意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的算經(jīng)。1801年，德國數(shù)學(xué)家高斯的算術(shù)探究中，才明確寫出了這一問題的求法。把孫子算經(jīng)給出的結(jié)果加以

2、推廣，就得到了如下定理。定理（孫子定理）設(shè)是個兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，則同余式組（1）的解是 （2）其中證 因兩兩互質(zhì)，故于是，對每一個，必有整數(shù)使得另外，因故即（2）為（1）的解。若是適合（1）的任意兩個整數(shù)，則因故于是同余式（1）僅有解（2）。 例1 解同余式組 （3）解 這里，它們兩兩互質(zhì)。易得，求出滿足的一個整數(shù)求出滿足的一個整數(shù)求出滿足的一個整數(shù)由孫子定理得，同余式組（3）的解為 例2 解同余式組 (4)解 這里它們兩兩互質(zhì)。下面由輾轉(zhuǎn)相除法求出滿足的一個整數(shù)。因故于是取因故取因故取因故取于是補充定理（詳見撫州師專學(xué)報自然科學(xué)版1996年第三期）設(shè)是個兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，則同余式組（1）有解其中為滿足同余式組的個整數(shù)。例3 解同余式組 （5）解 因兩兩互質(zhì)，故可以用補充定理來解該同余式組。為方便，我們把同余式組（5）改寫為 （6）取滿足的一個整數(shù)則取滿足即的一個整數(shù)則取滿足即的一個整數(shù)則 取滿足即

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