經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——概率統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案

1、目錄習(xí)題一（1）習(xí)題二（16）習(xí)題三（44）習(xí)題四（73）習(xí)題五（97）習(xí)題六（113）習(xí)題七（133）習(xí)題一1.寫出下列事件的樣本空間：(1) 把一枚硬幣拋擲一次；(2) 把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次；(3) 擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止；(4) 一個(gè)庫房在某一個(gè)時(shí)刻的庫存量(假定最大容量為M).解(1)=正面，反面正，反(2)=(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)(3)=(正)，(反，正)，(反，反，正)，(4) =x；0xm2.擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，事件A“偶數(shù)點(diǎn)”，B“奇數(shù)點(diǎn)”，C“點(diǎn)數(shù)小于5”，D“小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，討論上述各事件間的關(guān)系.解A與B為對立事件，即

2、B；B與D互不相容；AD，CD.3. 事件Ai表示某個(gè)生產(chǎn)單位第i車間完成生產(chǎn)任務(wù)，i1，2，3，B表示至少有兩個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)，C表示最多只有兩個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)，說明事件及BC的含義，并且用Ai(i1，2，3)表示出來.解表示最多有一個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)，即至少有兩個(gè)車間沒有完成生產(chǎn)任務(wù).BC表示三個(gè)車間都完成生產(chǎn)任務(wù)圖114. 如圖11，事件A、B、C都相容，即ABC，把事件AB，ABC，ACB，CAB用一些互不相容事件的和表示出來.解5.兩個(gè)事件互不相容與兩個(gè)事件對立的區(qū)別何在，舉例說明.解兩個(gè)對立的事件一定互不相容，它們不可能同時(shí)發(fā)生，也不可能同時(shí)不發(fā)生；兩個(gè)互不相容的事件不一定是對

3、立事件，它們只是不可能同時(shí)發(fā)生，但不一定同時(shí)不發(fā)生. 在本書第6頁例2中A與D是對立事件，C與D是互不相容事件.6.三個(gè)事件A、B、C的積是不可能事件，即ABC，問這三個(gè)事件是否一定互不相容?畫圖說明.解不一定. A、B、C三個(gè)事件互不相容是指它們中任何兩個(gè)事件均互不相容，即兩兩互不相容.如圖12，事件ABC，但是A與B相容.圖127. 事件A與B相容，記CAB，DA+B，F(xiàn)AB.說明事件A、C、D、F的關(guān)系.解由于ABAA+B，ABAA+B，AB與AB互不相容，且AAB(AB).因此有AC+F，C與F互不相容，DAF，AC.8. 袋內(nèi)裝有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中一次任取兩個(gè)，求取到的兩個(gè)球顏

4、色不同的概率.解記事件A表示“取到的兩個(gè)球顏色不同”.則有利于事件A的樣本點(diǎn)數(shù)目A.而組成試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)為，由古典概率公式有P(A)(其中A，分別表示有利于A的樣本點(diǎn)數(shù)目與樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)，余下同)9. 計(jì)算上題中取到的兩個(gè)球中有黑球的概率.解設(shè)事件B表示“取到的兩個(gè)球中有黑球”則有利于事件的樣本點(diǎn)數(shù)為.10. 拋擲一枚硬幣，連續(xù)3次，求既有正面又有反面出現(xiàn)的概率.解設(shè)事件A表示“三次中既有正面又有反面出現(xiàn)”, 則表示三次均為正面或三次均為反面出現(xiàn). 而拋擲三次硬幣共有8種不同的等可能結(jié)果，即8，因此11. 10把鑰匙中有3把能打開一個(gè)門鎖，今任取兩把，求能打開門鎖的概率.解設(shè)事件A表示

5、“門鎖能被打開”. 則事件發(fā)生就是取的兩把鑰匙都不能打開門鎖.從9題11題解中可以看到，有些時(shí)候計(jì)算所求事件的對立事件概率比較方便.12. 一副撲克牌有52張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取4張，計(jì)算下列事件的概率：(1)四張花色各異；(2)四張中只有兩種花色.解設(shè)事件A表示“四張花色各異”；B表示“四張中只有兩種花色”.13. 口袋內(nèi)裝有2個(gè)伍分、3個(gè)貳分，5個(gè)壹分的硬幣共10枚，從中任取5枚，求總值超過壹角的概率.解設(shè)事件A表示“取出的5枚硬幣總值超過壹角”.14. 袋中有紅、黃、黑色球各一個(gè)，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A“三次都是紅球”“全紅”，B“全白”，C“全

6、黑”，D“無紅”，E“無白”，F(xiàn)“無黑”，G“三次顏色全相同”，H“顏色全不相同”，I“顏色不全相同”.解3327，ABC1，DEF238，GABC3，H3！6，IG2415. 一間宿舍內(nèi)住有6位同學(xué)，求他們中有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率.解設(shè)事件A表示“有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份”.126，A16. 事件A與B互不相容，計(jì)算P.解由于A與B互不相容，有AB，P(AB)017. 設(shè)事件BA，求證P(B)P(A）.證BAP(B-A)P(B) -P(A)P(B-A)0P(B)P(A)18. 已知P(A)a，P(B)b，ab0 (b0.3a)，P(AB)0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P

