平方差公式(一)(新北師大)

1、平方差公式 (一 )、教學(xué)目標(biāo)(一) 知識(shí)目標(biāo)1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程 . 2.會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.(二) 能力目標(biāo) 1.在探索平方差公式的過程中，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力.2.培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括等能力 .(三) 情感目標(biāo) 在計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表達(dá)，從而體會(huì)數(shù)學(xué)語言的簡(jiǎn)捷美 .二、教學(xué)重難點(diǎn)(一)教學(xué)重點(diǎn) 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用 .(二)教學(xué)難點(diǎn) 用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式 .三、教具準(zhǔn)備投影片四張第一張：做一做，記作 (§ 1.7.1 A)第二張：例 1，記作(§1.7.1 B)第三張：例 2，記作(&#

2、167;1.7.1 C) 第四張：練一練，記作 (§1.7.1 D)四、教學(xué)過程I .創(chuàng)設(shè)情景，引入新課師你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎？2(1) 2001 X 1999; (2)99 1生可以在中 2001X 1999=(2000+1)(2000- 1)=20002 2000+2000- 1 X 仁20002 12=4000000 1=3999999在中 992 仁(100 1)2 仁(100 1)(100 1)1=1002100100+11=10000200=9800.師很好！我們利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，將 (1)(2)中的 2001， 1999， 99 化成為整千整百的運(yùn)算

3、，從而使運(yùn)算很簡(jiǎn)便 .我們不妨觀察第 (1)題，2001和 1999，一個(gè)比 2000大 1，于是可寫成 2000與 1 的和，一個(gè)比 2000小1,于是可寫成2000與1的差，所以2001X1999就是2000與1這兩個(gè)數(shù)的和 與差的積，即 (2000+1)(20001)；再觀察利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則算出 來的結(jié)果為： 2000212，恰為這兩個(gè)數(shù) 2000與 1 的平方差.即22(2000+1)(20001)=2000212.那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有類似的結(jié)果呢？ 我們不妨看下面的做一做 .n .使學(xué)生在計(jì)算的過程中，通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言和 符號(hào)表示其規(guī)律

4、師出示投影片 (§1.7.1 A)做一做：計(jì)算下列各題：(1) (x+2)(x2);(2) (1+3a)(13a);(3) (x+5y)(x5y);(4) (y+3z)(y3z). 觀察以上算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉 兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？生上面四個(gè)算式都是多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法 . 生上面四個(gè)算式每個(gè)因式都是兩項(xiàng) .生除上面兩個(gè)同學(xué)說的以外，更重要的是：它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積.例如：算式是“x”與“2”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式 是“ 1”與“3a”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式 是“x”與“ 5y”的和與差的積；算式 是“y”與“3z”這兩個(gè)數(shù)的和與差的積

5、.師我們觀察出了算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) .像這樣的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，它們 的結(jié)果如何呢？只要你肯動(dòng)筆、動(dòng)腦，相信你一定會(huì)探尋到答案 .生解：(1)(x+2)(x2)22=x22x+2x4=x24；(2) (1+3a)(13a)22=1 3a+3a9a =1 9a ；(3) (x+5y)(x5y)2 2=x 5xy+5xy 25y=x2 - 25y2;(y+3z)(y- 3z)=y2 3yz+3zy 9z22 2=y2 9z2(如有必要的話可以讓學(xué)生利用乘法分配律將多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，進(jìn)一步體會(huì)乘法分配律的重要作用以及轉(zhuǎn)化的思想)生從剛才這位同學(xué)的運(yùn)算，我發(fā)現(xiàn)：(1) (x+2

6、) fe-2)=x!-4=3c2-2E ；II I (1+3；) (1-3；)二卜耐二2 ；IIi (罩+助 冬-曲)寸-25鏟-(5朋(4) (扌+%)勺 _3g) W-財(cái)予 _ )2 ”即兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這和我們前面的一個(gè)簡(jiǎn)便運(yùn) 算得出同樣的結(jié)果即2001X1999=(20001) (2000-1) =20002-1:II師你還能舉兩個(gè)例子驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)嗎？生可以例如：(1) 101 X 99=(100+1)(100 1)=1002 100+100 12=100 12=10000 仁9999;2 2 2 2 2(2) (x+y)( x y)=( x)( x)+xy x

