微積分劉迎東習(xí)題答案

1、10.1 第一型曲線積分習(xí)題10.11. 設(shè)在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線弧，在點處它的線密度為。用第一型曲線積分分別表達（1） 這曲線弧對軸、對軸的轉(zhuǎn)動慣量解：（2） 這曲線弧的質(zhì)心坐標(biāo)解：2. 計算下列第一型曲線積分：（1）其中為圓周解：（2）其中為連接及兩點的直線段。解：（3）其中為由直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界。解：（4）其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界。解：（5）其中為曲線上相應(yīng)于從變到的這段弧。解：（6）其中為折線，此處依次為點解：所以(7) 其中為擺線的一拱解：（8）其中為曲線解：(9) 其中為曲線解：(10) 其中為圓周解： (11) 其中為由三點所連接

2、的閉折線。解： （12）其中為螺旋線解：（13）其中為拋物線自點到點的一段；解：（14）其中為內(nèi)擺線的弧；解：（15）其中為圓周解：3. 求半徑為的半圓形金屬絲（設(shè)線密度為常數(shù)）對位于圓心的質(zhì)點（設(shè)質(zhì)量為）的引力。解：設(shè)圓心為原點，金屬絲占據(jù)上半圓周。則4. 求物質(zhì)曲線的質(zhì)量，其線密度解：5. 求半徑為，中心角為的均勻圓?。ň€密度）的質(zhì)心。解：設(shè)圓心在原點，關(guān)于軸對稱，則；6. 設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為其中，它的線密度。求（1） 它關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量（2） 它的質(zhì)心。解：（1）（2）10.2 第二型曲線積分習(xí)題10.21. 設(shè)為面內(nèi)直線上的一段。證明：證明：設(shè)則2. 設(shè)為面內(nèi)軸上從點到點的一段直

3、線。證明：證明：則3. 計算下列第二型曲線積分：（1）其中為拋物線上從點到點的一段弧；解：（2）其中為圓周及軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界（按逆時針方向繞行）；解：圓周的參數(shù)方程為所以（3）其中為圓周上對應(yīng)從到的一段?。唤猓海?）其中為圓周（按逆時針方向繞行）；解：（5）其中為曲線上對應(yīng)從到的一段弧；解：(6) 其中為從點到點的一段直線；解：（7）其中為有向閉折線，此處依次為點解：（8）其中為拋物線上從點到點的一段?。唤猓海?）其中為沿逆時針一周；解：(10) 其中為如圖10.8由點到點的四條不同的路徑；解：（11）其中為如圖10.9的三角形；解：（12）其中為用平面截球面所得的截痕，

4、從軸的正向看去，沿逆時針方向；解：（13）其中為曲線上由到的一段??；解：4. 計算其中為由點到點的下列四條不同路徑：（1） 直線解：（2） 拋物線解：（3） 拋物線解：（4） 立方拋物線解：5. 計算其中分別為下列兩種情形：（1） 連接的直線段。解：（2） 連接的折線段。解：6. 計算其中分別為下列兩種情形：（1）連接的直線段。解：（2）連接的折線段。解：7. 計算其中為以為頂點的正方形閉路。解：8. 計算其中為星形線在第一象限中自點到的一段。解：9. 計算其中為依參數(shù)增加方向進行的曲線：解：10. 計算其中，分別為下列兩種情形：（1）自到的直線段；（2）由直到的折線段。解：(1) (2)11

5、. 計算其中為球面在第一卦限部分的邊界線由點至再至的一段。解：12. 彈性力的方向向著坐標(biāo)原點，力的大小與質(zhì)點到坐標(biāo)原點的距離成正比。設(shè)質(zhì)點在力作用下沿橢圓依逆時針方向運動一周，求彈性力做的功。解：13. 計算其中為圓周其方向為從軸正向看去，這圓周是沿逆時針方向進行的。解：14. 設(shè)在光滑曲線上連續(xù)。試證下面的估計式：其中為積分路徑的長度，證明：15. 計算其中分別為（1） 拋物線上從點到點的一段弧；解：（2） 從點到點的直線段；解：（3） 先沿直線從點到點，然后再沿直線到點的折線；解：（4） 曲線上從點到點的一段?。唤猓?16. 一力場由沿橫軸正方向的恒力所構(gòu)成。試求當(dāng)一質(zhì)量為的質(zhì)點沿圓周按

6、逆時針方向移過位于第一象限的那一段弧時場力所做的功。解：17. 設(shè)軸與重力的方向一致，求質(zhì)量為的質(zhì)點從位置沿直線移到時重力所做的功。解：，18. 把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中為(1) 在面內(nèi)沿直線從點到點；解：(2) 沿拋物線從點到點；解：(3) 沿上半圓周從點到點；解：19. 設(shè)為曲線上相應(yīng)于從變到的曲線弧。把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線積分。解：切向量為，單位化為所以10.3 格林公式及其應(yīng)用習(xí)題10.31. 計算下列曲線積分，并驗證格林公式的正確性：（1）其中為由拋物線和所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線；解：（2）其中為由四個頂點分別為和的正方形區(qū)域的正向邊界；解：2. 利