7、().解由于AB與AB互不相容，且A(A-B)AB，因此有P(AB)P(A)-P(A-B)0.3aP(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7abP(B-A)P(B)-P(AB)b-0.3aP()1-P(AB)1-0.3a19. 50個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)廢品，從中一次抽取三個(gè)，計(jì)算取到廢品的概率.解設(shè)事件A表示“取到廢品”，則表示沒有取到廢品，有利于事件的樣本點(diǎn)數(shù)目為，因此P(A)1-P()1-0.225520. 已知事件BA，P(A)lnb0，P(B)lna，求a的取值范圍.解因BA，故P(B)P(A)，即lnalnb,ab，又因P(A)0，P(B)1，可得b1，ae，綜上分析a的取值

8、范圍是：1bae21. 設(shè)事件A與B的概率都大于0，比較概率P(A)，P(AB)，P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等號把它們連接起來).解由于對任何事件A，B，均有ABAA+B且P(A+B)P(A)P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有P(AB)P(A)P(A+B)P(A)P(B)22. 一個(gè)教室中有100名學(xué)生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(設(shè)一年以365天計(jì)算).解設(shè)事件A表示“100名學(xué)生的生日都不在元旦”，則有利于A的樣本點(diǎn)數(shù)目為A364100，而樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為365100，所求概率為= 0.239923. 從5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有兩只

9、手套配成一副的概率.解設(shè)事件A表示“取出的四只手套至少有兩只配成一副”，則表示“四只手套中任何兩只均不能配成一副”.24. 某單位有92的職工訂閱報(bào)紙，93的人訂閱雜志，在不訂閱報(bào)紙的人中仍有85的職工訂閱雜志，從單位中任找一名職工求下列事件的概率：(1)該職工至少訂閱一種報(bào)紙或期刊；(2)該職工不訂閱雜志，但是訂閱報(bào)紙.解設(shè)事件A表示“任找的一名職工訂閱報(bào)紙”，B表示“訂閱雜志”，依題意P(A)0.92，P(B)0.93，P(B)0.85P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P(B)0.920.08×0.850.988P(A)P(AB)-P(B)0.9880.930.05825.

10、 分析學(xué)生們的數(shù)學(xué)與外語兩科考試成績，抽查一名學(xué)生，記事件A表示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，B表示外語成績優(yōu)秀，若P(A)P(B)0.4，P(AB)0.28，求P(AB)，P(BA)，P(AB).解P(AB)P(BA)P(AB)P(A)P(B)-P(AB)0.5226. 設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件. 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)P()1. 求證P(AB)P(A)P(B).證P(A)P()1且P(AB)P()1P(AB)P(A)P(AB)1-P(B)P( B)P( A)-P( AB)整理可得P(AB)P( A) P( B)27. 設(shè)A與B獨(dú)立，P( A)0.4，P( AB)0.7，求概率P(B).解P(

11、 AB)P(A)P(B)P( A)P() P( B)0.70.40.6P(B)P(B)0.528. 設(shè)事件A與B的概率都大于0，如果A與B獨(dú)立，問它們是否互不相容，為什么?解因P(A)，P(B)均大于0，又因A與B獨(dú)立，因此P(AB)P(A)P(B)0，故A與B不可能互不相容.29. 某種電子元件的壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.8，求3個(gè)這種元件使用1000小時(shí)后，最多只壞了一個(gè)的概率.解設(shè)事件Ai表示“使用1000小時(shí)后第i個(gè)元件沒有壞”，i1，2，3，顯然A1，A2，A3相互獨(dú)立，事件A表示“三個(gè)元件中最多只壞了一個(gè)”，則AA1A2A3A2A3A1A3A1A2，上面等式右邊是四個(gè)兩兩互

12、不相容事件的和，且P(A1)P(A2)P(A3)0.8P( A)0.833×0.82×0.20.89630. 加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別為0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無關(guān)，求零件的合格率.解設(shè)事件A表示“任取一個(gè)零件為合格品”，依題意A表示三道工序都合格.P(A)(10.3)(10.2)(10.2)0.44831. 某單位電話總機(jī)的占線率為0.4，其中某車間分機(jī)的占線率為0.3，假定二者獨(dú)立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m為任何正整數(shù))

13、.解設(shè)事件Ai表示“第i次能打通”，i1，2，m，則P(A1)(10.4)(10.3)0.42P(A2)0.58×0.420.2436P(Am)0.58m1×0.4232. 一間宿舍中有4位同學(xué)的眼鏡都放在書架上，去上課時(shí)，每人任取一副眼鏡，求每個(gè)人都沒有拿到自己眼鏡的概率.解設(shè)Ai表示“第i人拿到自己眼鏡”，i1,2,3,4.P(Ai)，設(shè)事件B表示“每個(gè)人都沒有拿到自己的眼鏡”.顯然則表示“至少有一人拿到自己的眼鏡”. 且A1A2A3A4.P()P(A1A2A3A4)P(AiAj)P(Ai)P(AjAi)=P(AiAjAk)=P(Ai)P(AjAi)P(AkAiAj)=

