傳染病的隨機感染模型

1、傳染病的隨機感染模型問題提出人群中有病人（帶菌者）和健康人（易感染者），任何兩人之間的接觸是隨機的，當健康人和病人接觸時健康人是否被感染也是隨機的。如果通過實際數(shù)據(jù)或經驗掌握了這些隨機規(guī)律，那么怎么樣估計平均每天有多少健康人被感染，這種估計的準確性有多大？模型假設我們不對傳染病的感染機理和人群的接觸狀況做具體分析，而提出如下的一般化假設：1. 人群只分析任何健康人兩類，病人數(shù)和健康人數(shù)分別記為i和s，總數(shù)n不變，即： i+s=n2. 人群中任何二人的接觸是相互獨立的，具有相同的概率，每人每天平均與m人接觸。3. 當健康人與一病人接觸是，健康人被感染的概率為。這里涉及到4個獨立參數(shù)n、i、m、。

2、其中n和i通常是知道的，m和也可以根據(jù)數(shù)據(jù)或經驗獲得。模型分析建模的目的是尋找健康人中每天平均被感染的人數(shù)與已知參數(shù)n、i、m、的關系，為此顯然只需知道一健康人每天被感染的概率，而健康人只要至少被一名病人接觸并感染，這個健康人即被感染，所以先要求出一健康人被一名指定病人接觸并感染的概率。這個概率可由一健康人被一名指定病人接觸的概率乘以接觸時感染的概率得到。模型構成記假設2中任何兩人接觸的概率為p，這就是一健康人與一名指定病人接觸的概率。由兩兩接觸的相互獨立性，一健康人每天接觸的人數(shù)服從二項分布，根據(jù)假設2這個分布的平均值是m，利用二項分布的基本性質并注意到人群總數(shù)為n，我們有 （1）于是 （2

3、）再記一健康人被一名指定病人接觸并感染的概率為，則由假設3及（2）式得 （3）為求出一健康人每天被感染的概率(也就是至少被一個病人感染的概率)，我們利用概率論中常用的計算對立事件概率的方法得 （4） 健康人被感染 的人數(shù)也服從二項分布，其平均值，即健康人每天平均被感染人數(shù)，顯然為(并利用（1）式) （5）均方差為 （6）為了得到簡明的便于解釋的結果，需對（4）式進行簡化。因為通常，?。?）式右端展開級數(shù)的前兩項， （7） 最后得到 （8） （9）（8）式給出了健康人每天平均被感染人數(shù)和n、i、m、的關系，（9）式可看作對平均值的相對誤差的度量。模型解釋由（8）式可以看出，健康人每天平均被感染的

4、人數(shù)與人群中每人每天平均接觸的人數(shù)m以及接觸時被感染的概率成正比，并且隨著人群總數(shù)n增加而增加，這都符合常識的。至于與病人數(shù)i的關系，（8）式表明當i很小或很大（甚至接近n）時都很小，而當時最大，這個結果合理嗎？思考！為了有一個直觀的了解，給出幾組數(shù)字結果。設，對于不同的i，計算和，見下表：i與、的計算結果i0.1n0.05n0.01n0.18n0.95n0.0198n隨著i的增加，增加而相對誤差減少；當固定而n變大時，也減少。比如當i=0.05n, n=10000時能以95%的置信區(qū)間給出，每天平均被感染的人數(shù)為950，相對誤差約為6%左右。評注 這個模型完全建立在對于人群之間的接觸、感染這樣一些隨機事件的概率假設的基礎上，雖然