7、用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：（1） 星形線 （2） 橢圓 （3） 圓 （4） 橢圓 （5） 雙紐線 3. 計算曲線積分其中為圓周的方向為逆時針方向。解：，所以取則有4. 計算下列曲線積分：（1）其中為擺線上對應(yīng)從到的一段弧。解：設(shè)直線段，則（2）其中為上半圓周沿逆時針方向。解：設(shè)直線段，則5. 證明下列曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值：（1）解：易得，所以曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)，(2) 解：易得，所以曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)，（3）解：易得，所以曲線積分在整個面內(nèi)與路徑無關(guān)，6. 利用格林公式，計算下列曲線積分：（1）其中為三頂點分別為和的三角形正向邊界；解：

8、(2) 其中為正向星形線解：(3) 其中為在拋物線上由點到的一段弧；解：記（4）其中為在圓周上由點到點的一段弧；解：記(5) 其中為橢圓解： (6) 其中為圓周解： (7) 其中為的邊界，其中解： （8）其中為區(qū)域與的邊界；解： (9) 其中為區(qū)域與的邊界；解： (10) 其中為由點經(jīng)至的上半圓周解：令，則 7. 設(shè)一變力為這變力確定了一個力場。證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所做的功與路徑無關(guān)。證明：易得所以結(jié)論成立。8. 計算曲線積分其中，為任意的逐段光滑的曲線。解：易得，所以9. 設(shè)是以逐段光滑曲線為邊界的平面有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則有關(guān)系式其中為曲線的外法向量的方向余弦。此公式是

9、格林公式的另一種形式。證明：設(shè)正方向切向量為，則，于是10. 曲線積分是否與路徑無關(guān)？若與路徑無關(guān)，求其原函數(shù)。并計算由點到的曲線上的積分。解：易得所以積分與路徑無關(guān)。11. 設(shè)為封閉曲線，為任一固定的方向，則有其中為的外法線單位法向量。證明：設(shè)，則12. 計算曲線積分其中為封閉曲線，為它的外法線方向。解：為曲線包圍的面積。13. 證明：在整個平面除去的負半軸及原點的區(qū)域內(nèi)是某個二元函數(shù)的全微分，并求出一個這樣的二元函數(shù)。證明：易得結(jié)論成立。14. 設(shè)在半平面內(nèi)有力構(gòu)成力場，其中為常數(shù)，。證明：在此力場中場力所做的功與所取的路徑無關(guān)。證明：，所以結(jié)論成立。15. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是

10、上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點為，終點為。記（1） 證明曲線積分與路徑無關(guān)；（2） 當(dāng)時，求的值。（1） 證明：設(shè)則，所以曲線積分與路徑無關(guān)；（2）16.驗證下列在整個平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，并求這樣的一個：（1）解：。（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：17.設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為這變力確定了一個力場。證明質(zhì)點在此場內(nèi)移動時，場力所做的功與路徑無關(guān)。證明：所以結(jié)論成立。18.判別下列方程中哪些是全微分方程？對于全微分方程，求出它的通解：（1）解：（2）為常數(shù)）。解：（3）解：（4）解：（5）解：(6) 解：不是全微分方程。（7）解：。(8) 解：不是全微分方程。19.確定常

11、數(shù)，使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度，并求。解：可解得由積分得再由得所以20.設(shè)在閉區(qū)域上都具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，分段光滑的曲線為的正向邊界曲線。證明：（1）其中為的外法向的方向?qū)?shù)。（2）（3）(4)其中其中分別為沿的外法線向量的方向?qū)?shù)，符號稱作二維拉普拉斯算子。證明:（1）（2），所以（3）相減即得（4）21.設(shè)在有界閉區(qū)域上調(diào)和，即且在上滿足拉普拉斯方程。證明(1)其中為的邊界，為的外法線方向；（2）若在上取值為零，則在上恒為零。證明：（1）（2）所以，為常數(shù)，又因為邊界上為零，所以在上恒為零。10.4 第一型曲面積分習(xí)題10.41. 設(shè)有一分布著質(zhì)量的曲面，在點處它的面密度為，用

12、第一型曲面積分表示這曲面對于軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：2. 計算曲面積分其中為拋物面在面上方的部分，分別如下：（1）解：(2) 解：(3) 解：3. 計算其中為（1） 錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面；解：（2） 錐面被平面和所截得的部分；解：4. 計算下列對面積的曲面積分：（1）其中為平面在第一卦限中的部分；解：（2）其中為平面在第一卦限中的部分；解：（3）其中為球面上的部分；解：（4）其中為界于平面及之間的圓柱面解：另一解法：（5）其中為由平面及三個坐標(biāo)平面所圍成四面體的整個邊界。解：5. 求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的面密度為。解：6. 求面密度為的均勻半球殼關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量。7. 求均勻曲面的質(zhì)