14、××（1ijk4）P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)×P(A4A1A2A3)=33. 在1，2，3000這3000個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，設(shè)Am“該數(shù)可以被m整除”，m2，3，求概率P(A2A3)，P(A2A3)，P(A2A3).解依題意P(A2)，P(A3)P(A2A3)P(A6)P(A2A3)P(A2)P(A3)P(A2A3)P(A2A3)P(A2)P(A2A3)34. 甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃練習(xí)，每人一次，如果他們的命中率分別為0.8，0.7，0.6，計(jì)算下列事件的概率：(1)只有一人投中；(2)最多有一人投中；(3)最少有一人

15、投中.解設(shè)事件A、B、C分別表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，顯然A、B、C相互獨(dú)立.設(shè)Ai表示“三人中有i人投中”，i0,1,2,3,依題意，0.2×0.3×0.4×0.024P(A3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C) =0.8×0.7×0.60.336P(A2)=P(AB)P(AC)P(BC)=0.8×0.7×0.40.8×0.3×0.60.2×0.7×0.60.452(1)P(A1)1P(A0)P(A2)P(A3)10.0240.4520.3360.188(2)P(

16、A0A1)P(A0)P(A1)0.0240.1880.212(3)P(ABC)P()1P (A0)0.97635. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，假定他們的命中率分別為0.4及0.5，問誰先投中的概率較大，為什么?解設(shè)事件A2n-1B2n分別表示“甲在第2n1次投中”與“乙在第2n次投中”，顯然A1，B2，A3，B4，相互獨(dú)立.設(shè)事件A表示“甲先投中”.計(jì)算得知P(A)0.5，P()0.5，因此甲先投中的概率較大.36. 某高校新生中，北京考生占30，京外其他各地考生占70，已知在北京學(xué)生中，以英語為第一外語的占80，而京外學(xué)生以英語為第一外語的占95，今從全校新生中任選一名學(xué)生，求該生以英語

17、為第一外語的概率.解設(shè)事件A表示“任選一名學(xué)生為北京考生”，B表示“任選一名學(xué)生，以英語為第一外語”. 依題意P(A)0.3，P()0.7，P(BA)0.8，P(B)0.95. 由全概率公式有P(B)P(A)P(BA)P()P(B)0.3×0.80.7×0.950.90537. A地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個(gè)行政小區(qū)，其人口比為9 : 7 : 4，據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在該地三個(gè)小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為4，2，5，求A地的甲種疾病的發(fā)病率.解設(shè)事件A1，A2，A3分別表示從A地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)，易見A1，A2，A3兩兩互不相容，其和為.設(shè)事件B表示

18、“任選一名居民其患有甲種疾病”，依題意：P(A1)0.45，P(A2)0.35，P(A3)0.2，P(BA1)0.004，P(BA2)0.002，P(BA3)0.0050.45×0.004+ 0.35×0.002+ 0.2×0.0050.003538. 一個(gè)機(jī)床有三分之一的時(shí)間加工零件A，其余時(shí)間加工零件B，加工零件A時(shí)，停機(jī)的概率為0.3，加工零件B時(shí)停機(jī)的概率為0.4，求這個(gè)機(jī)床停機(jī)的概率.解設(shè)事件A表示“機(jī)床加工零件A”，則表示“機(jī)床加工零件B”，設(shè)事件B表示“機(jī)床停工”.39. 有編號為、的3個(gè)口袋，其中號袋內(nèi)裝有兩個(gè)1號球，1個(gè)2號球與1個(gè)3號球，號袋內(nèi)

19、裝有兩個(gè)1號球和1個(gè)3號球，號袋內(nèi)裝有3個(gè)1號球與兩個(gè)2號球，現(xiàn)在先從號袋內(nèi)隨機(jī)地抽取一個(gè)球，放入與球上號數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，計(jì)算第二次取到幾號球的概率最大，為什么?解設(shè)事件Ai表示“第一次取到i號球”，Bi表示第二次取到i號球，i1，2，3.依題意，A1，A2，A3構(gòu)成一個(gè)完全事件組.應(yīng)用全概率公式可以依次計(jì)算出. 因此第二次取到1號球的概率最大.40. 接37題，用一種檢驗(yàn)方法，其效果是：對甲種疾病的漏查率為5(即一個(gè)甲種疾病患者，經(jīng)此檢驗(yàn)法未查出的概率為5)；對無甲種疾病的人用此檢驗(yàn)法誤診為甲種疾病患者的概率為1，在一次健康普查中，某人經(jīng)此檢驗(yàn)法查為患有甲種疾病，

