錢(qián)敏平 龔光魯 隨機(jī)過(guò)程答案(部分)VIP

1、隨機(jī)過(guò)程課后習(xí)題答案第一章第二題：已知一列一維分布，試構(gòu)造一個(gè)概率空間及其上的一個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列使得的分布函數(shù)為。解：有引理：設(shè)為0, 1上均勻分布的隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，且F(x)連續(xù)，那么是以F(x)為分布的隨機(jī)變量。所以可以假設(shè)有相互獨(dú)立的隨機(jī)變量服從u0, 1分布，另有分布，如果令，則有為服從分布的隨機(jī)變量。又由假設(shè)條件可知，隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，則其中任意有限個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為：再令，令F為所有柱集的代數(shù)，則由Kolmogorov定理可知，存在F上唯一的概率測(cè)度P使得：則所構(gòu)造的概率空間為(,F, P)。第八題：令是一列相互獨(dú)立且服從（正態(tài)分布）的隨

2、機(jī)變量。又令試證明：是下鞅（參見(jiàn)23題）。證明：欲證明為一個(gè)，只需證明其具有適應(yīng)性，可積性和下鞅性。適應(yīng)性顯然，下證其具有可積性和下鞅性。由題意：，從而我們有故可積性得證。下鞅性得證，從而證得為一個(gè)第二章第五題：設(shè)是一個(gè)鞅，而且。則必存在唯一的一個(gè)非降可積分的正隨機(jī)序列，使得，而且是一個(gè)鞅。證明：已知是一個(gè)鞅，在知是一個(gè)鞅的情況下，尋找，使得屬于，并且是非降可積分的正隨機(jī)序列利用命題2.2.（2）知是下鞅，再利用定理2.3即得證。第九題：設(shè)是相對(duì)于 的停時(shí)，令（）。試證明：1）是停時(shí)，而且 ()。2）與均屬于；3）對(duì)，有與。證明：1) 因?yàn)?，所以?duì)任意的，由于是停時(shí)，從而，所以是停時(shí)。且不難看

3、出()。 2) 即證且由于是停時(shí)，從而，所以，即。由于是停時(shí)，從而，又由知，所以，即。同理可證。3) 對(duì)，由于，即，又由上述有，從而，即。同理可證。第十三題：設(shè)是對(duì)稱(chēng)隨機(jī)徘徊（第一章例2）令，。試證明：對(duì)任意的，是停時(shí)，也是停時(shí)，而且其中表示過(guò)程從原點(diǎn)出發(fā)所對(duì)應(yīng)的概率測(cè)度。證明：（1）因此是一個(gè)停時(shí)；n是一個(gè)確定的時(shí)刻也是停時(shí)，由命題2.6得也是一個(gè)停時(shí)。（2）分析：對(duì)稱(chēng)隨機(jī)徘徊，則意味著向前或者向后的概率均為1/2，可以利用這個(gè)特性證明，也可以用鞅停時(shí)定理。 ，其中為第i步選擇向前走或者向后者，即=1（向前）或者-1（向后），概率均為1/2。為初始位置，這里的初始位置為0。因此，在任意時(shí)刻，

4、期望均為0。因此，可得 證明是鞅，即滿足鞅的兩條性質(zhì)。利用鞅的停時(shí)定理可得：，概率得證。第十四題：考慮上例中的情況，證明證明：當(dāng)時(shí)，這時(shí)不是對(duì)稱(chēng)隨機(jī)徘徊。設(shè)，是一個(gè)鞅。證明：因?yàn)?，?dú)立，上式；利用鞅停時(shí)定理，可得：得證。第十六題：設(shè)是一個(gè)鞅，是一列有界停時(shí)（即），則是一個(gè)鞅。證明：對(duì)這個(gè)題，可以利用停時(shí)定理的推論1。這里，我們?nèi)《▋蓚€(gè)停時(shí)分別為，。而且是一個(gè)鞅。則根據(jù)停時(shí)定理的推論1可得，而且是一個(gè)二項(xiàng)鞅。第十七題：設(shè)是一個(gè)有連續(xù)鞅，是一個(gè)非負(fù)凸函數(shù)，則對(duì)，。證明：由條件期望的Jensen不等式：可知：是右連續(xù)的下鞅。由命題2.2可知，是一個(gè)右連續(xù)的下鞅.由定理2.11，對(duì)于，有證畢。第二十二

5、題：設(shè)n,Fn;n1是一個(gè)鞅，而且supnE|n|<+；又已知存在某一個(gè)k1，使limnEnn+k-EnEn+k=0則n常數(shù)Cn。解：因?yàn)閚,Fn;n1是一個(gè)鞅，則有l(wèi)imnEnn+k-EnEn+k=limnEEnn+k|Fn-EnEn=limnEn2-En2=limnvarn=0由59頁(yè)推論1可以看出，因?yàn)閟upnEn<+，故n,a.e., 且?guī)缀跆幪幱邢?。以下證明var=0。因?yàn)镻n1E|n|1supnE|n|在時(shí)對(duì)于n一致的趨于0，所以n一致可積分，故n時(shí)，EnE=C。又因?yàn)閘imnEn2-En2=limnvarn=0，所以limnEn2=E2=C2.由n,a.e.易得n22

