集合知識點(diǎn)總結(jié)及典型例題

1、 集 合一【課標(biāo)要求】1集合的含義與表示（1）通過實(shí)例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；（2）能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；2集合間的基本關(guān)系（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；（2）在具體情境中，了解全集與空集的含義；3集合的基本運(yùn)算（1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；（3）能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用二【命題走向】有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集

2、合之間的關(guān)系，近年試題加強(qiáng)了對集合的計(jì)算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時(shí)，要注意利用幾何的直觀性，注意運(yùn)用Venn圖解題方法的訓(xùn)練，注意利用特殊值法解題，加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓(xùn)練?？荚囆问蕉嘁砸坏肋x擇題為主。預(yù)測高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達(dá)之中，相對獨(dú)立。具體三【要點(diǎn)精講】1集合：某些指定的對象集在一起成為集合（1）集合中的對象稱元素，若a是集合A的元素，記作；若b不是集合A的元素，記作；（2）集合中的元素必須滿足：確定性、互異性與無序性；確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對象，則或者是A的元素，或

3、者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立；互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素；無序性：集合中不同的元素之間沒有地位差異，集合不同于元素的排列順序無關(guān)；（3）表示一個(gè)集合可用列舉法、描述法或圖示法；列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)；描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)。具體方法：在大括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。注意：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元素

4、較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法。（4）常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R。2集合的包含關(guān)系：（1）集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集（或B包含A），記作AB（或）；集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣。若AB且BA，則稱A等于B，記作A=B；若AB且AB，則稱A是B的真子集，記作A B；（2）簡單性質(zhì)：1）AA；2）A；3）若AB，BC，則AC；4）若集合A是n個(gè)元素的集合，則集合A有2n個(gè)子集（其中2n1個(gè)真子集）；3全集與補(bǔ)集：（1）包含了我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素的

5、集合稱為全集，記作U；（2）若S是一個(gè)集合，AS，則，=稱S中子集A的補(bǔ)集；（3）簡單性質(zhì)：1）()=A；2）S=，=S4交集與并集：（1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集。交集。（2）一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集。注意：求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法。5集合的簡單性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）；（5）（AB

6、）=（A）（B），（AB）=（A）（B）。四【典例解析】題型1：集合的概念 (2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛兵乓球運(yùn)動(dòng)，8人對這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_12_答案 ：12解析 設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為人，則只喜愛籃球的有人，只喜愛乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人數(shù)為12人。例1已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有( )A. 3個(gè) B. 2個(gè)C. 1個(gè) D. 無窮多個(gè)答案 B 解析 由得，則，有2個(gè)，選B.例2集合,若,則的值為 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答

7、案 D解析 ,故選D.【命題立意】:本題考查了集合的并集運(yùn)算,并用觀察法得到相對應(yīng)的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.題型2：集合的性質(zhì)例3集合,若,則的值為 ( )A.0 B.1 C.2 D.4答案 D解析 ,故選D.【命題立意】:本題考查了集合的并集運(yùn)算,并用觀察法得到相對應(yīng)的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.隨堂練習(xí)1.設(shè)全集U=R，A=xN1x10，B= xRx 2+ x6=0，則下圖中陰影表示的集合為 （ ）A2 B3 C3，2 D2，3 2. 已知集合A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0,B=y|y2-6y+80，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）分析：解

8、決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮從反面考慮問題在集合中的運(yùn)用主要就是運(yùn)用補(bǔ)集思想本題若直接求解，情形較復(fù)雜，也不容易得到正確結(jié)果，若我們先考慮其反面，再求其補(bǔ)集，就比較容易得到正確的解答解：由題知可解得A=y|y>a2+1或y<a, B=y|2y4,我們不妨先考慮當(dāng)AB時(shí)a的范圍如圖由，得或.即AB時(shí)a的范圍為或.而AB時(shí)a的范圍顯然是其補(bǔ)集,從而所求范圍為.評注：一般地，我們在解時(shí)，若正面情形較為復(fù)雜，我們就可以先考慮其反面，再利用其補(bǔ)集，求得其解，這就是

9、“補(bǔ)集思想”例4已知全集，A=1,如果，則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？若存在，求出，若不存在，說明理由解：；，即0，解得當(dāng)時(shí)，為A中元素；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這樣的實(shí)數(shù)x存在，是或。另法：，0且或。點(diǎn)評：該題考察了集合間的關(guān)系以及集合的性質(zhì)。分類討論的過程中“當(dāng)時(shí)，”不能滿足集合中元素的互異性。此題的關(guān)鍵是理解符號是兩層含義：。變式題：已知集合，,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，與題意不符，所以，。題型3：集合的運(yùn)算例5已知函數(shù)的定義域集合是A,函數(shù)的定義域集合是B（1）求集合A、B（2）若AB=B,求實(shí)數(shù)的取值范圍解 （1）AB（2）由ABB得AB，因此所以,所以實(shí)數(shù)

10、的取值范圍是例6已知集合,則( ) A. B. C. D.答案 A解析 易有，選A點(diǎn)評：該題考察了集合的交、補(bǔ)運(yùn)算。題型4：圖解法解集合問題例7（2009年廣西北海九中訓(xùn)練）已知集合M=，N=，則 （ ） A B C D答案 C例81.設(shè)全集，函數(shù)的定義域?yàn)锳，集合，若恰好有2個(gè)元素，求a的取值集合。解：時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，在此區(qū)間上恰有2個(gè)偶數(shù)。2、，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：，其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和若對于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì)（I）對任何具有性質(zhì)的集合，證明：；（II）判斷和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：（I）證明：首先，由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對共有個(gè)因?yàn)?，?/p>

