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1、壓軸大題突破練壓軸大題突破練直線與圓錐曲線(一)1(2013·課標(biāo)全國)已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)l是與圓P、圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A、B兩點,當(dāng)圓P的半徑最長時,求AB.解(1)設(shè)圓P的半徑為r,則PM1r,PN3r,PMPN4>MN,P的軌跡是以M、N為焦點的橢圓,左頂點除外,且2a4,2c2,a2,c1,b2a2c23.P的軌跡曲線C的方程為1(x2)(2)由(1)知:2r(PMPN)2MN24,圓P的最大半徑為r2.此時P的坐標(biāo)為(2,0)圓P的方程為(

2、x2)2y24.當(dāng)l的方程為x0時,AB2,設(shè)l的方程為ykxb(kR),解之得:或.l的方程為yx,yx.聯(lián)立方程化簡:7x28x80.x1x2,x1x2,AB.綜上,AB2或.2已知橢圓的一個頂點為A(0,1),焦點在x軸上,中心在原點若右焦點到直線xy20的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線ykxm (k0)與橢圓相交于不同的兩點M,N.當(dāng)AMAN時,求m的取值范圍解(1)依題意可設(shè)橢圓方程為y21,則右焦點F(,0),由題設(shè)3,解得a23.故所求橢圓的方程為y21.(2)設(shè)P(xP,yP),M(xM,yM),N(xN,yN),P為弦MN的中點,由得(3k21)x26mkx3

3、(m21)0,直線與橢圓相交,(6mk)24(3k21)×3(m21)>0m2<3k21.xP,從而yPkxPm,kAP,又AMAN,APMN,則,即2m3k21.把代入得m2<2m,解得0<m<2;由得k2>0,解得m>.綜上求得m的取值范圍是<m<2.3(2013·福建) 如圖,拋物線E:y24x的焦點為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心,CO為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M,N. (1)若點C的縱坐標(biāo)為2,求MN;(2)若AF2AM·AN,求圓C的半徑解(1)拋物線y24x

4、的準(zhǔn)線l的方程為x1.由點C的縱坐標(biāo)為2,得點C的坐標(biāo)為(1,2),所以點C到準(zhǔn)線l的距離d2,又CO,所以MN222.(2)設(shè)C(,y0),則圓C的方程為(x)2(yy0)2y,即x2xy22y0y0.由x1,得y22y0y10,設(shè)M(1,y1),N(1,y2),則由AF2AM·AN,得|y1y2|4,所以14,解得y0±,此時>0.所以圓心C的坐標(biāo)為(,)或(,),從而CO2,CO,即圓C的半徑為.4已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點M(0,2)是橢圓的一個頂點,F(xiàn)1MF2是等腰直角三角形(1)求橢圓的方程;(2)過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1k28,證明:直線AB過定點.(1)解由已知,可得b2,a2(b)28,所求橢圓方程為1.(2)證明設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),若直線AB的斜率存在,設(shè)方程為ykxm,由得(12k2)x24kmx2m280.則x1x2,x1x2.由k1k28,得8,所以8,即2k(m2)·8.所以k4,整理得mk2.故直線AB的方程為ykxk2,即yk2.所以直線AB過定點.若直

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