6、,a.e.，根據(jù)fatou引理，E2=Elimnn2limnEn2=E2=C2而由Jensen不等式又有E2E2，故只能E2=E2=C2，即var=0，n常數(shù)Cn。第二十六題：設(shè)是右連續(xù)下鞅，為二停時(shí)，試證明提示：考慮與。證明：由 知用停時(shí)定理的加強(qiáng)形式于右連續(xù)閉下鞅上有 不等式兩邊同時(shí)取期望，有即 ，等價(jià)于證明了題中要證的結(jié)論。第三章第二題：（二維隨機(jī)徘徊）設(shè)是全平面的整數(shù)格點(diǎn)，粒子每步可以向上下左右四方向之一走一步，各步運(yùn)動(dòng)間相互獨(dú)立且同分布：P（第n步向上移一步）=，P（第n步向下移一步）=P（第n步向左移一步）=P（第n步向右移一步）=1-，將粒子在第n步時(shí)的所在的位置記為，試證明是馬

7、氏鏈，并寫(xiě)出轉(zhuǎn)移函數(shù)。證明：定義相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列a1，a2，a3且同分布，其分布函數(shù)為Pa1=0,1=p1Pa1=0,-1=q1Pa1=-1,0=p2Pa1=1,0=q2=1-p2-p1-q1Pa1=其他=0從而，令=a1,a2,an,;aiS,i1，其中S=0,1,0,-1,-1,0,1,0。由Kolmogorov定理知，存在唯一的一個(gè)概率測(cè)度P，使得對(duì)一切k1,aiS的各種可能，下式成立：P=1,2,k,;i=ai,i=1,2,k=P1=a1,2=a2,k=ak令F是的全體柱集生成的代數(shù)，于是，若在，F(xiàn)，P上定義at,=t tz+，則可定義，F(xiàn)，P上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程a=at,;t=1,

8、2,再令0為已知且固定，n=k=1nak,+0，則=t,;t=0,1,2,也是，F(xiàn)，P上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。取Ft=u,;ut，顯然，對(duì)Ft;tT是適應(yīng)的。又Pn+1=jx,jy|0,1,n=ix,iy=Pan+1+n=jx,jy|0,1,n=ix,iy=Pan+1=jx,jy-ix,iy|0,1,n=ix,iy又由獨(dú)立性，得到Pn+1=jx,jy|0,1,n=ix,iy=Pan+1=jx,jy-ix,iy=Pan+1=jx,jy-n|n=ix,iy=Pn+1=jx,jy|n=ix,iy所以，n,n=0,1,是馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移函數(shù)為Pn+1=jx,jy|n=ix,iy=p1,當(dāng)jx,jy=ix,iy

9、+0,1q1,當(dāng)jx,jy=ix,iy+0,-1p2,當(dāng)jx,jy=ix,iy+-1,0q2,當(dāng)jx,jy=ix,iy+1,00,其他第三題：設(shè)某系統(tǒng)同時(shí)只能最多為一個(gè)顧客服務(wù)，如果在第n分鐘該系統(tǒng)有一個(gè)顧客在接受服務(wù)，它在第n+1分鐘前結(jié)束服務(wù)的概率是p，而且這是系統(tǒng)就在第n+1分鐘開(kāi)始為下一個(gè)等待著的顧客服務(wù)，又設(shè)在第n分鐘到第n+1分鐘之間到達(dá)的顧客總數(shù)服從以為參數(shù)的Poisson分布，（n=1,2，）相互獨(dú)立并與系統(tǒng)的服務(wù)獨(dú)立。令是在第n分時(shí)等待顧客與接受服務(wù)的顧客總數(shù)，試說(shuō)明是馬氏鏈，并求轉(zhuǎn)移概率。解：狀態(tài)空間，有：此即為所求轉(zhuǎn)移概率。第五題：試對(duì)本章例3、4求出它的非常返狀態(tài)類(lèi)與各