13、心的坐標(biāo)。解：8. 計算其中為螺旋面解：所以9. 計算其中為圓錐表面的一部分，其中為常數(shù)解：所以10. 求一段均勻圓柱面與對原點處單位質(zhì)量的引力（面密度）。解：10.5 第二型曲面積分習(xí)題10.51. 設(shè)流體速度場為常數(shù)），一半徑為的球面球心在原點。求流體從球面內(nèi)部流出的流量。解：2. 設(shè)流體速度場求單位時間內(nèi)流過曲面其中）的流量，曲面的法向量與軸的夾角為鈍角（圖10.28）。解：3. 設(shè)向量場求，其中由和組成（圖10.29），為側(cè)的單位法向量。解：4. 同3題，設(shè)向量場求其中由和組成，為側(cè)的單位法向量。解：5. 計算下列第二型曲面積分：（1）其中為球面的下半部分的下側(cè)；解：（2）其中為柱面被

14、平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；解：（3）其中為連續(xù)函數(shù)，為平面在第四卦限部分的上側(cè)；解：（4）其中為平面所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)；解：（5）其中為曲面的下側(cè)；解：（6）其中，為球面的外側(cè)；解：（7）其中為球面的外側(cè)；解：（8）其中為錐面及平面所圍立體的整個邊界之外側(cè)；解：(9) 其中為橢球面的外側(cè)；解：由輪換對稱性，得(10) 其中為柱面被平面及所截部分的外側(cè)；解：（11）其中為圓錐面的外表面；解：（12）其中為的上半球面被柱面所截下部分的上側(cè)；解：(13) 其中為螺旋面的上側(cè)；解：于是6. 把第二型曲面積分化成第一型曲面積分，其中（1）為平面在第一卦限的部分的上側(cè)；解：

15、法向量為單位化為，所以（2）為拋物面在面上方的部分的上側(cè)；解：法向量為單位化為，所以10.6 高斯公式 通量與散度習(xí)題10.61. 利用高斯公式計算曲面積分：（1）其中為平面所圍成的立體的表面的外側(cè)；解：（2）其中為球面的外側(cè)；解：（3）其中為上半球體的表面的外側(cè)；解：（4）其中為介于和之間的圓柱體的整個表面的外側(cè)；解：（5）其中為平面所圍成的立方體的全表面的外側(cè)；解：（6）其中為由柱面與平面所圍立體邊界的外側(cè)；解：（7）其中為錐面與部分的外側(cè)，為側(cè)的單位法向量；解：令，取上側(cè)，則（8）其中為橢球面的外側(cè)；解：，作變換得2. 計算下列曲面積分：（1）其中為錐面的外側(cè)；解：設(shè)取上側(cè)，則(2) 其

16、中為半球面的上側(cè)；解：設(shè)取下側(cè)，則（3）其中為球面的外側(cè)；解：設(shè)取左側(cè)，取后側(cè)，則3. 設(shè)是常向量，為任意的逐塊光滑閉曲面的外側(cè)，為側(cè)的單位法向量。證明證明：設(shè)，則4. 計算其中，為球面外側(cè)單位法向量。解：5. 計算其中為閉曲面外側(cè)單位法向量，閉曲面為下面三種情形：（1）解：（2）解：令取內(nèi)側(cè)。則（3）不包含原點的閉曲面。6. 設(shè)是三維調(diào)和函數(shù)，即滿足且有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。證明（1）其中，為的外法向方向?qū)?shù)；證明：(2)若在邊界面上恒為零，則在區(qū)域上恒為零（為的邊界面）。證明：所以，為常值函數(shù)，而其在邊界上為零，所以在整個區(qū)域上為零。7. 求下列向量穿過曲面流向指定側(cè)的通量：（1）其中為圓柱的

17、全表面，流向外側(cè)；解：（2）其中為立方體的全表面，流向外側(cè)；解：（3）其中為以點為球心，半徑的球面，流向外側(cè)；解：（4）其中為閉區(qū)域的邊界曲面，流向外側(cè)。解：8. 求下列向量場的散度：（1）解：（2）解：（3）解：9. 設(shè)是兩個定義在閉區(qū)域上的具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，依次表示沿的外法線方向的方向?qū)?shù)。證明其中為空間閉區(qū)域的整個邊界曲面。這個公式叫做格林第二公式。證明：所以10. 利用高斯公式推證阿基米德原理：浸沒在液體中的物體所受液體的壓力的合力（即浮力）的方向鉛直向上，其大小等于這物體所排開的液體的重力。證明：建立坐標(biāo)系，使液面為平面，軸豎直向上。設(shè)物體表面內(nèi)法向量為則這就是阿基米德原理。10.7 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度習(xí)題10.71. 利用斯托克斯公式，計算下列曲線積分：（1）其中為圓周若從軸的正向看去，這圓周是取逆時針方向；解：令為以圓周為邊界的圓盤，則（2）其中為橢圓若從軸正向看去，這橢圓是取逆時針方向；解：令為以橢圓為邊界的平面區(qū)域，則(3) 其中為圓周若從軸正向看去，此圓周是取逆時針方向；解：令為以圓周為邊界的圓盤，則(4) 其中為圓周若從軸正向看去，此圓周是取逆時針方向；解：令為以圓周為邊界的圓盤，則2. 求下列向量場的旋度：（1）解：（2）解：