等比數(shù)列的前n項(xiàng)和王后雄學(xué)案

1、2.3.2 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教材知識(shí)檢索考點(diǎn)知識(shí)清單1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)公比時(shí)，=當(dāng)q=l時(shí)，2若數(shù)列的前n項(xiàng)和且則數(shù)列是3在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共有五個(gè)量，在這五個(gè)量中4在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為與分別為偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的和，則5數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則仍構(gòu)成要點(diǎn)核心解讀1等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(1)前n項(xiàng)和公式的導(dǎo)出，解法一：設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可將寫成式兩邊同乘以q，得一，得由此得時(shí)，所以上式可化為當(dāng)q=l時(shí)，解法二：由等比數(shù)列的定義知當(dāng)時(shí)，即故當(dāng)時(shí)，當(dāng)q=l時(shí)，解法三：當(dāng)時(shí)，當(dāng)q=l時(shí)，(2)注意問題， 上述證法中，解法一為錯(cuò)位相減法，解法二

2、為合比定理法，解法三為拆項(xiàng)法各種解法在今后的解題中都經(jīng)常用到，要用心體會(huì)， 公比為1與公比不為1時(shí)公式不同，若公比為字母，要注意分類討論當(dāng)已知時(shí)，用公式當(dāng)已知時(shí)，用公式在解決等比數(shù)列問題時(shí)，如已知中的任意三個(gè)量，可由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式求解其余兩個(gè)量(3)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的一般形式一般地，如果是確定的，那么設(shè)則上式可寫為2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)數(shù)列為等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，則仍構(gòu)成等比數(shù)列，且有(2)若某數(shù)列前n項(xiàng)和公式為則為等比數(shù)列(3)在等比數(shù)列中，若項(xiàng)數(shù)為分別為偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)的和，則(4)若是公比為q的等比數(shù)列，則由此性質(zhì)，在解決有些問題時(shí)，能起到簡(jiǎn)化解題過程的作用如：設(shè)是由正數(shù)

3、組成的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為試比較與的大小解：設(shè)的公比為q，由已知而且函數(shù)在上單調(diào)遞增，典例分類剖析考點(diǎn)1前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用命題規(guī)律(1)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式在具體題目中的應(yīng)用(2)含有參數(shù)的等比數(shù)列中，如何運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式例1在等比數(shù)列中，求答案 方法一：由已知?jiǎng)t又 即得所以可求出，因此方法二：已知等比數(shù)列中，求g，還可利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求得，即再代入求得誤區(qū)診斷解答此類題目容易漏掉對(duì)q=l這一步的討論方法技巧使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要注意公比q=1和q1情況的區(qū)別，而在解方程組的過程中，一般采用兩式相除的方法例2 已知數(shù)列是等差數(shù)列，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令求數(shù)列的前n項(xiàng)和

4、公式答案 (1)設(shè)數(shù)列的公差為d，則又得所以(2)由得一得所以 方法技巧 本題第(1)問主要是將問題轉(zhuǎn)化為利用基本量口，和d聯(lián)立方程組求解，從而確定出通項(xiàng)公式；第(2)問結(jié)合bn的特點(diǎn)采用錯(cuò)位相減法求和，變形時(shí)式子較復(fù)雜，要注意運(yùn)算準(zhǔn)確母題遷移 1若數(shù)列成等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為80，其中最大項(xiàng)為54，前2n項(xiàng)之和為6560，求2求和考點(diǎn)2等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用命題規(guī)律（1)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化解題過程(2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)在解題中的靈活運(yùn)用例3 已知數(shù)列是等比數(shù)列，(1)若求(2)若答案 (1)由性質(zhì)可得解得構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)為公比為g，啟示 等比數(shù)列前凡項(xiàng)和具有的