7、y y =( x) y =x y .即(10CH-bciOCbl>100z-l2III上面兩個(gè)例子，同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與差的積，等于它們的平方差.師為什么會(huì)有這樣的特點(diǎn)呢？生因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則展開后，中間兩項(xiàng)是同類 項(xiàng)且系數(shù)互為相反數(shù)，所以相加后為零只剩下這個(gè)數(shù)的平方差師很好！你能用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明嗎？生可以.上述規(guī)律用符號(hào)表示為：2 2(a+b)(a b)=a b其中a,b可以表示任意的數(shù)，也可以表示代表數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則可以對(duì)規(guī)律進(jìn)行證明，即(a+b)(a b)=a2 ab+ab b2=a2 b2師同學(xué)門旃

8、實(shí)不簡(jiǎn)單川并號(hào)表小和n切我工以山劉斛筍扭叨快.你能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a b)=a2 b2起一個(gè)名字嗎？能形象直觀地 反映出此規(guī)律的生我們可以把(a+b)(a b)=a2 b2叫做平方差公式.師大家同意嗎？生同意.師好了！這節(jié)課我們主要就是學(xué)習(xí)討論這個(gè)公式的.你能用語言描述這 個(gè)公式嗎？生可以.這個(gè)公式表示兩數(shù)和與差的積，等于它們的平方差.師平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式.用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)單，但要注意必須符合公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)才能利用它進(jìn)行運(yùn)算.川.體會(huì)平方差公式的應(yīng)用，感受平方差公式給多項(xiàng)式乘法運(yùn)算帶來的方 便，進(jìn)一步熟悉平方差公式.出示投影片(§ 1.7.1 B

9、)例1 (1)下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是 ()A. (x+1)(1+x)B. Qa+b)(b 1a)2 2C. ( a+b)(a b)D.(x2 y)(x+y2)E.( a b)(a b)F.(c22 2 2d )(d +c)(2) 利用平方差公式計(jì)算：(5+6x)(5 6x);(x 2y)(x+2y);(m+n)( m n).生(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因?yàn)锽.(ga+b)(b £ a)利用加法 交換律可得(£a+b)(b 1a)=(b+1a)(b 1 a),表示b與£a這兩個(gè)數(shù)的和與差的 積，符合平方差公式的特點(diǎn)；E.( a b)(a

10、 b),同樣可利用加法交換律得(一a b)(a b)=( b a)( b+a),表示b與a這兩個(gè)數(shù)和與差的積，也符合平方差公 式的特點(diǎn)；F.(c 2 2 2(m+n)( m n)=( m) n =m n .師這位同學(xué)的思路非常清楚.下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)例題.出示投影片(記作§ 1.7.1 C)例2利用平方差公式計(jì)算：(1) (寸xy)( 4x+y);(2) (ab+8)(ab 8);2(3) (m+ n)(m n)+3n .師同學(xué)們可先交流、討論，然后各小組派一代表到黑板上演示.然后再派一位同學(xué)講評(píng).生解：(1)(寸x y)( ±x+y)(認(rèn))與y的和與差的積 d2)(d2+

11、c2)利用加法和乘法交換律得(c2 d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2 d2)，表示c2與d2這兩個(gè)數(shù)和與差的積，同樣符合平方差公式的特點(diǎn)師為什么A、C、D不能用平方差公式呢？生A、C、D表示的不是兩個(gè)數(shù)的和與差的積的形式.師下面我們就來做第題，首先分析它們分別是哪兩個(gè)數(shù)和與差的積 的形式.生(5+6x)(5 6x)是5與6x這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式；(x 2y)(x+2y)是x 與2y這兩個(gè)數(shù)的和與差的形式；(m+n)( m n)是m與n這兩個(gè)數(shù)的和與 差的形式.師很好！下面我們就來用平方差公式計(jì)算上面各式.生(5+6x)(5 6x)=52 (6x)2=25 36x2;2 2 2 2(

12、x 2y)(x+2y)=x (2y) =x 4y ;=(-lx)2-y2利用平方差公式得(一丄X)與y的平方差44=丄X2- y2運(yùn)算至最后結(jié)果16(2) (ab+8)(ab 8) ab與8的和與差的積=(ab)2 - 82利用平方差公式得ab與8的平方差=a2b2 64運(yùn)算至最后結(jié)果(3) (m+n)(m n)+3n2據(jù)運(yùn)算順序先計(jì)算 m與n的和與差的積=(m2 n2)+3n2利用平方差公式=m2 n2+3n2去括號(hào)=m2+2n2合并同類項(xiàng)至最簡(jiǎn)結(jié)果生剛才這位同學(xué)的運(yùn)算有條有理，有根有據(jù)，我覺得利用平方差公式 計(jì)算必須注意以下幾點(diǎn)：(1) 公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式

