第7章隨機(jī)解釋變量

1、第 7 章 隨機(jī)解釋變量單方程線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型假定解釋變量是確定性變量，并且與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)，違背這一基本假設(shè)的問(wèn)題被稱為隨機(jī)解釋變量問(wèn)題。本章介紹了隨機(jī)解釋變量問(wèn)題的概念、產(chǎn)生的原因和后果、檢驗(yàn)方法以及解決方法。隨機(jī)解釋變量問(wèn)題的概念對(duì)于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型Y X X2i Xkiu ，i011i2kii 1 2 n（ ）其中一個(gè)基本假設(shè)是解釋變量X 1 , X 2 ,X k 是確定性變量，即解釋變量與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)。 但是在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，這個(gè)假定不一定成立，這一方面是因?yàn)橛糜诮５慕?jīng)濟(jì)變量的觀測(cè)值一般會(huì)存在觀測(cè)誤差，另一方面是經(jīng)濟(jì)變量之間聯(lián)系的普遍性使得解釋變量可能在一定程度上依賴于應(yīng)變量，

2、即解釋變量X 影響應(yīng)變量Y，而應(yīng)變量 Y 也會(huì)反過(guò)來(lái)影響解釋變量 X。模型中如果存在一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量作為解釋變量，就稱為模型出現(xiàn)了隨機(jī)解釋變量問(wèn)題。其中 xk 可能與隨機(jī)誤差項(xiàng)u 不相關(guān)，就是說(shuō)，解釋變量x1 , x2 , xk 1 都是外生的，但 xk 有可能在方程 (4.4.1) 中是內(nèi)生的， 則稱原模型存在隨機(jī)解釋變量問(wèn)題。內(nèi)生性可能源自于省略誤差、測(cè)量誤差，聯(lián)立性等。為討論方便，我們假設(shè)中X 2 為隨機(jī)解釋變量。在模型（）中，根據(jù)解釋變量X 2 與隨機(jī)誤差項(xiàng)的關(guān)系，可以分為三種類型：1) 隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)獨(dú)立Cov ( X 2 , u)E( x2 , u)E( x2 ) E(

3、u)02) 隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期無(wú)關(guān)但異期相關(guān)Cov ( X 2i ,ui ) E( x2 i , ui ) 0，i 1，2， n 具體詳見(jiàn) Econometric analysis of cross section and panal data (Jeffrey Wooldrige,2007 )。Cov(X2i ,ui-s )E(x2i ,ui -s )，0i 1 2 n3) 隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期相關(guān)Cov(X2i ,ui )Exu，( 2 i ,i )0i 1 2 n(7.1.5)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的隨機(jī)解釋變量在許多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，自變量的非隨機(jī)性假定有時(shí)是不符合實(shí)際的。因?yàn)椋?

4、許多經(jīng)濟(jì)變量是不能用控制的方法進(jìn)行觀測(cè)的，所以作為模型中的解釋變量其取值就不可能是確定的，而是隨機(jī)的。 由于隨機(jī)誤差項(xiàng)中包含了模型中略去的解釋變量，而略去的解釋變量同模型中保留的解釋變量往往存在一定的相關(guān)關(guān)系。 在自回歸模型中，因變量作為解釋變量也必定是隨機(jī)變量。因此，我們必須對(duì)模型中的解釋變量為隨機(jī)變量且與隨機(jī)項(xiàng)相關(guān)的情形進(jìn)行討論。在單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，凡是外生變量都被認(rèn)為是確定性的，于是隨機(jī)解釋變量問(wèn)題主要變現(xiàn)于用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。同時(shí)，由于經(jīng)濟(jì)活動(dòng)具有連續(xù)性，使得這類模型在以時(shí)間序列數(shù)據(jù)作樣本的模型中占據(jù)較大份額。例如，消費(fèi)不僅受收入的影響，還受前期消費(fèi)水平的影

5、響。投資不僅受收入的影響，還受前期投資水平的影響。但是，并不是所有包含滯后被解釋變量的模型都會(huì)帶來(lái)隨機(jī)解釋變量問(wèn)題，下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。耐用品的存量由前一個(gè)時(shí)期的存量和當(dāng)期收入共同決定，于是著名的“耐用品存量調(diào)整模型”表示為Qt01 I t2 Qt 1utt1,2,3, n（ ）這是一個(gè)滯后被解釋變量作為解釋變量的自回歸模型。但是如果模型中不存在隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)性，那么隨機(jī)解釋變量Qt 1只與 ut 1相關(guān)，而與 ut 不相關(guān)，屬于上述的第一種情況。再如，在著名的“合理預(yù)期的消費(fèi)函數(shù)模型”中，首先認(rèn)為消費(fèi)是由對(duì)收入的預(yù)期所決定的，或者說(shuō)消費(fèi)是有計(jì)劃的，而這個(gè)計(jì)劃是根據(jù)對(duì)收入的預(yù)期制定的