5、一些性質(zhì)：(1)連續(xù)m項(xiàng)的和（如仍組成等比數(shù)列（注意：這連續(xù)m項(xiàng)和必須非零才能成立）為等比數(shù)列（q為公比）利用性質(zhì)(1)可以快速地求某些和如等比數(shù)列中，求為等比數(shù)列，也成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為20，公比為但在運(yùn)用此性質(zhì)時(shí)，要注意的是成等比數(shù)列，而不是成等比數(shù)列母題遷移3(1)已知：數(shù)列是等比數(shù)列，若(2)在與11之間插入10個(gè)正數(shù)，使這12個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則所插入的這10個(gè)正數(shù)之積為(3)一個(gè)等比數(shù)列中，則(4)等比數(shù)列中，則q=考點(diǎn)3等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用問題命題規(guī)律(1)從實(shí)際問題中抽象出等比數(shù)列前n項(xiàng)和的數(shù)學(xué)模型(2)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題 例4某市2004年底有住房

6、面積1200萬平方米，計(jì)劃從2005年起，每年拆除20萬平方米的舊住房，假定該市每年新建住房面積是上年年底住房面積的5% (1)分別求2005年底和2006年底的住房面積； (2)求2024年底的住房面積（計(jì)算結(jié)果以萬平方米為單位，且精確到0.01） 答案 (1)2005年底的住房面積為1200(1+5%) -20 =1240（萬平方米）， 2006年底的住房面積為（萬平方米）2005年底的住房面積為1240萬平方米，2006年底的住房面積為1282萬平方米 (2)2024年底的住房面積為（萬平方米）2024年底的住房面積約為2522.64萬平方米母題遷移4一件家用電器現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期

7、付款，每期付款數(shù)相同，每期一月，購買后一個(gè)月付款一次，再過一個(gè)月后又付款一次，共付12次，即購買一年后付清如果按月利率8每月復(fù)利一次計(jì)算，那么每期應(yīng)付款多少？?jī)?yōu)化分層測(cè)訊學(xué)業(yè)水平測(cè)試1等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，若則它的前5項(xiàng)和是( )2等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)的和為S，由原數(shù)列各項(xiàng)的倒數(shù)組成一個(gè)新數(shù)列則的前n項(xiàng)的和是( )3各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記作若則等于( )4設(shè)則等于( )5數(shù)列的前n項(xiàng)和為6已知等比數(shù)列的公比第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使成立的n的取值范圍，高考能力測(cè)試（測(cè)試時(shí)間：90分鐘測(cè)試滿分：100分）一、選擇題（本題包括8小題，每小題5分，共40分每小題只

8、有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1（2009年遼寧高考題）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為若則( )2一個(gè)小球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，設(shè)它第n次著地時(shí)，共經(jīng)過了則有( )3（2010年東北八校聯(lián)考題）某人為了觀看2010年世博會(huì)，從2003年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2010年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)（元）為( )4在14與之間插入n個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列，若各項(xiàng)總和為則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )5等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為g，前n項(xiàng)和為S，則數(shù)列的前n項(xiàng)之和為( )6設(shè)數(shù)列滿足且且

9、則的值為( )7（2010年福建部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考題）已知等比數(shù)列的公比前n項(xiàng)和為則與的大小關(guān)系是( )D無法確定8已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為是其前n項(xiàng)的和，某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，則該數(shù)為( )二、填空題（本題包括4小題，每小題5分，共20分）9（2009年浙江高考題）設(shè)等比數(shù)列的公比前n項(xiàng)和為則10.某科研單位，欲拿出一定的經(jīng)費(fèi)獎(jiǎng)勵(lì)科研人員，第一名得全部獎(jiǎng)金的一半多一萬元，第二名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第七名恰好將獎(jiǎng)金分完，則需拿出獎(jiǎng)金萬元11若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”設(shè)是公比為q的無窮等比數(shù)列，下列的四組量中，一

10、定能成為該數(shù)列“基本量”的是第組（寫出所有符合要求的組號(hào)）（其中n為大于1的整數(shù)，為的前n項(xiàng)和）12. 一個(gè)七層的塔，每層所點(diǎn)的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點(diǎn)381盞燈，則底層所點(diǎn)燈的盞數(shù)是三、解答題（本題包括3小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 13.（13分）（2011年山東高考題）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：求數(shù)列的前2n項(xiàng)和14.（13分）（2010年浙江模擬題）在一次人才招聘會(huì)上，有A

