二重積分單獨講解

1、第九章 重積分與定積分類似，二重積分的概念也是從實踐中抽象出來的，它是定積分的推廣，其中的數(shù)學(xué)思想與定積分一樣，也是一種“和式的極限” 所不同的是：定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是一個區(qū)間；而重積分的被積函數(shù)是二元函數(shù)或三元函數(shù)，積分范圍是平面上的一個區(qū)域或空間中的一個區(qū)域 它們之間存在著密切的聯(lián)系，重積分可以通過定積分來計算第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)本節(jié)主要內(nèi)容1 引例2 二重積分的概念3 二重積分的性質(zhì)講解提綱：一、引例引例1 求曲頂柱體的體積設(shè)有曲頂柱體，它的底是面上的閉區(qū)域，側(cè)面是以的邊界曲線為準線而母線平行于軸的柱面，頂是曲面，這里且在上連續(xù)，求其體積引例2 求非均勻平面薄片

2、的質(zhì)量設(shè)有一平面薄片占有面上的閉區(qū)域，它在點處的面密度為，這里且在上連續(xù)，求薄片的質(zhì)量 二、二重積分的定義：設(shè)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)將閉區(qū)域任意分成個小閉區(qū)域：，以表示第個小閉區(qū)域的面積，以表示的直徑，并令在每個上任取一點，作和式：如果當(dāng)時，該積分和的極限存在，則稱此極限值為在區(qū)域D上的二重積分，記作，即其中稱為被積函數(shù)，稱為積分表達式，稱為面積元素，稱為積分變量，稱為積分區(qū)域 三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)，為常數(shù)，則性質(zhì)2 如果閉區(qū)域被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和例如分為兩個閉區(qū)域與，則 這個性質(zhì)表示二重積分對于積分區(qū)域具有可加性 性質(zhì)

3、3 如果閉區(qū)域上，為的面積，則 性質(zhì)4 設(shè)在有，則性質(zhì)5 設(shè)、分別是在閉區(qū)域上的最大值和最小值，為的面積，則有 性質(zhì)6（中值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，則在上至少存在一點，使 例題選講： 例1 不作計算估計的值，其中是圓域：解： D 的面積為由于，故 例2估計二重積分的值， 其中積分區(qū)域為閉區(qū)域（如右圖）解： D 的面積為由于，故，即例3 判斷的符號（）解當(dāng)時，故又當(dāng)時，于是例4 積分有怎樣的符號，其中 解： 把積分域分為，如右圖：則原式例5 比較積分與的大小，其中D是圓域： 解： 積分域的邊界為圓周：，它與軸交于點，與直線相切，而域位于直線的上方， 故在上，從而課堂練習(xí)1將二重積分

4、定義與定積分定義進行比較， 找出它們的相同之處與不同之處2試用二重積分表示極限第二節(jié) 二重積分的計算本節(jié)主要內(nèi)容1利用直角坐標系計算二重積分2利用極坐標系計算二重積分講解提綱： 一、利用直角坐標系計算二重積分對型區(qū)域：，有；對型區(qū)域：，有注：（1）有的情況下積分區(qū)域既是型區(qū)域又是型區(qū)域（如右圖），不妨設(shè)為，則為計算方便，可以選擇積分次序，在必要時也可交換積分次序 （2）若積分區(qū)域較復(fù)雜，可將其分成若干個互不相交的型區(qū)域或型區(qū)域如右圖中：，則有 （3）利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對稱性，常會大大化簡二重積分的計算 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，且關(guān)于軸對稱，位于軸上方的部分記為，則在上 若，則；

