統(tǒng)計學正態(tài)分布

1、編輯ppt2正態(tài)分布正態(tài)分布編輯ppt3v樣本有幾個特別重要的數(shù)字特征，這些數(shù)字是描述樣本頻樣本有幾個特別重要的數(shù)字特征，這些數(shù)字是描述樣本頻率分布特征的，稱之為樣本特征數(shù)率分布特征的，稱之為樣本特征數(shù)v而在生物統(tǒng)計學中，樣本特征數(shù)使用頻繁的有以下幾個而在生物統(tǒng)計學中，樣本特征數(shù)使用頻繁的有以下幾個v1.算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)（ ）。編輯ppt4 2.樣本方差:樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)。 3.樣本標準差:樣本方差的算術(shù)平方根做。編輯ppt6 正態(tài)分布的概念 如果把數(shù)值變量資料編制頻數(shù)表后繪制頻數(shù)分布圖（又稱直方圖，它用矩形面積表示數(shù)值變量資料的頻數(shù)分布，每條直條的寬表示組距

2、，直條的面積表示頻數(shù)（或頻率）大小，直條與直條之間不留空隙。），若頻數(shù)分布呈現(xiàn)中間為最多，左右兩側(cè)基本對稱，越靠近中間頻數(shù)越多，離中間越遠，頻數(shù)越少，形成一個中間頻數(shù)多，兩側(cè)頻數(shù)逐漸減少且基本對稱的分布，那我們一般認為該數(shù)值 變量服從或近似服從 數(shù)學上的正態(tài)分布。編輯ppt7 當當n，直方條面積，直方條面積(頻率頻率)各自的概率各自的概率 然后組距然后組距時，直方條的寬度時，直方條的寬度，直，直方條方條垂直線，各個直方條頂點間的連線垂直線，各個直方條頂點間的連線構(gòu)成一條光滑的曲線，即：概率密度曲線，構(gòu)成一條光滑的曲線，即：概率密度曲線，而曲線下而曲線下(直方條直方條)的總面積始終為，在區(qū)的總面

3、積始終為，在區(qū)間間a,b的概率對應(yīng)曲線段下的面積的概率對應(yīng)曲線段下的面積(直方直方條面積條面積) 。編輯ppt8正態(tài)分布的概念編輯ppt9 正態(tài)曲線的定義：正態(tài)曲線的定義：函數(shù)函數(shù)22()21( )2xfxe ),(x稱稱f( x)的圖象稱為的圖象稱為正態(tài)曲線正態(tài)曲線式中:= 3.1416 e= 2.71828 x-表示變量 -表示理論平均數(shù) -表示總體標準差 2表示總體方差這個公式表示x變量區(qū)間內(nèi)發(fā)生的概率2( ,)XN 編輯ppt11在不變的情況下函數(shù)曲線形狀不變，若變大時，曲線位置向右移；若變小時，曲線位置向左移，故稱為位置參數(shù)。編輯ppt12123在不變的情況下函數(shù)曲線位置不變，若變大

4、時，曲線形狀變的越來越“胖”和“矮”；若變小時，曲線形狀變的越來越“瘦”和“高”，故稱為形態(tài)參數(shù)或變異度參數(shù)。編輯ppt1301 2-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線在）曲線在x軸的上方，與軸的上方，與x軸不相交軸不相交.（2）曲線是單峰的）曲線是單峰的,它關(guān)于直線它關(guān)于直線x=對稱對稱.（3）曲線在）曲線在x=處達到峰值處達到峰值(最高點最高點) （4）曲線與）曲線與x軸之間的面積為軸之間的面積為1（5）當）當 x時時,曲線下降曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時并且當曲線向左、右兩邊

5、無限延伸時, 以以x軸為漸近線軸為漸近線,向它無限靠近向它無限靠近. (6)當當一定時，曲線的形狀由一定時，曲線的形狀由確定確定 . 越大，曲線越越大，曲線越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越分散；，表示總體的分布越分散； 越小，曲線越越小，曲線越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越集中，表示總體的分布越集中.編輯ppt14v而整個正態(tài)分布則應(yīng)該是各區(qū)間密度函數(shù)的累計積分.v一種連續(xù)的分布不可能求某項(某點)的概率,而只能求某個區(qū)間的概率.v任意兩點x1，x2且(x1x2)，X在 (x1, x2)范圍內(nèi)取值的概率P,即正態(tài)分布曲線在(x1, x2)下面積2221()212xxxPedx就是由正態(tài)分布密度

6、函數(shù)2221)(xexf得到標準正態(tài)分布密度函數(shù)：222)(21)(xexfxuu稱為標準正態(tài)變量或標準正態(tài)離差，服從標準正態(tài)分布的隨機變量這個變換稱為標準化或這個變換稱為標準化或u變換變換,由于由于x是隨機變量，因此是隨機變量，因此u也是隨機變量，所得到的隨機變量也是隨機變量，所得到的隨機變量U也服從正態(tài)分布，也服從正態(tài)分布，因此，由任意正態(tài)分布隨機變量標準化得到的隨機變量因此，由任意正態(tài)分布隨機變量標準化得到的隨機變量的標準正態(tài)分布常稱為的標準正態(tài)分布常稱為u分布。分布。2221)(ueuf標準正態(tài)分布均具有標準正態(tài)分布均具有=0，2=1的特性的特性如果隨機變量如果隨機變量u服從標準正態(tài)分

