高中數(shù)學(xué)《等比數(shù)列》學(xué)案1 蘇教版必修5

1、2.3等比數(shù)列教材解讀（1）一、等比數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示解讀：1“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”；2公比等于從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，即或，分子分母的順序不能顛倒；3由等比數(shù)列的定義可得，等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不能為0，公比也不能為0，即等比數(shù)列排斥0；4如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，則此數(shù)列不是等比數(shù)列這時(shí)可以說此數(shù)列從第2項(xiàng)起或從第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列；5根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們可以判定一個(gè)數(shù)列是否是等比

2、數(shù)列，即只需看或是否為一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)在用判定時(shí)，條件是，不要誤認(rèn)為無法判斷，其實(shí)當(dāng)時(shí)，所以這種判定方法也是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩?、等比中?xiàng)定義：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)解讀：1滿足，即，解得，因此，只有兩個(gè)同號(hào)的數(shù)才有等比中項(xiàng)；2由等比中項(xiàng)的定義可知一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前后兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)，因此，利用等比中項(xiàng)的定義也能證明一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列，即證明三、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為（其中，與均不為）解讀：1已知等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可以求得數(shù)列中任意一項(xiàng)；2通項(xiàng)公式反映了之間的關(guān)系；3在已知等比數(shù)列中任意一

3、項(xiàng)及公比的前提下，使用也可求得等比數(shù)列中任意一項(xiàng)四、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a可以整理為，當(dāng)，且時(shí)，是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一群孤立的點(diǎn)同樣也可以把等比數(shù)列的通項(xiàng)公式視為定義域?yàn)榛蛩恼孀蛹系囊粋€(gè)類指數(shù)函數(shù)五、考查方式1考查定義：利用等比數(shù)列或等比中項(xiàng)的定義證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列2考查性質(zhì)：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解或簡(jiǎn)化計(jì)算過程3計(jì)算問題：（1）求中的量，可根據(jù)通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程（組）求解，求解原則為“知三求二”；（2）與等差數(shù)列的綜合問題；（3）遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng)公式問題；（4）應(yīng)用

4、問題例在等比數(shù)列中，且，則的值為_解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為途徑一：依題意得解得途徑二：， ，下同途徑一途徑三：數(shù)列是等比數(shù)列，途徑四：設(shè)，則數(shù)列是等差數(shù)列，其中，故評(píng)注：途徑一是常規(guī)解法，利用了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；途徑二直接利用了性質(zhì)；途徑三綜合利用了性質(zhì)；途徑四利用了與等差數(shù)列有關(guān)的性質(zhì)由此可以看出，在解決等比數(shù)列問題時(shí)，抓住性質(zhì)可以快速、巧妙的進(jìn)行求解高中蘇教數(shù)學(xué)2.3等比數(shù)列教材解讀（2）一、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為解讀：1當(dāng)時(shí)，求和公式有兩種形式，要注意它們的適用情況；2等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可視為分段函數(shù)，在解答相關(guān)含參數(shù)數(shù)列求和時(shí)，的情形往往被忽略，這一點(diǎn)請(qǐng)同學(xué)們謹(jǐn)

5、記；3我們不但要記住前項(xiàng)和公式，還要弄清前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程二、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和1當(dāng)時(shí)，可以看作（是不為的常數(shù)），特點(diǎn)為的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù)，根據(jù)這一點(diǎn)我們可以利用待定系數(shù)法求等比數(shù)列的前項(xiàng)和；2，（）成等比數(shù)列，公比為；3當(dāng)時(shí)，（注：）三、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)課本中用兩種方法推導(dǎo)了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，我們要掌握如何巧妙地運(yùn)用等比數(shù)列的定義或性質(zhì)推出其前項(xiàng)和公式下面我們用另外兩種方法來推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式1等比定理法若，則；若，由等比數(shù)列的定義知，所以，即，解得當(dāng)時(shí)，也適合此式故2恒等變形法當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故四、考查方式1考查性質(zhì)等比數(shù)列的前項(xiàng)和的三個(gè)性質(zhì)都是考查的熱點(diǎn)2計(jì)算問題（1）等比數(shù)列有，五個(gè)基本量，根據(jù)通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式可列兩個(gè)方程，因此，這五個(gè)量可“知三求二”；（2）與等差數(shù)列的綜合問題例記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則公比_解法一：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則有解得解法二：數(shù)列是等比數(shù)列，可設(shè)，依題意，得解得解法三：數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列，是等比數(shù)列，公比為，解