5、 若，則當(dāng)區(qū)域關(guān)于軸對稱，函數(shù)關(guān)于變量有奇偶性時有類似的結(jié)果在利用這種方法時，要同時兼顧到被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域D的對稱性兩方面例題選講： 例計算其中D是(1) 由直線及所圍成的閉區(qū)域；(2) 由拋物線和直線所圍成的閉區(qū)域解：（）解法1 將D看作X型區(qū)域， 則于是，解法2 將D看作Y型區(qū)域， 則于是，（） 為計算簡便，先對 x 后對 y 積分，則于是，例2 計算， 其中是直線和所圍成的閉區(qū)域解： D既是X型區(qū)域，又是Y型區(qū)域， 顯然利用X型區(qū)域做法簡單，于是例3 求其中D為分析：當(dāng)被積函數(shù)中有絕對值時，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對值符號將分為兩部分和解：例求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱

6、面所圍成的立體的體積解：設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為：和利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性，只須求出它在第一卦限部分的體積，然后再乘以8就行了由于，于是，從而，所求立體的體積為例 交換下列二次積分的積分次序（1）；解：，故原式（2）解： 積分域由兩部分組成：和將視為Y型區(qū)域 ， 則，于是，例6 證明：證明：例7 計算其中積分區(qū)域由曲線與所圍成解：令，（如圖所示）顯然在上，；在上，于是， 二、利用極坐標系計算二重積分有些二重積分，其積分區(qū)域的邊界曲線用極坐標方程來表示比較簡單，如圓形或扇形區(qū)域的邊界等 此時，如果該積分的被積函數(shù)在極坐標系下也有比較簡單的形式，則應(yīng)考慮用極坐標來計算這個二重積分 極坐標系

7、下的面積微元為 ，直角坐標與極坐標之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 從而就得到在直角坐標系與極坐標系下二重積分轉(zhuǎn)換公式：若積分區(qū)域可表示成：，則有 特別地，若積分區(qū)域可以表示成： ，則例題選講：例1 化下列積分為極坐標形式的二次積分（1）； （2）解：略例2 計算其中是由圓所圍成的區(qū)域解： 在極坐標系下，故原式注：由于的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故本題無法用直角坐標計算例3 計算， 其中積分區(qū)域是由所確定的圓環(huán)域解：由對稱性，可只考慮第一象限部分由被積函數(shù)的對稱性，得到 例4求，其中解：的邊界曲線化為極坐標方程的，極點在邊界上，令，由得，從而：，則例5 ,是由軸和軸所圍的半圓形區(qū)域解：，于是，例15計算，其中為曲線

8、 及直線 所圍成的平面閉區(qū)域解：因為，所以，課堂練習(xí)1. 變換下列二次積分的次序：2. 計算 其中D由及y軸所圍3 計算二次積分4 計算，其中 第三節(jié) 三重積分的概念及其計算法本節(jié)主要內(nèi)容1三重積分的定義2利用直角坐標計算三重積分3利用柱面坐標計算三重積分4利用球面坐標計算三重積分講解提綱： 一、三重積分的定義：與二重積分的定義相仿，我們來定義三重積分背景：空間一非均勻物體的質(zhì)量定義：設(shè)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，把任意分成個小閉區(qū)域，其中表示第個小閉區(qū)域的體積在每個上任取一點（），作和式若當(dāng)時，該和式的極限存在，就稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分，記為，即，其中稱為體積元素，其它的記號類

9、似二重積分在直角坐標系中，如果用平行于三個坐標面的三族平面來劃分，則有，進而，于是三重積分記作： ，其中為直角坐標系中的體積元素當(dāng)1時，設(shè)積分區(qū)域的體積為，則， (42)這個公式的物理意義是：密度為1 的均質(zhì)立體的質(zhì)量在數(shù)值上等于的體積 二、利用直角坐標系計算三重積分 方法一 ： 投影法（“先一后二法”） 積分區(qū)域可表示為：，其中是在面上的投影，則 ； 方法二 ： 截面法（“先二后一法”） 積分區(qū)域可表示為：，其中是平面截積分區(qū)域所得的平面閉區(qū)域，則 方法三 ： 三次積分法 將投影法中的二重積分化為二次積分即可，即積分區(qū)域可表示為：，則注：利用對稱性同樣可以化簡三重積分計算一般地，如果積分區(qū)域