11、、B兩家公司分別開出它們的工資標(biāo)準(zhǔn)：A公司允諾第一年月工資為1500元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加230元徊公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5%設(shè)某人年初被A、B兩家公司同時(shí)錄取，試問： (1)若該人分別在A、B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少？ (2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其他因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？15.（14分）（2010年山東模擬題）函數(shù)定義在（-1，1）上，且僅當(dāng)時(shí)，恒有：又?jǐn)?shù)列滿足設(shè)(1)證明：在（-1，1）上為奇函數(shù)；(2)求的表達(dá)式；(3)

12、是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意都有成立；若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由.單元知識(shí)整合二、本章知識(shí)整合1數(shù)列的概念(1)定義：按一定次序排列的一列數(shù)，從函數(shù)觀點(diǎn)看，對(duì)于一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的真子集1，2，3，4，n）的函數(shù)來說，數(shù)列就是這個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值 (2)數(shù)列的表示法有三種：列表法、解析法（通項(xiàng)公式和遞推公式法）、圖象法 (3)分類：按項(xiàng)數(shù)可分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列(4)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：3數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)(1)函數(shù)的思想 數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集1，2，n)

13、的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，并且，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看做以項(xiàng)數(shù)n為自變量的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問題，是我們常用的方法 (2)方程的思想，在等差數(shù)列中，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式共有5個(gè)量和這5個(gè)量中知道其中3個(gè)量的值，就可以通過列方程的方法求l出另外2個(gè)量的值，在等出數(shù)列中，也有類似的性質(zhì)方程的思想是本章最重要的思想方法 (3)分類討論的思想， 當(dāng)給出一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一定要分別去求及即（當(dāng)n=l時(shí)，若兩個(gè)式子一致，要寫成的形式）；關(guān)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有兩個(gè)，即與的公式不同，所以在運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，要對(duì)q=l和q#l兩

14、種情況進(jìn)行討論雀關(guān)于絕對(duì)值的數(shù)列問題中，要注意脫去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)需分類討論，在一些判斷題中也常用到分類討論 (4)轉(zhuǎn)化與化歸的思想 將研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象的思想稱之為轉(zhuǎn)化與化歸的思想，它一般表現(xiàn)為將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的或已經(jīng)解決了的問題或方法在數(shù)列中，將非等差、非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題：是我們常采用的方法(5)整體的思想 在數(shù)列部分，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，視某一部 分為一個(gè)整體，采用整體代換、整體消元，可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算量，還可以溝通已知與未知的聯(lián)系，提高解題速度 (6)類比的思想 類比是指通過兩個(gè)對(duì)象類似之處的比較，而由其中一個(gè)對(duì)象已有的性質(zhì)去推出另一對(duì)象

15、也有類似的性質(zhì)，是我們認(rèn)識(shí)事物發(fā)展規(guī)律的重要思想方法， 等差數(shù)列與等比數(shù)列有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，將二者類比，能夠增強(qiáng)對(duì)概念和性質(zhì)的記憶及理解，使知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化， 4.數(shù)列中兩類重要問題的解法 (1)求一般數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心之一 ，有了數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可求出數(shù)列的任何一項(xiàng)，研究數(shù)列的單調(diào)性，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，因此我們應(yīng)熟練掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法， 觀察歸納法：通過觀察、分析數(shù)列的各項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)歸納得到通項(xiàng)公式，累加法：若給出或由題設(shè)可得到與是可求和的數(shù)列），則可由求累乘法：若給出或由題設(shè)可得到與是可求積的數(shù)列），則可由求構(gòu)造法