13、、多項(xiàng)式即 整式.(2) 要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式.(3) 有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式生還需注意最后的結(jié)果必須最簡(jiǎn).師同學(xué)們總結(jié)的很好！下面我們?cè)賮砭毩?xí)一組題.投影片(§ 1.7.1 D)1計(jì)算：(1) (a+2)(a 2);(2) (3a+2b)(3a 2b);(3) (x+1)( x 1);(4) (4k+3)( 4k 3).2.把下圖左框里的整式分別乘(a+b),所得的積寫在右框相應(yīng)的位置上.解：1.(1)(a+2)(a 2)=a2 22=a2 4;2 2 2 2(2) (3a+2b)(3a

14、 2b)=(3a)2 (2b)2=9a2 4b2;2 2 2(3) (x+1)(x1)=(x)212=x21;2 2 2(4) (4k+3)(4k3)=(4k)232=16k29.2 2 2 22.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a +ab+ab+b =a +2ab+b ;22(a b)(a+b)=a2 b2;22( a+b)(a+b)=(b+a)(b a)=b2 a2;( a b)(a+b)= a(a+b) b(a+b) 22= a ab ab b= a2 2ab b2(教師在讓學(xué)生做練習(xí)，可巡視練習(xí)的情況，對(duì)確實(shí)有困難的學(xué)生要給以指 導(dǎo))IV .課時(shí)小結(jié) 師同學(xué)們有何體會(huì)

15、和收獲呢？ 生今天我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中的一個(gè)重要公式平方差公式即(a+b)(a b)=a2 b2.生應(yīng)用這個(gè)公式要明白公式的特征： (1)左邊為兩個(gè)數(shù)的和與差的積； (2)右邊為兩個(gè)數(shù)的平方差 .生公式中的 a、b 可以是數(shù)，也可以是代表數(shù)的整式 . 生有些式子表面上不能用公式，但通過適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能用公式 .師同學(xué)們總結(jié)的很好！還記得剛上課的一個(gè)問題嗎？計(jì)算9921，現(xiàn)在想一想，能使它運(yùn)算更簡(jiǎn)便嗎？生可以 .9921 可以看成 99 與 1 的平方差，從右往左用平方差公式可 得：2 2 299 仁99 1 =(99+1)(99 1)=100X 98=9800.師我們發(fā)現(xiàn)平方差公式的應(yīng)用

16、是很靈活的，只要你準(zhǔn)確地把握它的結(jié) 構(gòu)特征，一定能使你的運(yùn)算簡(jiǎn)捷明了 .V .課后作業(yè)課本P30，習(xí)題1.11，第1題.筍活動(dòng)與探究有10位乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽(每?jī)扇碎g均賽一場(chǎng))，用xi,yi順次表示第 1號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，用X2,y2順次表示第2號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，用xio,yio順次表示第10號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù).則10名選手勝的場(chǎng)數(shù)的平方和與他 們負(fù)的場(chǎng)數(shù)的平方和相等，即2 2 2 2 2 2、X1 +X2 + +X10 =y1 +y2 + +y10，為什么？經(jīng)過：由于是單循環(huán)賽，每名運(yùn)動(dòng)員恰好參加9局比賽，即Xi+yi=9(其中i=1、2、3、10)，在比賽中一人勝了，另一人自然敗

17、了，貝U X1+X2+ +X10=y什y2+y10,這兩個(gè)隱含條件是解題的關(guān)鍵，從作差比較入手 .結(jié)果由題意知 Xi+yi=9(i=1、2、3、T0)且 X1+X2+X1o=y1+y2+ye/ 2 2 2 2 22、(X1 +X2 + +X10) (y1 +y2 + +y10)222222=(X1 y1 )+(X2 y2)+(X10 y10)=(X1 +y1)(X1 y”+(X2+y2)(X2 y2)+(X1o+ye)(X1o ye)=9 (X1 y”+(x2y2)+(x3y3)+(xe ye)=9 (X1+X2+ +xe) (y什y2+ +ye)=0222222所以，X1 +X2 +X10 =y1 +y2 +y10 .五、板書設(shè)計(jì)§ 平方差公式(一)做一做解：(1)(x+2)(x 2)=x 2 2 2(3) (x+5y)(x 5y)=x 5xy