20、計(jì)算該人確實(shí)患有此病的概率.解設(shè)事件A表示“受檢人患有甲種疾病”，B表示“受檢人被查有甲種疾病”，由37題計(jì)算可知P(A)0.0035，應(yīng)用貝葉斯公式41. 甲、乙、丙三個(gè)機(jī)床加工一批同一種零件，其各機(jī)床加工的零件數(shù)量之比為5 : 3 : 2，各機(jī)床所加工的零件合格率，依次為94，90，95，現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個(gè)廢品，判斷它不是甲機(jī)床加工的概率.解設(shè)事件A1，A2，A3分別表示“受檢零件為甲機(jī)床加工”，“乙機(jī)床加工”，“丙機(jī)床加工”，B表示“廢品”，應(yīng)用貝葉斯公式有42. 某人外出可以乘坐飛機(jī)、火車、輪船、汽車4種交通工具，其概率分別為5，15，30，50，乘坐這幾種交通工具能如

21、期到達(dá)的概率依次為100，70，60與90，已知該旅行者誤期到達(dá)，求他是乘坐火車的概率.解設(shè)事件A1，A2，A3，A4分別表示外出人“乘坐飛機(jī)”，“乘坐火車”，“乘坐輪船”，“乘坐汽車”，B表示“外出人如期到達(dá)”. =0.20943. 接39題，若第二次取到的是1號球，計(jì)算它恰好取自號袋的概率.解39題計(jì)算知P(B1)，應(yīng)用貝葉斯公式44. 一箱產(chǎn)品100件，其次品個(gè)數(shù)從0到2是等可能的，開箱檢驗(yàn)時(shí)，從中隨機(jī)地抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已知該箱產(chǎn)品已通過驗(yàn)收，求其中確實(shí)沒有次品的概率.解設(shè)事件Ai表示一箱中有i件次品，i0, 1, 2.B表示“抽取的10件中無

22、次品”，先計(jì)算P(B)45. 設(shè)一條昆蟲生產(chǎn)n個(gè)卵的概率為n=0, 1, 2, 其中0，又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化為昆蟲的概率等于p(0p1).如果卵的孵化是相互獨(dú)立的，問此蟲的下一代有k條蟲的概率是多少?解設(shè)事件An“一個(gè)蟲產(chǎn)下幾個(gè)卵”，n0，1，2.BR“該蟲下一代有k條蟲”，k0，1，.依題意其中q=1p.應(yīng)用全概率公式有由于，所以有習(xí)題二1. 已知隨機(jī)變量X服從01分布，并且PX00.2，求X的概率分布.解X只取0與1兩個(gè)值，PX0PX0PX00.2，PX11PX00.8.2. 一箱產(chǎn)品20件，其中有5件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)X的概率分布.解X可以取0,

23、 1, 2三個(gè)值. 由古典概型公式可知依次計(jì)算得X的概率分布如下表所示：X012P3. 上題中若采用重復(fù)抽取，其他條件不變，設(shè)抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為X件，求隨機(jī)變量X的概率分布.解X的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到優(yōu)質(zhì)品的概率是1/4，取到非優(yōu)質(zhì)品的概率是3/4,且各次抽取結(jié)果互不影響，應(yīng)用伯努利公式有4. 第2題中若改為重復(fù)抽取，每次一件，直到取得優(yōu)質(zhì)品為止，求抽取次數(shù)X的概率分布.解X可以取1, 2,可列個(gè)值. 且事件X=n表示抽取n次，前n1次均未取到優(yōu)質(zhì)品且第n次取到優(yōu)質(zhì)品，其概率為. 因此X的概率分布為5. 盒內(nèi)有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新球，3個(gè)為舊球，采取不放回抽取

24、，每次一個(gè)直到取得新球?yàn)橹梗笙铝须S機(jī)變量的概率分布.(1)抽取次數(shù)X；(2)取到的舊球個(gè)數(shù)Y .解(1)X可以取1, 2, 3, 4各值.(2)Y可以取0, 1, 2, 3各值.6. 上題盒中球的組成不變，若一次取出3個(gè)，求取到的新球數(shù)目X的概率分布.解X可以取0, 1, 2, 3各值.7. 已知PXnpn，n1, 2, 3, , 求p的值.解根據(jù), 有解上面關(guān)于p的方程，得p0.5.8. 已知PXn=pn，n2, 4, 6, ，求p的值.解解方程，得p=/29. 已知PXn=cn,n=1,2, 100, 求c的值.解解得c1/5050 .1

25、0. 如果pncn2，n=1,2, 問它是否能成為一個(gè)離散型概率分布，為什么?解由于級數(shù)收斂, 若記=a,只要取,則有=1,且pn0.所以它可以是一個(gè)離散型概率分布.11. 隨機(jī)變量X只取1, 2, 3共三個(gè)值，其取各個(gè)值的概率均大于零且不相等并又組成等差數(shù)列，求X的概率分布.解設(shè)PX2a，PX1ad,PX=3=a+d. 由概率函數(shù)的和為1，可知a=,但是ad與a+d均需大于零, 因此d, X的概率分布為X123Pd+d其中d應(yīng)滿足條件：0d12. 已知,m =1, 2, , 且0, 求常數(shù)c.解由于, 所以有解得13. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人投籃的命