16、：若由給出的條件直接求較難，可以通過變形、轉(zhuǎn)化，并運(yùn)用整體思想，構(gòu)造出一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng) 利用和的關(guān)系：若給出或可求出則可利用由上式算出和后，若將中的n取1算得的值正好等于則將統(tǒng)一到中，得通項(xiàng)為 (2)數(shù)列求和的常用方法 數(shù)列求和是數(shù)列部分的重要內(nèi)容，因此我們應(yīng)掌握數(shù)列求和的常用方法. 公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列或某些常見數(shù)列的求和公式求和， 常見數(shù)列的求和公式有：（特殊的等差數(shù)列）；分組法：根據(jù)數(shù)列或其通項(xiàng)的特征，將數(shù)列的前n項(xiàng)和分成易于求和的若干組，通過對(duì)各組分別求和得到整個(gè)數(shù)列的和倒序相加法：若數(shù)列中與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和為定值或有某種特殊關(guān)系，則可用推導(dǎo)等

17、差數(shù)列求和公式的方法（倒序相加法）求和.錯(cuò)位相減法：若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，則求數(shù)列的前n項(xiàng)和可用推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法（錯(cuò)位相減法）求和裂項(xiàng)法：根據(jù)通項(xiàng)的特征，將通項(xiàng)進(jìn)行合理的分拆，然后再分組或消去中間若干項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為易求和的數(shù)列求和問題5有關(guān)數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用問題 在日常生活中，一些商家為了促銷商品，便于顧客購買一些售價(jià)較高的商品，在付款方式上較為靈活，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款時(shí)，又可以提供幾種方案以便選擇，到底選用哪種方式更合算呢？ (1)分期付款的幾種模型， 銀行存：款計(jì)息方式有兩 種：?jiǎn)卫蛷?fù)利，它們分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列為模型， 單利：?jiǎn)卫挠?jì)

18、算是僅在原有本金上計(jì)算利息，對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，其公式為：利息=本金利率存期，以符號(hào)P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和，則有復(fù)利：把上期末的本息和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式是 分期付款中，每月的利息均按復(fù)利計(jì)算，規(guī)定每期所付款額相同 各期所付款額連同到最后一次付款時(shí)所生的利息之和等于商品售價(jià)及從購買到最后一次付款時(shí)的利息之和 (2)復(fù)利的概念和計(jì)算 銀行按規(guī)定在一定時(shí)間結(jié)算利息一次，結(jié)息后即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫復(fù)利一般地，一期期滿后，借貸者（銀行）收到的款額為其中為初始貸款額，r為每期的利率，假若在一期期滿

19、后，銀行又把貸出，利率不變，則銀行在下一期期滿時(shí)，可以收取的款額為依次類推，若把貸出t期，期利率為r，這筆款額到期后就會(huì)增到注意此處的利息是重復(fù)計(jì)算的，我們稱為復(fù)利（期復(fù)利）(3)關(guān)于分期付款方案的確定分期付款即借款后不是一次性付清，而是分幾次分別付款的一種借款方法，對(duì)于每一種分期付款方案，應(yīng)明確以下幾點(diǎn)：規(guī)定多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)付清全部款額； 在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)分幾期付款，并且規(guī)定每期的付款額相同； 規(guī)定多長(zhǎng)時(shí)間結(jié)算一次利息，并且在規(guī)定的時(shí)間段內(nèi)利息按復(fù)利計(jì)算 在選擇分期付款方案時(shí)，必須計(jì)算出各種方案中每期應(yīng)付款多少，總共應(yīng)付款多少，這樣才便于顧客比較，從而選擇優(yōu)化方案， 三、重要專題選講 專題1求數(shù)列的

20、通項(xiàng) 數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的核心之一，它如同函數(shù)中解析式一樣，有解析式便可研究其性質(zhì)等，而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式，便可求出任何一項(xiàng)及前幾項(xiàng)和等，現(xiàn)將求數(shù)列的通項(xiàng)公式幾種常見類型及方法總結(jié)如下： 1觀察歸納法 例1 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下歹Jj數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式答案 (1)觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，每一項(xiàng)都是一個(gè)分式，分母是數(shù)列2，4，8，16，32，可用項(xiàng)數(shù)表示為分子是數(shù)列1，3，7，15，31， 每一項(xiàng)比對(duì)應(yīng)的分母少1，可用項(xiàng)數(shù)表示為所以，所求的數(shù)列的通項(xiàng)公式是(2)這個(gè)數(shù)列即：其結(jié)構(gòu)特征是：分母與項(xiàng)數(shù)相同；分子是2加上或減去l，即各項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)、正相間，即為所以，所求的通項(xiàng)公式是(3)觀察數(shù)列的項(xiàng)