6、。于是有：Ct01 I teut（7.2.2）1I te 1Ct10ut 1其中， I te 表示 t 期收入預(yù)期值，而預(yù)期收入與實(shí)際收入之間存在差距，用函數(shù)形式表現(xiàn)出來(lái)為：I te1I tI te1（ 7.2.3）該式是由合理預(yù)期理論給出來(lái)的，因此可以進(jìn)一步推導(dǎo)出C t01 1I t1 I te 1ut01 1I tCt 10ut 1ut0111I tC t 1utut 1（7.2.4）在該模型中， 作為解釋變量的C t 1 是一個(gè)隨機(jī)解釋變量，同時(shí)由于 C t 1與 ut 1 高度相關(guān)，所以它與模型（）中的隨機(jī)誤差項(xiàng)utut 1 也高度相關(guān)。屬于上述第三種類型。隨機(jī)解釋變量的后果當(dāng)模型存在

7、隨機(jī)解釋變量時(shí)，如果仍采用普通最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機(jī)解釋變量會(huì)產(chǎn)生不同的后果。對(duì)一元線性回歸模型Yi01 X ii在前面得到如下最小二乘估計(jì)量：xyixii1i12(7.3.1) xi2xi隨機(jī)解釋變量X 與隨機(jī)干擾項(xiàng)的關(guān)系不同，參數(shù)OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也會(huì)不同。估計(jì)量的漸近特征如果一個(gè)變量是隨機(jī)變量，它的精確抽樣分布是很難找到的，只能是漸進(jìn)結(jié)果。例如，當(dāng)線性回歸模型滿足最小二乘法的假定條件時(shí)，其參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具有無(wú)偏性和有效性。優(yōu)勢(shì)最小二乘估計(jì)量并不具有這種統(tǒng)計(jì)特征，但隨著樣本容量的增加卻具有了這種特征。1）漸近無(wú)偏性設(shè)n 是參數(shù)的估計(jì)量，其中n 為樣本容量，設(shè)依次抽

8、樣的樣本容量n 分別為n1n2nr ，則n是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望值為E(n ) ，方差為Var(n)=En -E(n )2。隨著樣本容量 n 取值的不同，得到下面隨機(jī)解釋變量序列|n|n1 ,n 2 ,nr| E(n)|E ( n1 ), E( n2 ), E( nr )| Var(n)|En1E(n1)2,En2E(n 2 ) 2 , EnrE(nr ) 2（）所謂漸近分布是指。當(dāng)樣本容量n 趨于無(wú)窮大時(shí)，上面各隨機(jī)變量序列分別收斂到一定分布。對(duì)于均值、方差存在以下關(guān)系。Lim E(n )E( )nLim Var(n ) EE() 2（7.3.3）n其中 E()， EE()2 分別是n的

9、漸近期望值和漸進(jìn)方差。如果Lim E(n )n則稱n的漸近無(wú)偏估計(jì)。即當(dāng)樣本容量n 充分大時(shí)，n。是的均值趨向于總體參數(shù)以上的討論是在樣本容量充分大的情況下進(jìn)行的。如果小樣本估計(jì)量是有偏的，但其估計(jì)量具有漸近無(wú)偏性，我們就可以增加樣本來(lái)優(yōu)化估計(jì)結(jié)果。2）一致性一致性估計(jì)是指對(duì)于任意給定的兩個(gè)任意小的正數(shù),，總存在一個(gè)充分大的樣本容量 n0 ，使得當(dāng) n> n0 時(shí)，滿足P |n|1（7.3.4）稱估計(jì)序列n 是的一致估計(jì)序列，即當(dāng)樣本容量n 充分大時(shí)，n 值趨向于總體真實(shí)值的概率接近于1，記為P Limn（7.3.5 ）n也可以簡(jiǎn)記為P lim綜上所述，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論可知，要想建立一個(gè)

