橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與其幾何性質(zhì)1. 橢圓定義：（1）第一定義：平面與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)時(shí),的軌跡為橢圓 ; ; 當(dāng)時(shí),的軌跡不存在; 當(dāng)時(shí),的軌跡為 以為端點(diǎn)的線段（2）橢圓的第二定義:平面到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距圍頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)離心率準(zhǔn)線3.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系:當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓外; 當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓; 當(dāng)時(shí),點(diǎn)在橢圓上;4.直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢

2、圓相交;直線與橢圓相切;直線與橢圓相離例題分析：題1寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于10；兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（0，2）和（0,2）且過(guò)（,）(3)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-3，0)，(3，0)，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5，0).(4)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0，5)，(0，-5)，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26.(5)焦點(diǎn)在軸上，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0，10)，P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.解：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為2 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，又

3、所以所求標(biāo)準(zhǔn)方程為另法：可設(shè)所求方程，后將點(diǎn)（,）的坐標(biāo)代入可求出，從而求出橢圓方程(3)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，2c=6.所求橢圓的方程為：.(4)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.所求橢圓方程為：（5）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（，）在橢圓上，.又P到它較近的一焦點(diǎn)的距離等于2，c（），故c=8.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.題2。已知B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，BC6，且的周長(zhǎng)等于16，求頂點(diǎn)A的軌跡方程解：以BC所在直線為軸，BC中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)頂點(diǎn)，根據(jù)已知條件得|AB|+|AC|=10再根據(jù)橢圓定義得所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為 （0）（特別強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)

4、) 因?yàn)锳為ABC的頂點(diǎn)，故點(diǎn)A不在軸上，所以方程中要注明0的條件題3。在ABC中，BC=24，AC、AB的兩條中線之和為39,求ABC的重心軌跡方程.分析：以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，M為重心，則|MB|+|MC|=39=26.根據(jù)橢圓定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，故所求橢圓方程為 (0)題4。已知軸上的一定點(diǎn)A（1,0），Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，所以有 ，即所以點(diǎn)的軌跡方程是題5。長(zhǎng)度為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在軸、軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M分AB的比為，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)

5、動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為因?yàn)?，所以?，即所以點(diǎn)的軌跡方程是題6。已知定圓，動(dòng)圓M和已知圓切且過(guò)點(diǎn)P(-3，0)，求圓心M的軌跡與其方程 分析：由兩圓切，圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值 根據(jù)圖形，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示此結(jié)論： 上式可以變形為，又因?yàn)?，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓 解 已知圓可化為：圓心Q(3，0)，所以P在定圓 設(shè)動(dòng)圓圓心為，則為半徑 又圓M和圓Q切，所以，即 ，故M的軌跡是以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓，且PQ中點(diǎn)為原點(diǎn)，所以，故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是：題7。ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是-，求頂點(diǎn)A的軌跡方程.選題意圖：

6、鞏固求曲線方程的一般方法，建立借助方程對(duì)應(yīng)曲線后舍點(diǎn)的解題意思，訓(xùn)練根據(jù)條件對(duì)一些點(diǎn)進(jìn)行取舍.解：設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為.依題意得 ，頂點(diǎn)A的軌跡方程為 .說(shuō)明：方程對(duì)應(yīng)的橢圓與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，而此兩交點(diǎn)為（，）與(0，6)應(yīng)舍去.題8P為橢圓上的點(diǎn)，且P與的連線互相垂直，求P解：由題意，得64，P的坐標(biāo)為，題9橢圓上不同三點(diǎn)與焦點(diǎn)F(4,0)的距離成等差數(shù)列，求證證明：由題意，得 2題10設(shè)P是以0為中心的橢圓上任意一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓切證明：設(shè)橢圓方程為,()，焦半徑是圓的直徑，則由知，兩圓半徑之差等于圓心距，所以，以線段為直徑的圓與此橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓切題

7、11。已知橢圓的焦點(diǎn)是，為橢圓上一點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)P在第三象限，且120，求.選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用等比定理進(jìn)行解題.解：(1)由題設(shè)4， 2c=2， 橢圓的方程為.（）設(shè)，則60由正弦定理得：由等比定理得：整理得：故題12. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1（m0，n0），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程組y=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n1=0.=4n2

8、4（m+n）（n1）0，即m+nmn0，OPOQx1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，2x1x2+（x1+x2）+1=0，+1=0.m+n=2. 由弦長(zhǎng)公式得2=（）2，將m+n=2代入，得mn=. 或解得m=，m=，n=n=. 橢圓方程為+y2=1或x2+=1.題13. 直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），與橢圓+=1相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，試求直線l的方程.解：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則+=1，+=1.，得+=0.=.又M為AB中點(diǎn)，x1+x2=2，y1+y2=2.直線l的斜率為.直線l的方程為y1=（x1），即3x+4y7=0.題14。已知橢圓的

9、中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且（1）求橢圓方程；（2）求m的取值圍解題思路通過(guò)，溝通A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于m的不等式解析（1）由題意可知橢圓為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可設(shè)由條件知且，又有，解得故橢圓的離心率為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x23 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）2