7、布，可記為：服從標準正態(tài)分布，可記為：uN（0，1）2221)(xexf標準正態(tài)函數(shù)標準正態(tài)函數(shù)),(x012-1-2xy-33=0=1編輯ppt21特殊區(qū)間的概率特殊區(qū)間的概率:若若XN ,則對于任何實數(shù)則對于任何實數(shù)a0,概率概率 為如圖中的陰影部分的面積，對于固定的為如圖中的陰影部分的面積，對于固定的 和和 而言，該面而言，該面積隨著積隨著 的減少而變大。這說明的減少而變大。這說明 越小越小, 落在區(qū)間落在區(qū)間 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周圍概率越大。周圍概率越大。2( ,) ,()( )aaPaax dx (,aa -a +ax=()0.6826,(22 )0.954

8、4,(33 )0.9974.PXPXPX特別地有特別地有編輯ppt22 我們從上圖看到，正態(tài)總體在我們從上圖看到，正態(tài)總體在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3 。2,23,3由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^5 ），通常稱這些情況發(fā)生為），通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件小概率事件。x如果原總體的平均數(shù)為如果原總體的平均數(shù)為，標準差為，標準差為，那么樣本平均數(shù)，那么樣本平均數(shù)抽樣總體：抽樣總體：平均數(shù)為：平均數(shù)為：標準差為：標準差為：為樣本平均數(shù)抽樣總體的標準誤差簡稱為標準誤，標為樣本平均數(shù)抽樣總體的標準誤差

9、簡稱為標準誤，標準誤表示平均數(shù)抽樣誤差的大小，反映樣本平均數(shù)與準誤表示平均數(shù)抽樣誤差的大小，反映樣本平均數(shù)與新總體平均數(shù)之間的離散程度。新總體平均數(shù)之間的離散程度。 xxxnx抽樣的樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)抽樣的樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù),即即抽樣的抽樣平均數(shù)的標準差等于總體標準差除以抽樣的抽樣平均數(shù)的標準差等于總體標準差除以樣本單位數(shù)的平方根。即樣本單位數(shù)的平方根。即4. t-分布（不要求）分布（不要求）設(shè)有服從正態(tài)分布的隨機變量設(shè)有服從正態(tài)分布的隨機變量x，正態(tài)分布的標準化公式為：，正態(tài)分布的標準化公式為：xu 對于總體方差對于總體方差2已知的總體，根據(jù)公式可以知道已知的總體

10、，根據(jù)公式可以知道在某一區(qū)間內(nèi)在某一區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率，公式為：出現(xiàn)的概率，公式為： xxuxxuxunx附：附：服從標準正態(tài)分布服從標準正態(tài)分布假如假如2未知，而且樣本容量又比較?。ㄎ粗?，而且樣本容量又比較?。╪30）時：）時： 標準化公式可變換為：標準化公式可變換為：xSxt它不再服從標準正態(tài)分布它不再服從標準正態(tài)分布T分布類似于正態(tài)分布，也是一種對稱分布，它只有一個參數(shù)，就是自由度所謂自由度是指獨立觀測值的個數(shù)，應(yīng)為計算標準差時所使用的n個觀測值，受到平均數(shù)x的約束，這就等于有一個觀測值不能獨立取值，因此自由度為df=n-1服從具有服從具有n-1自由度自由度t-分布分布T分布的密度函數(shù)為：

11、分布的密度函數(shù)為：T分布的計算已列成表格分布的計算已列成表格,應(yīng)用時可根據(jù)需要由應(yīng)用時可根據(jù)需要由t值值,自由度查概率自由度查概率;也可以由概率也可以由概率,自由度查自由度查t值值.2(1)/2(1)/2( )1+, ( /2)n nxf xxnn n /2 o xtn (x) t /2(n) t /2(n) /2則稱這個數(shù)則稱這個數(shù) c 是自由度是自由度n 的的 t 分布的雙側(cè)分布的雙側(cè) 分位點分位點 (數(shù)數(shù)) ，記成，記成 t / 2 (n) 。對稱分布的雙側(cè)對稱分布的雙側(cè) 分位點就是上側(cè)分位點就是上側(cè) /2 分位點分位點 /2 o x (x) u /2 u /2 /2如：雙側(cè)如：雙側(cè) 0.05 分位點分位點 u0.025 = 1.96 （1）t分布為對稱分布，關(guān)于分布為對稱分布，關(guān)于t = 0對稱；只有一個峰，峰值在對稱；只有一個峰，峰值在t = 0處；與標準正態(tài)分布曲線相比，處；與標準正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平尾部稍高而平（2）t分布曲線受自由度分布曲線受自由度df 的影響，自由度越小，離散程度越大的影響，