10、關(guān)于平面對稱，且被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)， 則三重積分為零； 如果被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)， 則三重積分為在平面上方的半個閉區(qū)域的三重積分的兩倍 當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于或平面對稱時，也有完全類似的結(jié)果例題選講：例計算三重積分 其中為三個坐標面與平面所圍成的閉區(qū)域解：積分區(qū)域可表示為：于是，例2計算三重積分，其中解： ， 例3求積分 其中由， 所圍分析：若用“先二后一”， 則有 計算較繁！采用“三次積分”較好解： 所圍，故可表為，故奇函數(shù)例計算 ，其中提示： 利用對稱性，則原式 = 三、利用柱面坐標系三計算重積分設(shè)點的直角坐標為，柱面坐標為，則 ；柱面坐標系中的三族坐標面分別為 常數(shù)：以軸為中心軸的圓柱面；

11、常數(shù)：過軸的半平面；常數(shù)：與面平行的平面柱面坐標系中的體積微元： ，因此其中注：柱面坐標解三重積分適用的范圍：（1） 積分域用柱面坐標表示時方程簡單；（2） 被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量相互分離 四、利用球面坐標系計算三重積分點的直角坐標與柱面坐標之間的關(guān)系為；球面坐標系中的三族坐標面分別為 常數(shù)：以原點為球心的球面；常數(shù)：以原點為頂點，軸為對稱軸的圓錐面；常數(shù)：過軸的半平面球面坐標系中的體積微元： ，因此，其中例題選講： 例計算三重積分，其中是由柱面與平面所圍成的半圓柱體解： 在柱面坐標系下，于是原式例 計算， 其中是拋物面和平面所圍成，其中解： 在柱面坐標系下：，故原式 = 例計算三重積分

12、 其中是由與所圍解： 在球面坐標系下，于是 例 計算其中是錐面與上半球面所圍的立體解： 在球面坐標系下，于是，課堂練習(xí)1設(shè)由六個平面 圍成的閉區(qū)域， 試將化為三次積分2計算其中是由曲面所圍成的立體區(qū)域3計算三重積分其中為上半球體： 第四節(jié) 重積分的應(yīng)用本節(jié)主要內(nèi)容1 立體體積2 曲面面積3 物體的質(zhì)心4 物體的轉(zhuǎn)動慣量5 物體的引力講解提綱：一、立體體積曲頂柱體的頂為光滑曲面，且，則曲頂柱體的體積為 ；占有空間有界域的立體的體積為 二、曲面的面積空間連續(xù)曲面且，設(shè)曲面的面積為，則 ；同理可給出若連續(xù)曲面的方程分別為或時的曲面面積公式若光滑曲面的方程為隱式，且，則曲面面積為 三、物體的質(zhì)心1平面

13、薄片的質(zhì)心設(shè)有一平面薄片，占有面上的閉區(qū)域，在點處的面密度為，假定在上連續(xù)，則該薄片的質(zhì)心坐標為 ， 2空間物體的質(zhì)心設(shè)有一空間物體，占有空間有界閉區(qū)域、在點處的密度為（假設(shè)在上連續(xù)），則物體的質(zhì)心坐標為 ， ， 其中，為該物體的質(zhì)量四、物體的轉(zhuǎn)動慣量1 平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量有一平面薄片，則其對于軸的轉(zhuǎn)動慣量、關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量及關(guān)于原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為： ， ， 2空間物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)有一空間物體，則物體關(guān)于三坐標軸及原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為 ， 五、物體的引力1 平面薄片對其外一點處單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力平面薄片外一點處有一單位質(zhì)量的質(zhì)點，設(shè)物體對質(zhì)點的引力為，則其中 ， 為引力常數(shù)，2 空間物體對