11、以；又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，從而，集合中元素的個(gè)數(shù)最多為，即（II）解：，證明如下：（1）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也至少有一個(gè)不成立故與也是的不同元素可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，（2）對于，根據(jù)定義，且，從而如果與是的不同元素，那么與中至少有一個(gè)不成立，從而與中也不至少有一個(gè)不成立，故與也是的不同元素可見，中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù)，即，由（1）（2）可知，例9向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生

12、數(shù)比對A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人。問對A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？解：贊成A的人數(shù)為50×=30，贊成B的人數(shù)為30+3=33，如上圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B。設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33x。依題意(30x)+(33x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人。點(diǎn)評：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握。本

13、題主要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力。解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來。本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索。畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系。例10求1到200這200個(gè)數(shù)中既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)的自然數(shù)共有多少個(gè)？解：如圖先畫出Venn圖，不難看出不符合條件 的數(shù)共有（200÷2）（200÷3）(200÷5)(200÷10)(200÷6)(200÷15)(200÷30)146所以，符合條件的數(shù)共有20014654（個(gè)）點(diǎn)評：分析200個(gè)

14、數(shù)分為兩類，即滿足題設(shè)條件的和不滿足題設(shè)條件的兩大類，而不滿足條件的這一類標(biāo)準(zhǔn)明確而簡單，可考慮用扣除法。題型7：集合綜合題例11（1999上海，17）設(shè)集合A=x|xa|<2，B=x|<1，若AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由|xa|<2，得a2<x<a+2，所以A=x|a2<x<a+2。由<1，得<0，即2<x<3，所以B=x|2<x<3。因?yàn)锳B，所以，于是0a1。點(diǎn)評：這是一道研究集合的包含關(guān)系與解不等式相結(jié)合的綜合性題目。主要考查集合的概念及運(yùn)算，解絕對值不等式、分式不等式和不等式組的基本方法。在解題過程中要

15、注意利用不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。例12已知an是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作Sn,設(shè)集合A=(an,)|nN*,B=(x,y)|x2y2=1,x,yR。試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明：（1）若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；（2）AB至多有一個(gè)元素；（3）當(dāng)a10時(shí)，一定有AB。解：（1）正確；在等差數(shù)列an中，Sn=,則(a1+an),這表明點(diǎn)(an,)的坐標(biāo)適合方程y(x+a1),于是點(diǎn)(an, )均在直線y=x+a1上。（2）正確；設(shè)(x,y)AB,則(x,y)

16、中的坐標(biāo)x,y應(yīng)是方程組的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=4(*)，當(dāng)a1=0時(shí)，方程(*)無解，此時(shí)AB=；當(dāng)a10時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解x=,此時(shí)，方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解。AB至多有一個(gè)元素。（3）不正確；取a1=1，d=1，對一切的xN*，有an=a1+(n1)d=n>0, >0，這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于a1=10 如果AB，那么據(jù)(2)的結(jié)論，AB中至多有一個(gè)元素(x0,y0),而x0=0,y0=0，這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時(shí)AB=，所以a10時(shí)，一定有AB是不正確的。點(diǎn)評：該題融

17、合了集合、數(shù)列、直線方程的知識，屬于知識交匯題。變式題：解答下述問題：（）設(shè)集合，,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析：關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解 的具體意義，首先要從數(shù)學(xué)意義上解釋 的意義，然后才能提出解決問題的具體方法。解：的取值范圍是UM=m|m<-2.（解法三）設(shè)這是開口向上的拋物線，則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價(jià)于注意，在解法三中，f(x)的對稱軸的位置起了關(guān)鍵作用，否則解答沒有這么簡單。（）已知兩個(gè)正整數(shù)集合A=a1,a2,a3,a4,、B.分析：命題中的集合是列舉法給出的，只需要根據(jù)“交、并”的意義及元素的基本性質(zhì)解決，注意“正整數(shù)”這個(gè)條件的運(yùn)用，（）分析：正確理解要使,由當(dāng)k=0時(shí)，方程有解,不

18、合題意；當(dāng)又由由，由、得b為自然數(shù)，b=2，代入、得k=1點(diǎn)評：這是一組關(guān)于集合的“交、并”的常規(guī)問題，解決這些問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解問題條件的具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，才能由此尋求解決的方法。題型6：課標(biāo)創(chuàng)新題例13七名學(xué)生排成一排，甲不站在最左端和最右端的兩個(gè)位置之一，乙、丙都不能站在正中間的位置，則有多少不同的排法？解：設(shè)集合A=甲站在最左端的位置，B=甲站在最右端的位置，C=乙站在正中間的位置，D=丙站在正中間的位置，則集合A、B、C、D的關(guān)系如圖所示，不同的排法有種.點(diǎn)評：這是一道排列應(yīng)用問題，如果直接分類、分步解答需要一定的基本功，容易錯(cuò)，若考慮運(yùn)用集合思想解答，則比較容易理解。上面的例子說明了集合思想的一些應(yīng)用，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意總結(jié)集合應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)。例14A是由定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對任意，都有 ； 存在常數(shù)，使得對任意的，都有（1）設(shè)，證明：（2）設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;（3）設(shè),任取,令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式H。解：對任意,所以對任意的，所以0<,令=，所以反證法：設(shè)存在兩個(gè)使得,。則由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。，所以+。點(diǎn)評：函數(shù)的概念是在集合理論上發(fā)展起來的，而此題又將函數(shù)的性質(zhì)融合在集合的關(guān)系當(dāng)中，題目比較新穎五【思維總結(jié)】集合知識可以使我們更好地理解數(shù)學(xué)中廣