26、中率分別為0.4及0.5，求：(1)二人投籃總次數(shù)Z的概率分布；(2)甲投籃次數(shù)X的概率分布；(3)乙投籃次數(shù)Y的概率分布.解設(shè)事件Ai表示在第i次投籃中甲投中，j表示在第j次投籃中乙投中，i=1,3,5,j=2,4,6,且A1, B2, A3, B4，相互獨(dú)立.(1)(0.6×0.5)·0.4=0.4(0.3)k=1, 2, 0.5×0.6×(0.6×0.5)=0.3kk=1, 2, (2)(3) 14. 一條公共汽車路線的兩個(gè)站之間，有四個(gè)路口處設(shè)有信號燈，假定汽車經(jīng)過每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過，其概率為0.6，遇到紅燈或黃燈則停止前進(jìn)，

27、其概率為0.4，求汽車開出站后，在第一次停車之前已通過的路口信號燈數(shù)目X的概率分布(不計(jì)其他因素停車).解X可以取0, 1, 2, 3, 4 .P  X0  0.4P  X1 0.6×0.40.24P  X2  0.62×0.40.144P  X3  0.63×0.40.0864P  X4  0.640.129615. 

28、;問f(x)是否為一個(gè)概率密度函數(shù)，為什么?如果(1)解在0, 與0, 上，sinx0,但是而在上,sinx 0.因此只有(1)中的a, b可以使f(x)是一個(gè)概率密度函數(shù).16. 其中c0，問f(x)是否為密度函數(shù)，為什么?解易見對任何x( , ) , f ( x )  0，又f(x)是一個(gè)密度函數(shù) .17. 問f ( x )是否為密度函數(shù)，若是，確定a的值；若不是，說明理由.解如果f (

29、60;x )是密度函數(shù)，則f ( x )0，因此a0，但是，當(dāng)a0時(shí)，由于不是1，因此f ( x )不是密度函數(shù).18. 設(shè)隨機(jī)變量Xf ( x )確定常數(shù)a的值，如果P  a  x  b  0.5，求b的值.解解方程     =1得a =0解關(guān)于b的方程：arctanb=0.5得b=1.19. 某種電子元件的壽命X是隨機(jī)變量，概率密度為3個(gè)這種元件串聯(lián)在一

30、個(gè)線路中，計(jì)算這3個(gè)元件使用了150小時(shí)后仍能使線路正常工作的概率.解串聯(lián)線路正常工作的充分必要條件是3個(gè)元件都能正常工作. 而三個(gè)元件的壽命是三個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此若用事件A表示“線路正常工作”，則20. 設(shè)隨機(jī)變量Xf ( x )，f ( x )Ae|x|，確定系數(shù)A；計(jì)算P  |X | 1 .解解得A21. 設(shè)隨機(jī)變量Y服從0, 5上的均勻分布，求關(guān)于x的二次方程4x24xY+Y+2=0有實(shí)數(shù)根的概率.解4x2+4xY+Y+2=0. 有實(shí)根的充分必要條件是b

31、24ac =16Y216(Y+2)=16Y216Y320設(shè)事件P(A)為所求概率.則 =0.622. 設(shè)隨機(jī)變量X  f ( x )，確定常數(shù)c，計(jì)算解c =23. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F ( x )為確定系數(shù)A，計(jì)算，求概率密度f ( x ).解連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn) (1)F (10)，有A1.24. 求第20題中X的分布函數(shù)F ( x ) .解當(dāng)t  0時(shí)，當(dāng)t

32、0時(shí)，25. 函數(shù)(1+x2)1可否為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為什么?解不能是分布函數(shù)，因F () 1  0.26. 隨機(jī)變量Xf ( x )，并且,確定a的值；求分布函數(shù)F ( x )；計(jì)算.解因此a =127. 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F ( x ) 為：確定常數(shù)A的值，計(jì)算.解由F ( 20 )F ( 2 )，可得0.7528. 隨機(jī)變量Xf ( x )

33、，f ( x )確定A的值；求分布函數(shù)F ( x ) .解因此A，29. 隨機(jī)變量Xf ( x )，其他確定a的值并求分布函數(shù)F ( x ) .解因此，a = 當(dāng)0x時(shí)，30. 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求X的概率密度并計(jì)算.解當(dāng)x  0時(shí)，X的概率密度f ( x ) 0；當(dāng)x  0時(shí)，f ( x ) F (&#

34、160;x )31. 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.7的01分布，求X2，X22X的概率分布.解X2仍服從01分布，且P  X20  P  X0  0.3，PX21PX10.7X22X的取值為1與0 , PX22X0P  X0  0.3P  X22X1  1P  X0  0.732. 已知P  X10n  P  X

35、10-n Y=lgX，求Y的概率分布.解Y的取值為±1, ±2 , P  Y=n  =P  lgX=n  =P  X=10n  =P  Y=n  =P  lgX=n  =P  x=10-n  n1 , 2 , 33. X服從a,b上的均勻分布，Y=ax+b(a

36、0)，求證Y也服從均勻分布.證設(shè)Y的概率密度為fY ( y ) ，X的概率密度為fX ( x )，只要a  0，y = ax + b都是x的單調(diào)函數(shù). 當(dāng)a  0時(shí)，Y的取值為a2+b,ab+b,當(dāng)時(shí)，fY ( y ) =0.類似地，若a0，則Y的取值為 ab+b , a2+b 因此，無論a0還是a0，ax+b均服從均勻分布.34. 隨機(jī)變量X服從0 ,&#

