錢敏平 龔光魯 隨機過程答案(部分)

1、隨機過程課后習(xí)題答案第一章第二題：已知一列一維分布，試構(gòu)造一個概率空間及其上的一個相互獨立的隨機變量序列使得的分布函數(shù)為。解：有引理：設(shè)為0, 1上均勻分布的隨機變量，F(xiàn)(x)為某一隨機變量的分布函數(shù)，且F(x)連續(xù)，那么是以F(x)為分布的隨機變量。所以可以假設(shè)有相互獨立的隨機變量服從u0, 1分布，另有分布，如果令，則有為服從分布的隨機變量。又由假設(shè)條件可知，隨機變量之間相互獨立，則其中任意有限個隨機變量的聯(lián)合分布為：再令，令F為所有柱集的代數(shù)，則由Kolmogorov定理可知，存在F上唯一的概率測度P使得：則所構(gòu)造的概率空間為(,F, P)。第八題：令是一列相互獨立且服從（正態(tài)分布）的隨

2、機變量。又令試證明：是下鞅（參見23題）。證明：欲證明為一個，只需證明其具有適應(yīng)性，可積性和下鞅性。適應(yīng)性顯然，下證其具有可積性和下鞅性。由題意：，從而我們有故可積性得證。下鞅性得證，從而證得為一個第二章第五題：設(shè)是一個鞅，而且。則必存在唯一的一個非降可積分的正隨機序列，使得，而且是一個鞅。證明：已知是一個鞅，在知是一個鞅的情況下，尋找，使得屬于，并且是非降可積分的正隨機序列利用命題2.2.（2）知是下鞅，再利用定理2.3即得證。第九題：設(shè)是相對于 的停時，令（）。試證明：1）是停時，而且 ()。2）與均屬于；3）對，有與。證明：1) 因為，所以對任意的，由于是停時，從而，所以是停時。且不難看

3、出()。 2) 即證且由于是停時，從而，所以，即。由于是停時，從而，又由知，所以，即。同理可證。3) 對，由于，即，又由上述有，從而，即。同理可證。第十三題：設(shè)是對稱隨機徘徊（第一章例2）令，。試證明：對任意的，是停時，也是停時，而且其中表示過程從原點出發(fā)所對應(yīng)的概率測度。證明：（1）因此是一個停時；n是一個確定的時刻也是停時，由命題2.6得也是一個停時。（2）分析：對稱隨機徘徊，則意味著向前或者向后的概率均為1/2，可以利用這個特性證明，也可以用鞅停時定理。 ，其中為第i步選擇向前走或者向后者，即=1（向前）或者-1（向后），概率均為1/2。為初始位置，這里的初始位置為0。因此，在任意時刻，

4、期望均為0。因此，可得 證明是鞅，即滿足鞅的兩條性質(zhì)。利用鞅的停時定理可得：，概率得證。第十四題：考慮上例中的情況，證明證明：當(dāng)時，這時不是對稱隨機徘徊。設(shè)，是一個鞅。證明：因為，獨立，上式；利用鞅停時定理，可得：得證。第十六題：設(shè)是一個鞅，是一列有界停時（即），則是一個鞅。證明：對這個題，可以利用停時定理的推論1。這里，我們?nèi)《▋蓚€停時分別為，。而且是一個鞅。則根據(jù)停時定理的推論1可得，而且是一個二項鞅。第十七題：設(shè)是一個有連續(xù)鞅，是一個非負(fù)凸函數(shù)，則對，。證明：由條件期望的Jensen不等式：可知：是右連續(xù)的下鞅。由命題2.2可知，是一個右連續(xù)的下鞅.由定理2.11，對于，有證畢。第二十二

5、題：設(shè)n,Fn;n1是一個鞅，而且supnE|n|<+；又已知存在某一個k1，使limnEnn+k-EnEn+k=0則n常數(shù)Cn。解：因為n,Fn;n1是一個鞅，則有l(wèi)imnEnn+k-EnEn+k=limnEEnn+k|Fn-EnEn=limnEn2-En2=limnvarn=0由59頁推論1可以看出，因為supnEn<+，故n,a.e., 且?guī)缀跆幪幱邢?。以下證明var=0。因為Pn1E|n|1supnE|n|在時對于n一致的趨于0，所以n一致可積分，故n時，EnE=C。又因為limnEn2-En2=limnvarn=0，所以limnEn2=E2=C2.由n,a.e.易得n22