10、一致性估計(jì)量，必須滿足兩個(gè)條件L im E(n )和 Lim Var (n )0nn即估計(jì)量n具有漸近無(wú)偏性，并且當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，n的方差趨近于0。3）隨機(jī)解釋變量模型最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)特征隨機(jī)解釋變量X 的 OLS估計(jì)量可能出現(xiàn)下面三種情況（ 1）如果 X 與隨機(jī)誤差項(xiàng)u 相互獨(dú)立，即E( X i ui )E( X i ) E(ui )0 ，得到的參數(shù)估計(jì)量仍然是無(wú)偏一致估計(jì)量。由于xi uiX iX uiX i uiX ui因此則有E(1 )1E( X i ui ) XE(ui )1（ 7.3.6 ）12xi這說(shuō)明1 是1 的無(wú)偏估計(jì)量。同理可以證明0 是0 的無(wú)偏估計(jì)量。（ 2）如

11、果 X 與同期不相關(guān)，而異期相關(guān)，得到的參數(shù)估計(jì)量有偏，但卻是一致的。由(7.3.1) 易知?xi（ 7.3.7 ）E(E(1)12i )1E(ki i )xi盡管 X i 與 ui 同期無(wú)關(guān)，但對(duì)任一的分母中一定包含不同期的X；由異期相關(guān)性知ki 與?)1，即參數(shù)估計(jì)量是有偏的。ui 相關(guān)，導(dǎo)致 E(i但是1P lim ()xiixiinCov( X i2),i )1P lim (ixi1121Var( X i )nP lim(xi)n（）即在假定P Lim1nxi20 的情況下，分子項(xiàng)等于0，于是上式成立。這說(shuō)明最小二乘估計(jì)量1 雖然是有偏的，但它是1 的一致估計(jì)量。（ 3）如果隨機(jī)解釋變

12、量X 與隨機(jī)誤差項(xiàng)u 同期相關(guān)，得到的參數(shù)估計(jì)量有偏且非一致。由于CovX i ,ui0所以則有P Lim 1X i ui Cov ( Xi ,ui ) 0（7.3.9）nP lim1X P lim1X i uiui即 P lim 11nn（ 7.3.10）1xi21P limn這說(shuō)明最小二乘估計(jì)量1 是有偏的，也不是1 的一致估計(jì)量。同理也可以證明0 是有偏的，也不是0 的一致估計(jì)量。但是需要注意的是，如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當(dāng)該滯后被解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期相關(guān)時(shí)，普通最小二乘估計(jì)量是有偏的且非一致的。即使同期無(wú)關(guān)，其普通最小二乘估計(jì)量也是有偏的，因?yàn)榇藭r(shí)肯定會(huì)出現(xiàn)異期

13、相關(guān)?？傊?，在存在隨機(jī)解釋變量問(wèn)題時(shí)，采用OLS法估計(jì)模型參數(shù)，得到的參數(shù)估計(jì)量在小樣本情況下是有偏的，在大樣本情況下也不具有漸進(jìn)無(wú)偏性，就有可能產(chǎn)生嚴(yán)重的誤導(dǎo)結(jié)果。隨機(jī)解釋變量的檢驗(yàn)（內(nèi)生性）隨機(jī)解釋變量的內(nèi)生性檢驗(yàn)在國(guó)內(nèi)，暫時(shí)還很少提及，這里簡(jiǎn)單介紹下國(guó)外學(xué)者的主要檢驗(yàn)方法之一豪斯曼檢驗(yàn)(Hausman,1978) 。舉例說(shuō)明，假定我們有單一的被懷疑的內(nèi)生變量y 0 1 x 2 z1 3 z2 u(7.4.1)其中，假定x 是內(nèi)生性變量，z1 , z2 是外生的。如果x 與 u 不相關(guān)，我們應(yīng)該用OLS法估計(jì)模型。豪斯曼檢驗(yàn)是直接比較OLS和 2SLS 的估計(jì)結(jié)果，判斷其差異是否在統(tǒng)計(jì)上顯