14、其外一點處單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力在空間物體外一點處有一單位質(zhì)量的物體，則物體對于質(zhì)點的引力為其中例題選講：立體的體積例1 求半徑為a 的球面與半頂角為a 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積解： 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為，于是立體的體積為例2計算上任一點的切平面與曲面所圍立體體積解： 曲面在點處的切平面方程為：，它與曲面的交線在xoy面上的投影為（記所圍域為D），故（）曲面的面積例3 計算雙曲拋物面被柱面所截出的面積解： 曲面在 xoy 面上投影為，則例4 計算半徑為的球的表面積解：方法1 利用球面坐標設(shè)球面方程為：，則球面面積元素為，于是，方法2 利用直角坐標方程 (見書 P109)物體的質(zhì)心例

15、 求位于兩圓與之間的均勻薄片的質(zhì)心解： 利用對稱性可知；而例求半球形的形心解：由對稱性知：，物體的轉(zhuǎn)動慣量例求半徑為的圓盤（密度為）對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量和對直徑的轉(zhuǎn)動慣量 解：，由對稱性知，而，故例設(shè)一均勻的直角三角形薄板（面密度為常量），兩直角邊長分別為，求這三角形對其中任一直角邊的轉(zhuǎn)動慣量解：設(shè)三角形的兩直角邊分別在軸和軸上，如圖所示 對軸的轉(zhuǎn)動慣量為： 同理對軸的轉(zhuǎn)動慣量為：例 求半徑為的球體（密度為）對直徑的轉(zhuǎn)動慣量 解： 物體的引力例 求面密度為常量、半徑為的均勻圓形薄片： 對位于軸上的點處的單位質(zhì)點的引力解： 由對稱性知引力，于是，例1設(shè)半徑為的勻質(zhì)球(其密度為常數(shù))占有空間區(qū)域求它

16、對位于處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力解： 利用對稱性知引力分量，課堂練習(xí)1 求球體被圓柱面 所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積2 求均勻半球體的質(zhì)心3 求密度為的均勻球體對于過球心的一條軸的轉(zhuǎn)動慣量4 設(shè)半徑為1的半圓形薄片上各點處的面密度等于該點到圓心的距離， 求此半圓的重心坐標及關(guān)于x軸(直徑邊)的轉(zhuǎn)動慣量第五節(jié) 含參變量的積分本節(jié)主要內(nèi)容被積函數(shù)含參變量的積分積分限含參變量的積分內(nèi)容要點：一、 被積函數(shù)含參變量的積分1 定義設(shè)函數(shù)是矩形區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) 則積分定義了一個在上的函數(shù)，記為其中記為參變量，上式稱為含參變量積分2 含參變量積分的性質(zhì)連續(xù)性、可積性、可微性定理1（連續(xù)性） 若函數(shù)在

17、矩形上連續(xù)， 由積分 確定的函數(shù)在上也連續(xù)定理2（可積性） 若函數(shù)在矩形區(qū)域上連續(xù)， 則 上式也可寫成 定理3（可微性）如果函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形區(qū)域上連續(xù)，那么含參積分函數(shù)在上可微分，并且 二、 積分限含參變量的積分 1 定義設(shè)函數(shù)是在上的連續(xù)函數(shù) 則也是參變量的函數(shù)2 含參變量積分的性質(zhì)連續(xù)性、可微性 定理3設(shè)函數(shù)是在上的連續(xù)函數(shù)， 其中函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)， 則 在上也連續(xù) 定理4 如果函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形區(qū)域上連續(xù)， 又函數(shù)與在區(qū)間上可微， 并且 則上可微， 并且例題選講：例1 求解：由被積函數(shù)的特點想到積分： ，于是，例2 計算定積分解：考慮含參變量 t 的積分所確定的函數(shù)：，顯然， ，由于 故 ，因此得，例3設(shè) 求解： 本