6、,a.e.，根據(jù)fatou引理，E2=Elimnn2limnEn2=E2=C2而由Jensen不等式又有E2E2，故只能E2=E2=C2，即var=0，n常數(shù)Cn。第二十六題：設(shè)是右連續(xù)下鞅，為二停時，試證明提示：考慮與。證明：由 知用停時定理的加強形式于右連續(xù)閉下鞅上有 不等式兩邊同時取期望，有即 ，等價于證明了題中要證的結(jié)論。第三章第二題：（二維隨機徘徊）設(shè)是全平面的整數(shù)格點，粒子每步可以向上下左右四方向之一走一步，各步運動間相互獨立且同分布：P（第n步向上移一步）=，P（第n步向下移一步）=P（第n步向左移一步）=P（第n步向右移一步）=1-，將粒子在第n步時的所在的位置記為，試證明是馬

7、氏鏈，并寫出轉(zhuǎn)移函數(shù)。證明：定義相互獨立的隨機變量序列a1，a2，a3且同分布，其分布函數(shù)為Pa1=0,1=p1Pa1=0,-1=q1Pa1=-1,0=p2Pa1=1,0=q2=1-p2-p1-q1Pa1=其他=0從而，令=a1,a2,an,;aiS,i1，其中S=0,1,0,-1,-1,0,1,0。由Kolmogorov定理知，存在唯一的一個概率測度P，使得對一切k1,aiS的各種可能，下式成立：P=1,2,k,;i=ai,i=1,2,k=P1=a1,2=a2,k=ak令F是的全體柱集生成的代數(shù)，于是，若在，F(xiàn)，P上定義at,=t tz+，則可定義，F(xiàn)，P上的一個隨機過程a=at,;t=1,

8、2,再令0為已知且固定，n=k=1nak,+0，則=t,;t=0,1,2,也是，F(xiàn)，P上的一個隨機過程。取Ft=u,;ut，顯然，對Ft;tT是適應(yīng)的。又Pn+1=jx,jy|0,1,n=ix,iy=Pan+1+n=jx,jy|0,1,n=ix,iy=Pan+1=jx,jy-ix,iy|0,1,n=ix,iy又由獨立性，得到Pn+1=jx,jy|0,1,n=ix,iy=Pan+1=jx,jy-ix,iy=Pan+1=jx,jy-n|n=ix,iy=Pn+1=jx,jy|n=ix,iy所以，n,n=0,1,是馬氏鏈，其轉(zhuǎn)移函數(shù)為Pn+1=jx,jy|n=ix,iy=p1,當(dāng)jx,jy=ix,iy

9、+0,1q1,當(dāng)jx,jy=ix,iy+0,-1p2,當(dāng)jx,jy=ix,iy+-1,0q2,當(dāng)jx,jy=ix,iy+1,00,其他第三題：設(shè)某系統(tǒng)同時只能最多為一個顧客服務(wù)，如果在第n分鐘該系統(tǒng)有一個顧客在接受服務(wù)，它在第n+1分鐘前結(jié)束服務(wù)的概率是p，而且這是系統(tǒng)就在第n+1分鐘開始為下一個等待著的顧客服務(wù)，又設(shè)在第n分鐘到第n+1分鐘之間到達的顧客總數(shù)服從以為參數(shù)的Poisson分布，（n=1,2，）相互獨立并與系統(tǒng)的服務(wù)獨立。令是在第n分時等待顧客與接受服務(wù)的顧客總數(shù)，試說明是馬氏鏈，并求轉(zhuǎn)移概率。解：狀態(tài)空間，有：此即為所求轉(zhuǎn)移概率。第五題：試對本章例3、4求出它的非常返狀態(tài)類與各