14、著。如果所有變量是外生的，OLS和 2SLS 都是一致性的；如果差異顯著，就可以斷定 x 是內(nèi)生的 ( z1 , z2 保持外生性 ) 。我們可以通過(guò)計(jì)算OLS和 2OLS下的參數(shù)估計(jì)值來(lái)判斷二者是否存在差異，但是這種方法相對(duì)而言比較復(fù)雜，使用回歸檢驗(yàn)會(huì)更加容易，它是以估計(jì)x 的誘導(dǎo)型為基礎(chǔ)的。此時(shí)誘導(dǎo)型是x01z12 z23 z34z 4(7.4.2)其中 z3 , z4 是其他的外生變量，未出現(xiàn)在模型(4.4.20) 中。此時(shí)，因?yàn)楦鱾€(gè)zi 與 u 不相關(guān)，所以 x 與 v 不相關(guān)且 u 與 v 不相關(guān)，這也是我們將要檢驗(yàn)的。假設(shè) u1e，其中 e與 v 不相關(guān)且均值為零，那么u 與 v

15、不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) 1 =0。檢驗(yàn)1 是否為零方法就是將 v作為回歸元添加到模型中做t 檢驗(yàn)。因?yàn)?v 是模型中的隨機(jī)誤差項(xiàng)，不能被直接觀測(cè)，因此應(yīng)該用 OLS估計(jì)誘導(dǎo)型方程（） ，從而獲取誘導(dǎo)型殘差序列v。因此 OLS估計(jì)為y 0（ 7.4.3）1 x 2 z1 3 z22 v為誘導(dǎo)型 (4.4.21)用 OLS估計(jì)所獲得的殘差。然后用t 統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)零假設(shè)：1=0，其中 v如果以一個(gè)小的顯著水平拒絕零假設(shè)，我們就可以因u 與 v 相關(guān)推斷出 x 是內(nèi)生的。單一解釋變量的內(nèi)生性檢驗(yàn)1）在模型（）中，用內(nèi)生變量x 對(duì)所有外生變量（包括那些在結(jié)構(gòu)方程中和其它方程中的工具變量）做回歸，估計(jì)它的誘導(dǎo)型（）

16、，并獲得殘差序列v。2）將 v 添加到結(jié)構(gòu)方程（）中，用y 做內(nèi)生變量x 和殘差 v 的回歸，并用t 統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) v 的顯著性。3）如果 v 的 OLS估計(jì)量的t 統(tǒng)計(jì)量顯著， 則拒絕原假設(shè)（解釋變量是非隨機(jī)的），認(rèn)為解釋變量 x 是隨機(jī)變量；如果 v 的 OLS估計(jì)量的t 統(tǒng)計(jì)量不顯著， 則沒(méi)有充分理由拒絕原假設(shè)，即說(shuō)明解釋變量x 為非隨機(jī)的。具體操作過(guò)程如下例 已知 1978 年 -1998 年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值Y，最終消費(fèi)C1，資本形成總額K 的樣本觀測(cè)值見(jiàn)表所示 表 1978-1998年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、最終消費(fèi)和資本形成總額年份YC1K1978197919801981198219831

17、98419851986198719881989199019911992199319941995199619971998案例來(lái)源：李子奈， 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，高等教育出版社，2005 年第二版建立國(guó)民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終消費(fèi)模型C1t01Ytut由于最終消費(fèi)C1 是國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值Y 的一部分， 因此 C1 和 Y 均受到隨機(jī)誤差項(xiàng)u 的影響， 即可以認(rèn)為Y 為隨機(jī)解釋變量且與u 高度相關(guān)。我們首先用豪斯曼檢驗(yàn)來(lái)判斷Y 是否為隨機(jī)解釋變量。首先用內(nèi)生變量Y 作 K 的回歸，在估計(jì)模型窗口輸入Y C K ，點(diǎn)擊 OK，估計(jì)出回歸方程，如圖所示圖在上圖中點(diǎn)擊 Proc Make Residual Series ，建

18、立起殘差序列變量，做內(nèi)生變量 Y 和殘差 Resid01 的回歸，結(jié)果如圖所示Resid01 ，再用C1 為被解釋圖可見(jiàn)，該回歸方程的擬合程度很好，殘差Resid01 的 t 統(tǒng)計(jì)量顯著，因此可以確定變量Y為隨機(jī)解釋變量。多個(gè)解釋變量的內(nèi)生性檢驗(yàn)多個(gè)解釋變量的內(nèi)生性檢驗(yàn)原理和上述相似，在模型（7.4.4 ）中y 0 1 x12 x2 3 z1 4 z2 u（ 7.4.4）其中，假設(shè)X1， X2 是兩個(gè)內(nèi)生變量。首先分別用X1 和 X2 對(duì)所有外生變量做回歸，估計(jì)它們的誘導(dǎo)型，并得到兩個(gè)殘差序列v1 和 v2，再將殘差代入方程（）中，用 y 做內(nèi)生性變量和殘差v1 和 v2 的回歸，然后用 F