21、，這個(gè)數(shù)列可以按分母、分子由小到大重新排列為：分母、分子各自成等差數(shù)列，顯然，其通項(xiàng)公式為(4)每一項(xiàng)都是項(xiàng)數(shù)的平方加上1，其通項(xiàng)公式為(5)通項(xiàng)公式是(6)仔細(xì)觀察各項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)其項(xiàng)與項(xiàng)之間有如下規(guī)律： 啟示 (1)根據(jù)所給數(shù)列的前n項(xiàng)求其通項(xiàng)時(shí)，常用觀察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分與序號(hào)n之間的關(guān)系(2)記住以下數(shù)列的前n項(xiàng)：(3)第(6)小題通過觀察很難總結(jié)規(guī)律，可用如下方法進(jìn)行：2公式法數(shù)列符合等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，求通項(xiàng)時(shí)，只需求出與d或與q，再代入公式或中即可例2數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列中，對(duì)任何都有且求數(shù)列數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式答案 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為公差為d，

22、數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q由已知條件可得聯(lián)立，解得由此可以得到3利用與的關(guān)系如果給出條件中是與的關(guān)系式，可利用先求出若計(jì)算出的中，當(dāng)時(shí)，求出則可合并為一個(gè)通項(xiàng)公式，否則要分段例3(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和求(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和求答案 (1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)n=l時(shí)，上式中(2)當(dāng)n2時(shí)，當(dāng)n=l時(shí)，上式中啟示 已知求即已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其方法是這里常常因?yàn)楹雎粤藯l件n2而出錯(cuò)，即求得時(shí)的n是從2開始的自然數(shù)，否則會(huì)出現(xiàn)當(dāng)n=l時(shí)而與前n項(xiàng)和的定義矛盾，可見由此求得的不一定是它的通項(xiàng)公式，必須驗(yàn)證時(shí)是否也成立，否則通項(xiàng)公式只能用分段函數(shù)來表示例4數(shù)列的首項(xiàng)前n項(xiàng)和與之間滿足(1)求證：數(shù)列是

23、等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式解析 審題知應(yīng)為構(gòu)造的等差數(shù)列，可利用公式先求出來，進(jìn)一步用即可解決答案為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，思考：若直接求的通項(xiàng)公式怎樣求呢？4累差法例5 已知求解析時(shí)答案時(shí)，時(shí)，有而也適合上式的通項(xiàng)公式啟示形如：已知且是可求和數(shù)列的形式均可用累差法5累商法例6 已知求解析時(shí)，故可用累商法答案時(shí)，即又而也適合上式，的通項(xiàng)公式啟示形如：已知且是可求積的數(shù)列的形式均可利用累商法6換元法例7 已知求答案可設(shè)由待定系數(shù)法可得解法一：由得令是等比數(shù)列，其首項(xiàng)公比為2即解法二：由得時(shí)，是公比為2的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為則有而也適合上式，即為的通項(xiàng)公式啟示 形如：已知為常數(shù)）均

24、可用上述兩種方法， 特別地，若時(shí)，為等差數(shù)列；若時(shí)，為等比數(shù)列強(qiáng)化練習(xí)11寫數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式答案 觀察數(shù)列從首項(xiàng)起，各項(xiàng)的符號(hào)正、負(fù)相間，故通項(xiàng)公式中含有各項(xiàng)的冪底數(shù)為3，指數(shù)為指數(shù)依次改寫為即 故2(1)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求(2)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求答案(1)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，上式中即當(dāng)時(shí)，適合數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，上式中即不適合上式通項(xiàng)公式啟示 已知求即已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其方法是這里常常因忽略了條件n2而出錯(cuò)，即由求得的n是從2開始的自然數(shù)，否則會(huì)出現(xiàn)當(dāng)時(shí)，而與前n項(xiàng)和的定義相矛盾由此可見，此法求得的不一定是它的通項(xiàng)公式，必須驗(yàn)證n=l是否也成立，若不成立，