10、互通常返類。解：例3的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：例4的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：對于例3，首先根據(jù)互通的傳遞性，如果，那么?？芍砂褷顟B(tài)分為以下三類：?，F(xiàn)在來看：；即： 那么：同理：即：狀態(tài)0，是常返狀態(tài)?，F(xiàn)在考慮狀態(tài)1，如果1常返，則由和0常返知：，矛盾。所以1非常返，那么中的狀態(tài)都是非常返狀態(tài)。對于例4，由互通的傳遞性，可知，狀態(tài)都是互通的，即例4的Markov鏈?zhǔn)遣豢杉s的，而它又是有限狀態(tài)馬氏鏈，由定理知，它的狀態(tài)都是正常返的。第九題：設(shè)試判斷此鏈?zhǔn)欠袷浅７档摹?解：從轉(zhuǎn)移矩陣中可以看到，由于這個對于每個狀態(tài)都不能返回，所以所有狀態(tài)都是非常返態(tài)，即此鏈?zhǔn)欠浅７垫湣５谑}：設(shè)試將狀態(tài)分成互通等價類，并求出各

11、類的周期、常返性及L，P有不變測度嗎？如有，請求出全部不變測度。解：1. 互通等價類：就是一個集合里面的元素可以互相到達所以只有一個類0,1,2,32. 周期為1，就是求出所有從i到i的步的最大公約數(shù)，比如從0到0可以經(jīng)過2步，可以經(jīng)過3步，所以公約數(shù)為13. 常返性：只要證明 =所以該等價類是常返類4. P有不變測度求不全為零，使得P=，建立方程可以求得=1,0.5,0.6,0.4 只要不為零就成立5根據(jù)定理3.9 L=1可以求得第十一題：試證明狀態(tài)空間有限的馬氏鏈一定至少有一個常返狀態(tài)，且不可能有常返零狀態(tài)。證明：反證法假設(shè)此馬氏鏈全為非常返狀態(tài)。因為狀態(tài)有限，不妨令其為1,2,N。 1=

12、j=1Npij(n)0(n) (命題3.18)矛盾，假設(shè)不成立，此馬氏鏈至少有一個常返狀態(tài)。再假設(shè)存在零常返狀態(tài)。構(gòu)造C=j; ij)，則C為不可約且全為零常返。 1=jcpij(n)0(n) (定理3.17)矛盾，假設(shè)不成立。不可能有零常返狀態(tài)。證畢。第十二題：試證明一個馬氏鏈的不變測度若唯一，則一定有無窮多個。設(shè)試求出它的全部不變測度。證明：設(shè)因馬氏鏈的不變測度不唯一，不妨設(shè)與為該馬氏鏈的不變測度。根據(jù)不變測度的定義，可得：，則與的線性組合（不同時為0）也是該馬氏鏈的不變測度，因。因可取無窮多值，因此，馬氏鏈的不變測度有無窮多個。（2）根據(jù)不變測度的求解公式，可得：則：全部不變測度為：，（

13、）。第五十八題：設(shè)，則鏈?zhǔn)遣豢杉s常返鏈。再證它是正常返的充要條件是，這時平穩(wěn)分布為。證明：先證明它是不可約常返鏈。從這個鏈的轉(zhuǎn)移矩陣可以看出，所有狀態(tài)之間是互通的，從而這個鏈肯定不存在真的閉子集，從而這個鏈?zhǔn)遣豢杉s的。接下來再證明它是一個常返鏈，因為所有狀態(tài)之間是互通的，所以只需要證明一個狀態(tài)是常返的即可。我們來看一下狀態(tài)1。從轉(zhuǎn)移矩陣可以得到，而且，所以狀態(tài)1是常返的。從而這個鏈?zhǔn)莻€不可約的常返鏈。接下來證明它是正常返的充要條件是。先來計算。，這個鏈?zhǔn)遣豢杉s常返鏈，所以它是個正常返的當(dāng)且僅當(dāng)。第六十四題：設(shè)為有零均值非零有限方差的獨立同分布，是非負(fù)整值隨機變量列，且滿足證明證明：不失一般性，假設(shè)令任取由題意可知，不等式右端第一項當(dāng)時趨于零.而第二項由Kolmogorov極大不等式估計這證明了因為依分布收斂于N(0,1)，由上式可得同樣依分布收斂于N(0,1).于是本題結(jié)論可得。第五章第一題：遵從1維Brown分布，當(dāng)且僅當(dāng)是鞅。證明：第二題：設(shè)是1維Brown運動，令，。求證：是鞅；是馬氏過程，其轉(zhuǎn)移密度是：而