10、40整理得4k2m22m2k220 m2時(shí)，上式不成立；m2時(shí)，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值圍為（1，）（，1） 題15。設(shè)x、yR，i、j為直角坐標(biāo)平面x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8.（1）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程.（2）過(guò)點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)=+，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.（1）解法一：a=xi+（y+2）j，b=xi+（y2）j，且|a|+|b|=8，點(diǎn)M（x，y）到

11、兩個(gè)定點(diǎn)F1（0，2），F(xiàn)2（0，2）的距離之和為8.軌跡C為以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，方程為+=1.解法二：由題知，+=8，移項(xiàng)，得=8，兩邊平方，得x2+（y+2）2=x2+（y2）216+64，整理，得2=8y，兩邊平方，得4x2+（y2）2=（8y）2，展開(kāi)，整理得+=1.（2）l過(guò)y軸上的點(diǎn)（0，3），若直線l是y軸，則A、B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn).=+=0，P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾.直線l的斜率存在.設(shè)l方程為y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx21=0.此時(shí)，=（18k2）4（4+3k2）由y=kx+3，+=1，（21）0恒

12、成立，且x1+x2=，x1x2=.=+，四邊形OAPB是平行四邊形.若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OAOB，即=0.=（x1，y1），=（x2，y2），=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）（）+3k（）+9=0，即k2=，得k=.存在直線l：y=x+3，使得四邊形OAPB是矩形.橢圓作業(yè)班級(jí)：_：_題16。選擇題1. 已知F1、F2是橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，則MNF2的周長(zhǎng)為A.8 B.16 C.25 D.32解析：利用橢圓的定義易知B正確.答案：B2. 橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過(guò)

13、F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|等于A.B.C.D.4解法一：（如下圖）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，左焦點(diǎn)為F2，過(guò)F1垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P.+y2=1，a=2，b=1，c=.F1（，0）.設(shè)P（，yP）代入+y2=1，得yP=，P（，），|PF1|=.又|PF2|+|PF1|=2a=4，|PF2|=4|PF1|=4=.3. 設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F2為圓心作圓F2，已知圓F2經(jīng)過(guò)橢圓的中心，且與橢圓相交于M點(diǎn)，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率e為A.1B.2C.D.解析：易知圓F2的半徑為c，（2ac）2+c2=4c2，（）2+2（）

14、2=0，=1.答案：A4. 已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為（ ） A 5 B7 C 13 D 15 解析B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)，的最小值為10-1-2=75. 橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過(guò)的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:(1),此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(

15、ac);(2), 此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為2(a+c);(3)此時(shí)小球經(jīng)過(guò)的路程為4a,故選D題17、填空題1. 已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若，則=_。解析的周長(zhǎng)為，=82. 如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值圍是_.解析：橢圓方程化為+=1.焦點(diǎn)在y軸上，則2，即k0，0k1.答案：0k13. 橢圓+=1的離心率是_，準(zhǔn)線方程是_.解析：由橢圓方程可得a=5，b=3，c=4，e=，準(zhǔn)線方程為x=.答案：x=4. 已知P是橢圓1（ab0）上任意一點(diǎn)，P與兩焦點(diǎn)連線互相垂直，且P到兩準(zhǔn)線距離分別為6、12，則橢圓方程為_(kāi).解析：利用橢圓的兩個(gè)定義結(jié)合

16、勾股定理來(lái)求答案：15. 點(diǎn)P在橢圓+=1上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是_.解析：利用第二定義.答案：6. 已知F1為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，當(dāng)PF1F1A，POAB（O為橢圓中心）時(shí)，求橢圓的離心率_.剖析：求橢圓的離心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一個(gè)量表示.本題沒(méi)有具體數(shù)值，因此只需把a(bǔ)、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.解：設(shè)橢圓方程為+=1（ab0），F(xiàn)1（c，0），c2=a2b2，則P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.7. 如圖，把

17、橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)則_解析由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知： 題18.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程.解題思路將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子“描述”出來(lái)解析設(shè)橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或.2. 已知方程,討論方程表示的曲線的形狀解析當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，當(dāng)時(shí)，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓3. 橢圓對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢

18、圓上的點(diǎn)的最短距離是，求這個(gè)橢圓方程.解析，所求方程為+=1或+=1.4. 橢圓對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，求這個(gè)橢圓方程.解：由題設(shè)條件可知a=2c，b=c，又ac=，解得a2=12，b2=9.所求橢圓的方程是+=1或+=1.題19。已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值與最小值解題思路 把看作的函數(shù) 解析由得,當(dāng)時(shí),取得最小值,當(dāng)時(shí),取得最大值6題20。橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值解題思路把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù) 解析在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)P(). 那么點(diǎn)P到直線l的距離為：題21。已知橢圓與過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)

19、的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率求橢圓方程解析直線l的方程為：由已知由得：，即由得：故橢圓E方程為題22。已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于ABC，求的值。解析（1）點(diǎn)是線段的中點(diǎn) 是的中位線又橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1 （2）點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理，題23。已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.()求以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩

20、點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;OABCD圖8()過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線交()中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.解析 ()由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立方程:消去整理得,有若以MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則,所以,所以,即所以,即得所以直線的方程為,或.所以存在過(guò)P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn).題24。如圖，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲線E過(guò)點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過(guò)A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)。 （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程； （2）設(shè)直線l的斜率為k，若MBN為鈍