19、檢驗(yàn)在結(jié)構(gòu)方程中檢驗(yàn)這些殘差的聯(lián)合顯著性。檢驗(yàn)結(jié)果顯著則表明X1,X2 中至少有一個(gè)內(nèi)生解釋變量，被解釋的排斥性約束的數(shù)目就是被懷疑的內(nèi)生解釋變量的數(shù)目。隨機(jī)解釋變量的解決模型中出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，OLS估計(jì)量是有偏的。如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)異期相關(guān)，則可以通過(guò)增大樣本容量的辦法來(lái)得到一致的估計(jì)量；但如果是同期相關(guān)，即使增大樣本容量也無(wú)濟(jì)于事。這時(shí)，就需要尋求新的估計(jì)方法。目前主要的方法有正交回歸估計(jì)法、正反向回歸估計(jì)法、雖小特征值估計(jì)法、工具變量法等，其中工具變量法得到了最廣泛的運(yùn)用。1) 工具變量的概念出現(xiàn)了隨機(jī)解釋變量問(wèn)題時(shí)，最常用的估計(jì)方法是工具變量(instr

20、ument variables，IV) 法。它是指在模型估計(jì)過(guò)程中被作為工具使用，以代替模型中與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)的隨機(jī)解釋變量。被選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：（ 1）與所替代的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)；（ 2）與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)；（ 3）與模型中其他解釋變量不相關(guān)，以避免出現(xiàn)多重共線性。2) 工具變量法工具變量法是克服解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)影響的一種參數(shù)估計(jì)方法。它的基本思路是，當(dāng)隨機(jī)解釋變量X 與誤差項(xiàng)u 高度相關(guān)時(shí)，設(shè)法找到另外一個(gè)變量Z，它與 X 高度相關(guān)，而與u 無(wú)關(guān)，從而用Z 替換 X。變量 Z 就被稱為工具變量。（ 1）一元線性回歸模型中的工具變量法記一元線性回歸模型如下：Y

21、 Xiu，i01ii 1 2 n(7.5.1)用 OLS法估計(jì)模型 (7.5.1)式，相當(dāng)于分別用1 與 X i 去乘模型兩邊， 再對(duì) i 求和，推導(dǎo)出正規(guī)方程組Yi01X iuiYi01 X i X iui X i（ ）根據(jù)最小二乘法的假設(shè)，對(duì)于隨機(jī)誤差項(xiàng)u，有E(ui )0，Cov (X i , ui )E(xi , ui )0這意味著意味著在大樣本下i0i0（7.5.3.uiui X i）nn所以方程組（ 7.5.2）可以化成Yi01 X i0Yi01 X i X i 0（ 7.5.4 ）求解可以得到xi yiY1 X(7.5.5)10xi2但是，如果 X i 與 ui 相關(guān)，即使在大樣

22、本下，也不存在i0ui X in即 OLS估計(jì)量不具有一致性，不能用上述方法求出0, 1。如果按照工具變量的選擇條件選擇Z 為 X 的工具變量，那么在上述估計(jì)過(guò)程中不用X而改為 Z 乘以模型的兩邊， 并對(duì) i 求和。 利用工具變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)的性質(zhì)，在大樣本下可略去ui 與Zi ui ，得到ziyiY1 X（ 7.5.6）10zi2（ 2）多元線性回歸模型中的工具變量法對(duì)于多元線性回歸模型Y X1i2X2 ikXkiu，i，n（7.5.7）i01i1 2假設(shè) X 2 , X k 為隨機(jī)解釋變量且與誤差項(xiàng)u 高度相關(guān)。同時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)u 還滿足最小二乘法的其他假定條件：E ui0,Var

23、uiu2 , Cov ui , us0 ， i s, i , s 1,2,n ；Cov X ji ,ui0, j2, k ；解釋變量之間不存在多重共線性。同理，我們尋找工具變量Z2 , Zk ，它們需要滿足以下條件：必須是有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義的變量； 與它們所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)；與隨機(jī)誤差項(xiàng)u 不相關(guān)； 與多元線性回歸模型中其他解釋變量不相關(guān)；工具變量Z2 , Z k 之間不相關(guān)。除了 X 2 , X k 外，其他外生變量及常數(shù)項(xiàng)均由其自身作工具變量，可得工具變量矩陣1X 11Z 21X1X 12Z 22XZ1X1nZ 2nX31Z K 132Z K 2）（ 7.5.83 nZkn用 Z &