25、通項(xiàng)公式只能用分段函數(shù)表示3已知數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案當(dāng)時(shí)，也適合上式4(1)已知數(shù)列中，求通項(xiàng)公式(2)數(shù)列中，求通項(xiàng)公式答案兩邊同除以得數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為公差為兩式相減得，令則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列即，結(jié)合已知條件，一，得啟示 若數(shù)列滿足的條件，求通項(xiàng)公式時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為為等比數(shù)列，利用待定系數(shù)法確定A的值，先求出的表達(dá)式，再求 專題2數(shù)列求和 數(shù)列的求和是數(shù)列的一個(gè)重要內(nèi)容，是數(shù)列知識(shí)的綜合體現(xiàn)，求和問題在高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，它考查我們分析問題和解決問題的能力，可以利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的某些元素，如等應(yīng)當(dāng)注意任何一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和都是從第一項(xiàng)一直加到第n項(xiàng)，求數(shù)列前n項(xiàng)

26、和的常用方法有： (1)公式法，即對(duì)于等差數(shù)列或等比數(shù)列，直接應(yīng)用其前n項(xiàng)和公式； (2)對(duì)于非等差數(shù)列或等比數(shù)列，常利用錯(cuò)位相減、倒序求和、裂項(xiàng)求和等方法，將數(shù)列變得有規(guī)律，再加以求和 1公式法例1 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為則解析 由得取則答案】 153 啟示 要求幾個(gè)含有絕對(duì)值的式子的和，關(guān)鍵是要去掉絕對(duì)值符號(hào)去絕對(duì)值符號(hào)的方法一般是用分類討論的思想方法，所以此題的關(guān)鍵就是要看的符號(hào)，又因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以只需確定或時(shí)n的值，然后再分開求和例2 已知等比數(shù)列中，求此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和答案數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)也是等比數(shù)列，設(shè)為則數(shù)列的首項(xiàng)為公比為所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為2倒序相加法例3設(shè)求和

27、解析：本題是求函數(shù)值的和，通過對(duì)其解析式的研究，尋找它們的規(guī)律然后進(jìn)行解決 答案 因?yàn)樗运运?得所以例4 求在區(qū)間上分母是3的不可約的分?jǐn)?shù)之和 解析本題主要考查如何確定區(qū)間a，b上的數(shù)哪些是符合條件的，然后尋找各數(shù)之間的關(guān)系，利用數(shù)列 問題求解答案 解法一：（倒序相加法） 因?yàn)樗远钟袃墒较嗉拥闷鋫€(gè)數(shù)是以3為分母的所有分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)減去可約分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)即所以所以解法二：區(qū)間a，b上分母為3的所有分?jǐn)?shù)是它是以為首項(xiàng)以為公差的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為其和其中，可約分?jǐn)?shù)是其和故不可約分?jǐn)?shù)之和為啟示 當(dāng)數(shù)列滿足常數(shù)時(shí)，可用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和3錯(cuò)項(xiàng)相減法若在數(shù)列中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則可采用錯(cuò)項(xiàng)相減

