空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、一對一授課教案學(xué)員姓名：年級：所授科目：上課時間：年月日時分至?xí)r分共小時老師簽名學(xué)生簽名教學(xué)主題空間向量與立體幾何上次作業(yè)檢查本次上課表現(xiàn)本次作業(yè)一知識要點(diǎn)。1. 空間向量的 概念 ：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（ 2）向量具有 平移不變性2. 空間向量的 運(yùn)算 。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。OBOAABab ; BAOAOBab ; OPa(R)運(yùn)算律： 加法交換律：abba加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：(ab)ca(bc)(ab )ab運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形

2、法則、平行六面體法則3. 共線向量。（ 1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a 平行于b ，記作 a / b 。ab b0a / bab（ 2）共線向量定理 ：空間任意兩個向量、（），存在實(shí)數(shù) ，使 。（ 3）三點(diǎn)共線 ： A 、 B、 C 三點(diǎn)共線 <=> ABACxOA yOB(其中<=> OCxy1)（ 4）與 a 共線的單位向量為aa4. 共面向量（ 1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（ 2）共面向量定理：如果兩個向量a,b 不共線，p 與向量 a, b

3、 共面的條件是存在實(shí)數(shù)x , y 使 p xa yb 。（ 3）四點(diǎn)共面：若A 、 B、 C、 P 四點(diǎn)共面 <=> APx AByAC<=> OP xOA yOBzOC ( 其中 xy z1)15. 空間向量基本定理：如果三個向量a,b, c 不共面， 那么對空間任一向量p ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z ，使 p xa yb zc 。若三向量ab,c 不共面，我們把 a,b ,c 叫做空間的一個基底， a,b , c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推 論 ： 設(shè) O, A, B, C 是 不 共 面 的 四 點(diǎn) ， 則 對 空

4、 間 任 一 點(diǎn) P ， 都 存 在 唯 一 的 三 個 有 序 實(shí) 數(shù) x, y, z ， 使。OPxOAyOBzOC6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（ 1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中，對空間任一點(diǎn)A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y, z) ，使 OAxiyizk ，有序?qū)崝?shù)組 ( x, y, z) 叫作向量A 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中的坐標(biāo)，記作A(x, y, z) ， x 叫橫坐標(biāo)，y 叫縱坐標(biāo)，z 叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A（x,y,z ）關(guān)于 x 軸的的對稱點(diǎn)為(x,-y,-z), 關(guān)于 xoy 平面的對稱點(diǎn)為(x,y,-z). 即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)

5、不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y 軸上的點(diǎn)設(shè)為(0,y,0),在平面yOz 中的點(diǎn)設(shè)為(0,y,z)（ 2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位正交基底，用,i j, k 表示?？臻g中任一向量 axiy jzk=（ x,y,z ）（ 3 ）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若，則11 22 33，a (a, a2, a3 )b(b1, b2, b3 )a b (a1b , a b , a b )a b (a 1b1, a2 b2 , a3b3 )，a ( a1, a2 , a3 )(R) ，a b a 1b1a2b2 a3b3 ，a / ba1b1, a2b2 ,a 3b3 (

6、 R) ，aba b a b2a b0 。若 A(x1, y11 1233) ，則 AB (x2z1 ) 。, z1 ) ， B(x2, y2, z21, y212xy, z一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。定比分點(diǎn)公式：若A( 1x , 1y , 1z，) B(x2 , y2 , z2 ) ，APPB ，則點(diǎn)P坐標(biāo)為( x1x2, y1y2,z1z2)。推導(dǎo) ：設(shè) P（ x,y,z）則(xx1, y y1, z z1)( x2 x, y2 y,z 2z),顯然，1112 , y2 , z當(dāng) P 為 AB 中點(diǎn)時， P( x1x1y1z2 )22

7、2, (,),(,y3,)，三角形重心坐標(biāo)為xxxyABC 中， A （x1y1z 1）Bx2y2z2C x3z3PP(y3 ,zz2z123, 1y213 )3222 ABC 的五心 ：內(nèi)心 P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。ABAC （單位向量）AP()ABAC外心 P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)。PAPBPC垂心 P：高的交點(diǎn)：PA PBPA PCPB PC （移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）重心 P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）AP1(ABAC )3中心：正三角形的所有心的合一。（ 4）模長公式 ：若 a(a , a , a )， b (b ,b , b ) ，123123則 | a |a

8、 aa12a2 2a3 2 ， | b | b bb1 2 b22b3 2（ 5）夾角公式：cos a ba ba1b1a2b2a3b 3。| a | |b |a12 a22a3 2 b 12 b22b32ABC 中 ABAC0 <=>A 為銳角 ABAC0<=>A 為鈍角，鈍角（ 6）兩點(diǎn)間的距離公式：若A( x1, y1, z1) ， B(x2, y2 , z2 ) ，2x1) 22 ( z2z1) 2則|AB|AB( x2( y2y1)，或 d( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1)2A, B7. 空間向量的數(shù)量積。（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩

