高中數(shù)學(xué)淺談圓錐曲線中的張角問題專題輔導(dǎo)doc

1、高中數(shù)學(xué)淺談圓錐曲線中的張角問題沈春祥 圓錐曲線中的張角問題（特別是與焦半徑相關(guān)的問題）是解析幾何中的一個綜合性較強的重點內(nèi)容。下面從幾個方面談一談與焦半徑相關(guān)的張角問題的解題策略。一、曲線定義法 我們可以利用橢圓的定義（）或雙曲線的定義解求得所需結(jié)果。 例1. 橢圓上一點P與兩個焦點的張角，求證：F1PF2的面積為。圖1 證明： 式平方與式作差得： 所以二、特征圖象法 利用橢圓或雙曲線中a、b、c構(gòu)成的特征三角形解決問題，有時學(xué)生感到比較直觀、好用。 1. 如圖2，橢圓中，特征OF2B2，其三邊長分別為a、b、c，（e(0，1)）。圖2 2. 如圖3，雙曲線中，特征，其三邊長分別為a、b、c

2、，（e）。利用這種方法我們可以解決下面這類問題。圖3 例2. 已知雙曲線的離心率是2，求它的兩條漸近線的夾角。 解：， 所以 所以夾角為。三、正弦定理法 如果中出現(xiàn)兩個角，可以考慮應(yīng)用正弦定理。 例3. 已知橢圓上一點P及兩焦點，若，試求橢圓的離心率。圖4 解：由正弦定理有， 即 所以四、余弦定理法 如果在中僅知一個角，我們經(jīng)常要聯(lián)想到余弦定理解決問題。 例4. 已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，分別為左、右焦點，雙曲線的右支上有一點P，且的面積為，雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程。圖5 解：設(shè)雙曲線的方程為，。在PF1F2中，由余弦定理，得 ， 即 又因為 所以 所以 所以 即

3、又因為 所以 所以所求雙曲線方程為。五、到角公式法 有時角不是特殊角，用余弦定理比較復(fù)雜，可以考慮利用直線的角的公式來解。 例5. 若橢圓上有一點Q，到長軸兩端點A、B所成的張角AQB120°，試求離心率e的取值范圍。圖6 解：因為橢圓是關(guān)于x軸對稱的圖形，所以不妨設(shè)點Q在x軸上方， 即 則， 所以 所以 因為 所以。六、曲線交軌法 通過幾何圖形，找出適合題意的途徑解決問題。 例6. 橢圓的焦點為，點P為其上一個動點，當F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標的取值范圍。 解：以為直徑的圓上的點為Q時，于是P在以為直徑的圓的內(nèi)部，同時P在橢圓上。易知以為直徑的圓的方程為。 由 解得 即點Q橫坐標為。 所以點P橫坐標取值范圍是。七、平面向量法 利用以下結(jié)論，在中圖7 1. F1PF2為銳角； 2. F1PF2為直角； 3. F1PF2為鈍角。 有關(guān)角的問題可以用向量形式表示，再來求解。 例7. 已知曲線C的方程為，A（1，0），B（1，0），過點B的直線l與曲線C交于M，N兩點，若MAN為鈍角，求直線l的傾斜角為的取值范圍。 解：（1）若lx軸，則l的方程為 ， （不合題意）。 （2）若l與x軸重合，則MAN（不合題意）。 （