28、法求和例5 求和答案記則兩式相減，得若則若則例6 求和解析 本題是由等差數(shù)列及等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成的，故可以使用乘公比錯(cuò)位相減求和答案 因?yàn)樗砸坏盟?裂項(xiàng)相消法， 所謂裂項(xiàng)相消，就是將數(shù)列的每一項(xiàng)“一拆為二”，即每一項(xiàng)折成兩項(xiàng)之差，以達(dá)到隔項(xiàng)相消之目的常用的裂項(xiàng)變形有 例7 (1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)求和解析 首先弄清的特征在第(1)題中，在第(2)題中，答案啟示 (I)分母有理化是一種常用的數(shù)學(xué)方法(2)使用拆項(xiàng)法時(shí)，不妨多寫出幾項(xiàng)以便于找出變化規(guī)律5分解求和法與并項(xiàng)求和法例8 (1)求和：(2)求和：(3)求和： 解析通項(xiàng)公式是解決數(shù)列求和問題的關(guān)鍵，先求出通項(xiàng)公式，分析通項(xiàng)公式

29、的特點(diǎn)，判斷采用哪種求和方法答案 (1)因?yàn)樗?2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上：(3)因?yàn)樗詥⑹?(1)和(3)不能直接求和，但可以分解為特殊數(shù)列再求和；(2)注意正負(fù)相間可以將兩項(xiàng)并在一起再求和 強(qiáng)化練習(xí)21(1)求和(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和解析 (1)此數(shù)列的通項(xiàng)為既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但卻是一個(gè)等比數(shù)列，因此可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題答案2(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)求數(shù)列：的前n項(xiàng)和答案3求和：答案 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，一得4已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為又求數(shù)列的前n項(xiàng)和答案 當(dāng)時(shí)，又也適合，易知且數(shù)列是遞減的等差數(shù)列，因此中前5項(xiàng)為正數(shù)，從第6項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上可得新典考題分析類型一

30、等差等比數(shù)列的判定例1 已知數(shù)列滿足：為常數(shù)），且其中(1)若是等比數(shù)列，試求數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式；(2)當(dāng)是等比數(shù)列時(shí)，甲同學(xué)說：一定是等比數(shù)列；乙同學(xué)說：一定不是等比數(shù)列你認(rèn)為他們的說法是否正確？為什么？答案(1)因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，又則即是以a為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(2)甲、乙兩個(gè)同學(xué)說法都不正確，理由如下：解法一：設(shè)的公比為q，則且又是以l為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列；是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列即為：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列； 當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列，解法二：可能是等比數(shù)列，也可能不是等比數(shù)列，舉例說明如下：設(shè)的公比為q(1)取a=q=l時(shí)，此時(shí)都是等比數(shù)列(2)取時(shí)，所以是等比數(shù)列，而不是等比

31、數(shù)列，類型二數(shù)列的通項(xiàng)與求和例2 （2009年遼寧高考題）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為已知成等差數(shù)列(1)求的公比q；(2)若求答案(1)依題意有由于故又從而(2)由已知可得故從而例3 （2009年全國(guó)高考題）在數(shù)列中，(1)設(shè)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和答案 (1)由已知得且即從而于是又故所求的通項(xiàng)公式(2)由(1)知故設(shè) 一得，類型三數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題例4 （2010年南京市調(diào)考題）已知函數(shù)(1)求(2)設(shè)求(3)設(shè)是否存在最小的正整數(shù)m，使得對(duì)有成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由答案即兩邊平方得兩邊同除以得可得把上面n-l個(gè)式子相加，得又?jǐn)?shù)列為遞減數(shù)列，則則要使都成立，只需成立存在最小正整數(shù)使對(duì)有成立 啟示 (1)解出x，有正負(fù)兩個(gè)值，取正還是取負(fù)，要結(jié)合原題中的茗的范圍進(jìn)行選擇；(2)構(gòu)造出新數(shù)列后用疊加法求出通項(xiàng)；(3)由成立，聯(lián)想到若成立，則中定有最大項(xiàng)，數(shù)列可能為單調(diào)遞增數(shù)列，然后想法探究數(shù)列的單調(diào)性再求解.類型四 數(shù)列應(yīng)用題 例5某縣位于沙漠邊緣，當(dāng)?shù)鼐用衽c風(fēng)沙進(jìn)行著艱苦的斗爭(zhēng)到2008年年底全縣的綠地已告全縣總面積的30%，從2009年起，市政府決定加大植