9、非零向量a,b ，在空間任取一點(diǎn)O ，作 OAa, OBb ，則AOB 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bb,a；若a, b，則稱 a2與 b 互相垂直，記作：ab 。（ 2）向量的模：設(shè)OA a ，則有向線段OA 的長度叫做向量a 的長度或模，記作：| a | 。（ 3 ） 向 量 的 數(shù) 量 積 ： 已 知 向 量 a,b ， 則 | a |b | cos ab, 叫 做 a, b 的 數(shù) 量 積 ， 記 作 a b ， 即a b| a | |b| cos a b,。（ 4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： a e| a |cosa, e。 aba b0 。 |

10、a |2aa 。（ 5）空間向量數(shù)量積運(yùn)算律： (a) b(ab)a( b ) 。 a bb a （交換律） 。 a (bc)a ba c （分配律）。 不滿足 乘法結(jié)合率：(a b)ca(bc)二空間向量與立體幾何1線線平行兩線的方向向量平行1-1 線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2 面面平行兩面的法向量平行2 線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1 線面垂直線與面的法向量平行2-2 面面垂直兩面的法向量垂直3 線線夾角（共面與異面） 0 O ,90 O 兩線的方向向量n1 , n 2的夾角或夾角的補(bǔ)角，coscosn1, n233-1 線面夾角 0O ,90O ：求線面夾角

11、的步驟：先求線的方向向量AP 與面的法向量n 的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角. sincos AP, n3-2 面面夾角（二面角） 0O ,180 O ：若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量n1, n 2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角 .coscos n 1 , n24點(diǎn)面距離h：求點(diǎn) Px0 , y 0到平面的距離：在平面上去一點(diǎn)Q x, y ，得向量 PQ ； 計(jì)算平面的法;向量 n ;.PQnhn4-1 線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2 面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1基本運(yùn)算與基本知識

12、（）例 1. 已知平行六面體ABCD ABCD，化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。ABBC ；AB ADAA ；AB11AD AA) 。ADCC； (AB23MG例 2. 對空間任一點(diǎn)O 和不共線的三點(diǎn)A, B, C ，問滿足向量式：OP xOA yOB zOC（其中xyz 1 ）的四點(diǎn)P, A, B, C是否共面？例 3 已知空間三點(diǎn)A （ 0， 2， 3）， B（ 2，1， 6）， C（ 1， 1， 5）。求以向量AB, AC 為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量分別與向量AB, AC 垂直，且 |3a 的坐標(biāo)。aa ，求向量42基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3坐標(biāo)法（如何建立空

13、間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4幾何法例 4. 如圖，在空間四邊形OABC 中， OA8， AB6， AC4， BC5， OAC45 ，OAB 60 ，求OA 與 BC 的夾角的余弦值。OACB說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如OA, AC135 易錯寫成OA, AC45 ，切記！例 5. 長方體 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 4 ， E 為 AC 1 1 與 B1 D1 的交點(diǎn)， F 為 BC1 與 B1C 的交點(diǎn)，又 AF BE ，求長方體的高 BB 1 ?！灸M試題】1. 已知空間四邊形ABCD ，連結(jié) AC , BD，設(shè) M , G 分別是 BC ,CD 的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)

14、式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（ 1） AB BCCD ；1；1BC)（2） AB( BD（3AG(AB AC)。）222. 已知平行四邊形ABCD ，從平面AC 外一點(diǎn) O 引向量。OE kOAOF,。kOBOG, kOC, OH kOD（ 1）求證：四點(diǎn) E, F ,G, H 共面；（ 2）平面 AC / 平面 EG 。513. 如圖正方體ABCDA1 B1C1D1 中， B1E1D1F1A1 B1 ，求 BE 1 與 DF 1 所成角的余弦。45. 已知平行六面體ABCD ABCD 中，AB 4, AD3, AA5,BAD90BAADAA60，求 AC的長。6 參考答案 1. 解：如圖，（ 1

15、）（ 2）ABBC CDACCDAD ；AB1 (BDBC )AB1 BC1BD 。2；22AB BMMGAG（3） AG1(ABAC )AGAMMG 。22. 解：（ 1）證明：四邊形ABCD 是平行四邊形， ACAB AD，EG OGOE ，k OCkOAk(OCOA)k ACk ( AB AD )k (OBOAODOA)OFOEOHOEEFEH E,F,G,H共面；（ 2）解：EFOFOE k(OB OA)k AB ，又 EGk AC ， EF / AB, EG / AC。所以，平面AC/ 平面 EG 。3. 解：不妨設(shè)正方體棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系O xyz ，則 B(1,1,0) ， E1 (1,3，D(0,0,0)， F1(0,1,1) ，,1)1414 BE1(0,1)， DF 1,1) ，(0,44 BE1DF 117 ，114BE1 DF115 。00()11441615cos BE 1, DF 1161715 。171744AB AC14. 分析：AB(2, 1,3), AC(1, 3,2),cosBAC| AB|AC|2 BAC 60 &#