24、#39; 替換多元線性回歸模型參數(shù)估計(jì)量表達(dá)式X ' X1'Y 中的 X ' ，得多元線性X回歸模型工具變量法參數(shù)估計(jì)量表達(dá)式IVZ'X1Z 'Y(7.5.9)3）工具變量法估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)與總體參數(shù)真值 1 之間以一元線性回歸模型為例，用工具變量法所求的參數(shù)估計(jì)量1的關(guān)系為zi y izi Yizi (01 X i i )1zi xizi x izi x i1zi X izi izi x izi xi1zi i（ 7.5.10 ）zi x i兩邊取概率極限得Plim (1)nzii P lim( 1 )11Plim (zixi)n如果工具變量Z 選取得

25、當(dāng)，即有1Cov(Z i)0Plim (zi i ), inPlim ( 1zi xi )Cov (Z i , X i)0（ 7.5.11 ）n1因此， P lim(1 )由此可以說(shuō)明工具變量法的參數(shù)估計(jì)值是一致估計(jì)量。對(duì)于工具變量法，有以下幾點(diǎn)說(shuō)明需要注意：（ 1）在小樣本下，工具變量法估計(jì)量仍是有偏的，這是因?yàn)?1)E ( zi i ) 0E(zi i ) E (xizi xizi（7.5.12）因此，在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型時(shí)，要保證足夠大的樣本容量，從而避免參數(shù)估計(jì)量偏誤。（ 2）如果模型中有兩個(gè)以上的隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)，就必須找到兩個(gè)以上的工具變量。但是，一旦工具變量選定，它們?cè)?/p>

26、估計(jì)過(guò)程被使用的次序不影響估計(jì)結(jié)果。（ 3）在分析實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一種誤解，以為采用工具變量法是將原模型中的隨機(jī)解釋變量換成了工具變量，即改變了原來(lái)的模型。實(shí)際上， 從上面的一元線性回歸模型的例子可以看出，工具變量法并沒(méi)有改變?cè)Ｐ?，只是在原模型的參?shù)估計(jì)過(guò)程中用了工具變量來(lái)代替隨機(jī)解釋變量。（ 4）如果一個(gè)隨機(jī)解釋變量可以找到多個(gè)相互獨(dú)立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了廣義距方法(Generalizal Method of Moments, GMM)。 GMM是近年來(lái)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法發(fā)展的重要方向之一，工具變量法是GMM的一個(gè)特例，同樣OLS法也可以稱為是

27、工具變量法的特例。4）工具變量的選擇方法在實(shí)際應(yīng)用中，要找到與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)而又與隨機(jī)解釋變量相關(guān)的工具變量并不是一件很容易的事，這里介紹三種統(tǒng)計(jì)中常用的分組法來(lái)選取工具變量。對(duì)于一元線性回歸模型YiX i ui，i 1，2， n（）若選取 Z 為 X 的工具變量，并用Z 乘以上式兩邊求和，則有zi yizi xiyi ui（ 7.5.14 ）由于 z 和 u 不相關(guān)，即 Cov z,u0 ，因此有 P lim10 ，則上式可以變?yōu)閦i uinzi yibzi xi（ ）我們可以通過(guò)求出b 值，來(lái)進(jìn)一步確定工具變量。（ 1） Wald 法即將解釋變量X 從小到大進(jìn)行排列，并以中位數(shù)為界分成兩組，設(shè)Y1 , X 1, Y2 , X 2 分別為兩組樣本點(diǎn)的重心，則離差形式的斜率的估計(jì)量為bY2Y1（7.5.16）X 2X 1當(dāng)然， b 也可以通過(guò)引入工具變量Z 求得令Z11X1 中位數(shù)1否則有bY1 z1（ 7.5.17）Y1 z1（ 2） Bartler法建議首先將解釋變量X 分成三組，然后舍去中間組的n/3 個(gè)樣本，此時(shí)估計(jì)量為Y3Y1(7.5.18)bX 3X1同樣， b 的計(jì)算值也可以通過(guò)引入工具變量求得1X 1第三組7.5.17 ）Z1X1其中 b 的計(jì)算公式同（1第一組（ 3） Durbin 法建議將解釋變量的序號(hào)作為工具變量，此時(shí)則有Yib