10、互通常返類(lèi)。解：例3的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：例4的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：對(duì)于例3，首先根據(jù)互通的傳遞性，如果，那么。可知，可把狀態(tài)分為以下三類(lèi)：?，F(xiàn)在來(lái)看：；即： 那么：同理：即：狀態(tài)0，是常返狀態(tài)?，F(xiàn)在考慮狀態(tài)1，如果1常返，則由和0常返知：，矛盾。所以1非常返，那么中的狀態(tài)都是非常返狀態(tài)。對(duì)于例4，由互通的傳遞性，可知，狀態(tài)都是互通的，即例4的Markov鏈?zhǔn)遣豢杉s的，而它又是有限狀態(tài)馬氏鏈，由定理知，它的狀態(tài)都是正常返的。第九題：設(shè)試判斷此鏈?zhǔn)欠袷浅７档摹?解：從轉(zhuǎn)移矩陣中可以看到，由于這個(gè)對(duì)于每個(gè)狀態(tài)都不能返回，所以所有狀態(tài)都是非常返態(tài)，即此鏈?zhǔn)欠浅７垫湣５谑}：設(shè)試將狀態(tài)分成互通等價(jià)類(lèi)，并求出各

11、類(lèi)的周期、常返性及L，P有不變測(cè)度嗎？如有，請(qǐng)求出全部不變測(cè)度。解：1. 互通等價(jià)類(lèi)：就是一個(gè)集合里面的元素可以互相到達(dá)所以只有一個(gè)類(lèi)0,1,2,32. 周期為1，就是求出所有從i到i的步的最大公約數(shù)，比如從0到0可以經(jīng)過(guò)2步，可以經(jīng)過(guò)3步，所以公約數(shù)為13. 常返性：只要證明 =所以該等價(jià)類(lèi)是常返類(lèi)4. P有不變測(cè)度求不全為零，使得P=，建立方程可以求得=1,0.5,0.6,0.4 只要不為零就成立5根據(jù)定理3.9 L=1可以求得第十一題：試證明狀態(tài)空間有限的馬氏鏈一定至少有一個(gè)常返狀態(tài)，且不可能有常返零狀態(tài)。證明：反證法假設(shè)此馬氏鏈全為非常返狀態(tài)。因?yàn)闋顟B(tài)有限，不妨令其為1,2,N。 1=

12、j=1Npij(n)0(n) (命題3.18)矛盾，假設(shè)不成立，此馬氏鏈至少有一個(gè)常返狀態(tài)。再假設(shè)存在零常返狀態(tài)。構(gòu)造C=j; ij)，則C為不可約且全為零常返。 1=jcpij(n)0(n) (定理3.17)矛盾，假設(shè)不成立。不可能有零常返狀態(tài)。證畢。第十二題：試證明一個(gè)馬氏鏈的不變測(cè)度若唯一，則一定有無(wú)窮多個(gè)。設(shè)試求出它的全部不變測(cè)度。證明：設(shè)因馬氏鏈的不變測(cè)度不唯一，不妨設(shè)與為該馬氏鏈的不變測(cè)度。根據(jù)不變測(cè)度的定義，可得：，則與的線性組合（不同時(shí)為0）也是該馬氏鏈的不變測(cè)度，因。因可取無(wú)窮多值，因此，馬氏鏈的不變測(cè)度有無(wú)窮多個(gè)。（2）根據(jù)不變測(cè)度的求解公式，可得：則：全部不變測(cè)度為：，（

13、）。第五十八題：設(shè)，則鏈?zhǔn)遣豢杉s常返鏈。再證它是正常返的充要條件是，這時(shí)平穩(wěn)分布為。證明：先證明它是不可約常返鏈。從這個(gè)鏈的轉(zhuǎn)移矩陣可以看出，所有狀態(tài)之間是互通的，從而這個(gè)鏈肯定不存在真的閉子集，從而這個(gè)鏈?zhǔn)遣豢杉s的。接下來(lái)再證明它是一個(gè)常返鏈，因?yàn)樗袪顟B(tài)之間是互通的，所以只需要證明一個(gè)狀態(tài)是常返的即可。我們來(lái)看一下?tīng)顟B(tài)1。從轉(zhuǎn)移矩陣可以得到，而且，所以狀態(tài)1是常返的。從而這個(gè)鏈?zhǔn)莻€(gè)不可約的常返鏈。接下來(lái)證明它是正常返的充要條件是。先來(lái)計(jì)算。，這個(gè)鏈?zhǔn)遣豢杉s常返鏈，所以它是個(gè)正常返的當(dāng)且僅當(dāng)。第六十四題：設(shè)為有零均值非零有限方差的獨(dú)立同分布，是非負(fù)整值隨機(jī)變量列，且滿足證明證明：不失一般性，假設(shè)令任取由題意可知，不等式右端第一項(xiàng)當(dāng)時(shí)趨于零.而第二項(xiàng)由Kolmogorov極大不等式估計(jì)這證明了因?yàn)橐婪植际諗坑贜(0,1)，由上式可得同樣依分布收斂于N(0,1).于是本題結(jié)論可得。第五章第一題：遵從1維Brown分布，當(dāng)且僅當(dāng)是鞅。證明：第二題：設(shè)是1維Brown運(yùn)動(dòng)，令，。求證：是鞅；是馬氏過(guò)程，其轉(zhuǎn)移密度是：而