37、160;上的均勻分布Y=cosX , 求Y的概率密度fY ( y ).解y=cosx在0,上單調(diào)，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosyh ( y ) =  , fx ( x ) =  , 0  x   . 因此35. 隨機(jī)變量X服從(0 

38、;, 1)上的均勻分布，Y=ex , Z =lnX，分別求隨機(jī)變量Y與Z的概率密度fY ( y ) 及fZ ( z ) .解y = ex 在(0 , 1)內(nèi)單調(diào) , x=lny可導(dǎo)，且xy =  , fX ( x ) =10  x  1 , 因此有在(0 ,&

39、#160;1)內(nèi)lnx  0lnx=-lnx單調(diào)，且x = e，xze，因此有36. 隨機(jī)變量Xf ( x ) ，Y = , Z = X2 , 分別計(jì)算隨機(jī)變量Y與Z的概率密度fy ( y ) 與fZ ( z ) .解當(dāng)x  0時(shí)，y =單調(diào)，其反函數(shù)為x = y2 , xy = 

40、;2y當(dāng)x  0時(shí)zx2也是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為x = , x z=37.隨機(jī)變量Xf ( x )，當(dāng)x  0時(shí), Y=arctanX , Z = ,分別計(jì)算隨機(jī)變量Y與Z的概率密度fY ( y ) 與fz ( z ) .解由于y = arctanx是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=tany , x y=sec2y在內(nèi)

41、恒不為零，因此，當(dāng)0  y 時(shí)，即Y服從區(qū)間(0 , )上的均勻分布.z = 在x0時(shí)也是x的單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=, x z =. 因此當(dāng)z0時(shí)，即Z =  與X同分布.38. 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為R，圓心在原點(diǎn)的圓的上半圓周上隨機(jī)游動. 求該質(zhì)點(diǎn)橫坐標(biāo)X的密度函數(shù)fX ( x ) .解如圖，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在圓周位置為M，弧的長記為L，顯然L是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，L服從0，R上的均勻分布.圖2-1M點(diǎn)的橫坐標(biāo)X也是一

42、個(gè)隨機(jī)變量，它是弧長L的函數(shù)，且X  Rcos  Rcos 函數(shù)x = Rcosl / R是l的單調(diào)函數(shù) ( 0 l  R ) ,其反函數(shù)為l  Rarccos當(dāng)R  x  R時(shí)，Lx  0，此時(shí)有當(dāng)x  R或x  R時(shí)，fX ( x ) 0 .39. 計(jì)算第2

43、0;, 3 , 5 , 6 , 11各題中的隨機(jī)變量的期望.解根據(jù)第2題中所求出的X概率分布，有亦可從X服從超幾何分布，直接計(jì)算在第3題中亦可從X服從二項(xiàng)分布(2，)，直接用期望公式計(jì)算：在第5題中(1)(2)在第6題中，在第11題中，40. P  X = n  =, n=1, 2, 3, 4, 5, 確定C的值并計(jì)算EX.解41. 隨機(jī)變量X只取1, 0, 1三個(gè)值，且相應(yīng)概率的比為1

44、 : 2 : 3，計(jì)算EX.解設(shè)P  X 1   a，則P  X 0  2a, P  X1 3a ( a0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a 1/642. 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.8的01分布，通過計(jì)算說明EX2是否等于( EX )2 ?解EXP  X1

45、  0.8，( EX )2 0.64EX21×0.80.8( EX )243. 隨機(jī)變量Xf ( x ) ，f ( x ) 0.5e- | x |，計(jì)算EXn，n為正整數(shù).解當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)，且積分收斂，因此當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，44. 隨機(jī)變量Xf ( x ) ，其他計(jì)算EXn(n為正整數(shù)) .解45. 隨機(jī)變量Xf ( x )

46、 ，其他b,c均大于0，問EX可否等于1，為什么?解而由于方程組無解，因此EX不能等于1.46. 計(jì)算第6，40各題中X的方差DX.解在第6題中，從第39題計(jì)算知EX，DXEX2( EX )20.46在第40題中，已計(jì)算出EX ,=DX=EX2-(EX)21.7747. 計(jì)算第23，29各題中隨機(jī)變量的期望和方差.解在第23題中，由于f ( x ) （0x1）,因此DX = EX2 ( EX )2 =在第29題中，由于f ( x

47、0;) ( 0x ) , 因此DXEX2 ( EX )2=48. 計(jì)算第34題中隨機(jī)變量Y的期望和方差.解EY=EY2=DY=49. 已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F ( x ) 為：F ( x ) =計(jì)算EX與DX .解依題意，X的密度函數(shù)f ( x ) 為：解EXEX2=DX=50. 已知隨機(jī)變量X的期望EX，方差DX2，隨機(jī)變量Y = ,求EY和DY .解E

48、Y =( EX ) 0DY = =151. 隨機(jī)變量YnB ( n, ) ,分別就n=1, 2, 4, 8, 列出Yn的概率分布表，并畫出概率函數(shù)圖 .解Y101Y2012PPY30123PY401234PY8012345678P6561a17496a20412a13608a5670a1512a252a24aa其中a = 1/65536 . 圖略 .52. 設(shè)每次試驗(yàn)的成功率為0.8，重復(fù)試驗(yàn)4次

49、，失敗次數(shù)記為X，求X的概率分布 .解X可以取值0, 1,2, 3, 4.相應(yīng)概率為P ( Xm ) ( m=0,1,2,3, 4 )計(jì)算結(jié)果列于下表X01234P0.40960.40960.15360.02560.001653. 設(shè)每次投籃的命中率為0.7，求投籃10次恰有3次命中的概率 ；至少命中3次的概率 .解記X為10次投籃中命中的次數(shù)，則XB ( 10 , 0.7 ) . =10.31010×0.7

50、5;0.3945×0.72×0.380.998454擲四顆骰子，求“6點(diǎn)”出現(xiàn)的平均次數(shù)及“6點(diǎn)”出現(xiàn)的最可能（即概率最大）次數(shù)及相應(yīng)概率.解擲四顆骰子，記“6點(diǎn)”出現(xiàn)次數(shù)為X，則XB（4，）.EX = np =由于np + p = ，其X的最可能值為 np + p =0若計(jì)算，顯然概率更小.55已知隨機(jī)變量XB（n, p），并且EX=3，DX=2，寫出X的全部可能取值，并計(jì)算 .解根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差公式，有解方程，得q=，p=，n=9&#

51、160;.X的全部可能取值為0, 1, 2, 3, , 9.= 1 0.999956隨機(jī)變量XB（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，問X取什么值的概率最大，其概率值為何?解由于DX = EX2(EX)2=0.64, EX=0.8, 即解得q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np+p=1，因此X取0與取1的概率最大，其概率值為57隨機(jī)變量XB（n, p），Y=eaX，計(jì)算隨機(jī)變量Y的期望EY和方差DY .解隨機(jī)變量Y是X的函數(shù)

52、，由于X是離散型隨機(jī)變量，因此Y也是離散型隨機(jī)變量，根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式，有58. 從一副撲克牌（52張）中每次抽取一張，連續(xù)抽取四次，隨機(jī)變量X，Y分別表示采用不放回抽樣及有放回抽樣取到的黑花色張數(shù)，分別求X，Y的概率分布以及期望和方差.解X服從超幾何分布，Y服從二項(xiàng)分布B（4，）.具體計(jì)算結(jié)果列于下面兩個(gè)表中.X01234P46/833208/833325/833208/83346/833Y01234P1/164/166/164/161/1659. 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，查表寫出概率并與上題中的概率分布進(jìn)行比較.01234P0.13530.27070.27070.1804

53、0.090260從廢品率是0.001的100000件產(chǎn)品中，一次隨機(jī)抽取500件，求廢品率不超過0.01的概率.解 設(shè)500件中廢品件數(shù)為X，它是一個(gè)隨機(jī)變量且X服從N=100000，=100，n=500的超幾何分布.由于n相對于N較小，因此它可以用二項(xiàng)分布B（500，0.001）近似.又因在二項(xiàng)分布B（500，0.001）中，n=500比較大，而p=0.001非常小，因此該二項(xiàng)分布又可用泊松分布近似，其分布參數(shù)=np=0.5.61.某種產(chǎn)品每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從泊松分布，平均每件上有0.8個(gè)疵點(diǎn)，若規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過1個(gè)為一等品，價(jià)值10元；疵點(diǎn)數(shù)大于1不多于4為二等品，價(jià)值8元；4個(gè)以上者為

54、廢品，求：（1）產(chǎn)品的廢品率；（2）產(chǎn)品價(jià)值的平均值解 設(shè)X為一件產(chǎn)品表面上的疵點(diǎn)數(shù)目，（1）（2）設(shè)一件產(chǎn)品的產(chǎn)值為Y元，它可以取值為0，8，10.62設(shè)書籍中每頁的印刷錯(cuò)誤服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)與有2個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗(yàn)4頁，每頁上都沒有印刷錯(cuò)誤的概率.解設(shè)一頁書上印刷錯(cuò)誤為X，4頁中沒有印刷錯(cuò)誤的頁數(shù)為Y，依題意，即解得=2，即X服從=2的泊松分布.顯然YB63每個(gè)糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目服從泊松分布，若已知一個(gè)糧倉內(nèi)，有一只老鼠的概率為有兩只老鼠概率的兩倍，求糧倉內(nèi)無鼠的概率.解設(shè)X為糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目，依題意解得=1.64上題中條件不變，求10個(gè)糧倉中

55、有老鼠的糧倉不超過兩個(gè)的概率.解 接上題，設(shè)10個(gè)糧倉中有老鼠的糧倉數(shù)目為Y，則YB（10，p），其中65設(shè)隨機(jī)變量X服從上的均勻分布，計(jì)算E(2X)，D（2X），.解EX=2.5，DX=E(2X)=5，D(2X)=4DX=，66隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求概率P.解67隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，確定下列各概率等式中的a的數(shù)值：（1）；（2）（3）（4）解（1），查表得a=1.28（2），得（a）=0.95，查表得a=1.64（3），查表得a=2（4），得(a)=0.55，查表得a=0.1368. 隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，求概率,.解P=0.682669隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若,，計(jì)算和

56、的值，求.解 查表得：解以和為未知量的方程組，得=5.08，=2.=0.322870已知隨機(jī)變量，確定c和d的值.解 =，查表得查表得71假定隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，確定下列各概率等式中a的數(shù)值：（1）（2）（3）解 =2(a) -1（1）2(a)-1=0.9，(a)=0.95，a=1.64；（2）2(a)-1=0.95，(a)=0.975,a=1.96；（3）2(a)-1=0.99，(a)=0.995，a=2.58.72某科統(tǒng)考的考試成績X近似服從正態(tài)分布, 第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約為多少分?解 設(shè)參加統(tǒng)考人數(shù)為n，則=0.8413，n=設(shè)第20名成績約為a分，則查表得a

57、=79.6因此第20名的成績約為80分.習(xí) 題 三1袋內(nèi)有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，每次從中任取一張，不放回地抽取兩次，記X、Y分別表示兩次取到的卡片上數(shù)字的最小值與最大值，求（X，Y）的概率分布.解 （X，Y）可以取值為（1，2），（1，3），(3，4).事件是兩個(gè)互不相容事件“第一次取到數(shù)字1且第二次取到數(shù)字2”與“第一次取到數(shù)字2且第二次取到數(shù)字1”的和，其概率為1/6，類似地可以計(jì)算出其他pij的值（見下表）.XY234pi.120300p.j2求上題中隨機(jī)變量X與Y的邊緣分布.并計(jì)算期望EX，EY與方差DX，DY.解 在（X，Y）的聯(lián)合分布表中，將每一行對各列求和，得到X

58、的邊緣分布pi.（i=1，2，3）.類似地，可以得到關(guān)于Y的邊緣分布，其具體結(jié)果見上題聯(lián)合分布表.EX=3一個(gè)袋內(nèi)有10個(gè)球，其中有紅球4個(gè)，白球5個(gè)，黑球1個(gè)，不放回地抽取兩次，每次一個(gè)，記X表示兩次中取到的紅球數(shù)目，Y表示取到的白球數(shù)目，求隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布及X、Y的邊緣概率分布.解 顯然（X，Y）的全部取值為（0，1），（0，2），（2，0）.類似地可以計(jì)算出其他pij的值（見下表）：XY01200102004上題中試驗(yàn)條件不變，若記i=1，2，求隨機(jī)向量的概率分布，計(jì)算兩次取到的球顏色相同的概率.解 易見的全部可能取值為（0，0），（0，1），（2，1）.應(yīng)用乘法公式不難計(jì)算

59、出pij的全部值（見下表）：X2X101201205第3題中袋內(nèi)球的組成及抽取次數(shù)不變，但是改為有放回抽取，求第4題中定義的隨機(jī)向量的概率分布.解的取值為(0，0)，(0，1)，(2，2)且，因此，的聯(lián)合概率分布為下表所示：X2X101200.160.20 0.0410.200.250.0520.040.050.016將3個(gè)球隨機(jī)地放入四個(gè)盒子，記表示第i個(gè)盒子內(nèi)球的個(gè)數(shù)，i=1，2，求隨機(jī)變量與的聯(lián)合概率分布及關(guān)于的邊緣分布.解 取值為（0，0），（0，1），（3，0）列成聯(lián)合分布表如下，表中最下一列為X2的邊緣分布p.j，j=0，1，2，3.X2X101230102003000p.j7將3

60、個(gè)球隨機(jī)地放入四個(gè)盒子，設(shè)X表示第一個(gè)盒子內(nèi)球的個(gè)數(shù)，Y表示有球的盒子個(gè)數(shù)，求隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布.解（X，Y）的取值為（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，2）類似地可以依次計(jì)算出pij的值（見下表）：YX1230102003008.已知隨機(jī)向量（X，Y）只?。?，0），（-1，1），（-1，2）及（2，0）四對值，相應(yīng)概率依次為，和.列出（X，Y）的概率分布表，求Y的邊緣分布及X+Y的概率分布.解YX012-1000 0200p.j（X，Y）的聯(lián)合概率分布如上表所示，表中最下一行為Y的邊緣分布，X+Y的分布見下表：X+Y012P9袋中有10張卡片，其中有m張卡片上寫有數(shù)字m，m=1，2，3，4，從中不重復(fù)地抽取兩次，每次一張，記Xi表示第i次取到的卡片上數(shù)字，i=1，2.求的概率分布以及X1+X2，X1X2的概率分布.解 可以?。?，2），（1，3），（4，4），其相應(yīng)概率見下表：X2X1123410234X1+X2可以取3，4，8各值，X1X2可以取2，3，4，6，8，9，12，16各值，其相應(yīng)概率見以下二表