[研究生入學(xué)考試]數(shù)學(xué)沖刺講義全部

1、.高 等 數(shù) 學(xué)-劉德蔭1.微積分中幾個(gè)重要概念考綱要求理解函數(shù)、極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微、可積等幾個(gè)重要概念.一、 函數(shù)設(shè)D是維空間中一個(gè)點(diǎn)集. 惟一. 或 當(dāng)時(shí),稱為一元函數(shù),當(dāng)時(shí),稱為多元函數(shù).二、 函數(shù)的極限設(shè) 使當(dāng)?shù)囊磺悬c(diǎn)恒有則稱是當(dāng)時(shí)的極限.記作 注：極限定義的要點(diǎn)，自變量的變化方式與路徑無關(guān),與趨向點(diǎn)處函數(shù)的取值無關(guān)。若 則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).三、導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)存在兩種都要會(huì)的導(dǎo)數(shù)表示曲線在處切線的斜率.切線方程二元函數(shù)存在存在四、微分與全微分寫法1.線性改變部分2.3.縱坐標(biāo)的改變量一元函數(shù)：二元函數(shù)： 五、積分 四個(gè)過程 三個(gè)兩（有界，任意）設(shè)是中有界閉區(qū)域上的有界函數(shù).（1

2、）分割（2）近似代替（3）求和（4）取極限若極限存在且與的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱I是f在“積分域”上的積分，并稱f在上可積，其特例是：1定積分2曲線積分 3二重積分是平面區(qū)域4曲面積分是曲面塊5三重積分是空間區(qū)域一元函數(shù) 可導(dǎo)可微連續(xù)有定義有極限可積多元函數(shù)有定義有極限連續(xù)可微方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在可積偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)例題與練習(xí)題1.1設(shè)其中是有界函數(shù). 則 ( D )（A）極限不存在（B）極限存在但不連續(xù)（C）連續(xù)但不可導(dǎo)（D）可導(dǎo)1.2設(shè)連續(xù)，則a =.1.3設(shè)證明不存在.1.4求1.5證明在(0, 0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，但極限不存在.1.6證明在(0, 0)點(diǎn)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微.1.7二

3、元函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處可微的一個(gè)充分條件是（）（A）（B）（C）（D）例題與練習(xí)題答案或提示1.1 （D）1.221.31.41.5利用偏導(dǎo)數(shù)定義1.6利用極限定義和偏導(dǎo)數(shù)定義1.7（C）2.極限的運(yùn)算正確求出各種極限，是考試的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，判斷函數(shù)是否連續(xù)的實(shí)質(zhì)也是極限，求極限的常用的方法有：一、 利用極限的四則運(yùn)算法則；二、 利用極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則；三、 利用兩個(gè)重要極限；四、 利用洛必達(dá)法則；五、 利用無窮小量代換及泰勒公式；六、 利用導(dǎo)數(shù)和定積分定義等.例題與練習(xí)題2.1 設(shè)試證數(shù)列極限存在，并求此極限.2.2 設(shè) 求.2.3 求2.4 求2.5 求2.6 求2.7 求2.8 求2.9

4、求2.10 當(dāng)時(shí)與等價(jià)的無窮小量是（）（A）（B）（C）（D）2.11 求記此極限為，求的間斷點(diǎn)，并指出其類型.2.12 若，b=.2.13 曲線漸近線的條數(shù)為 ( )（A）0（B）1（C）2（D）32.14 已知內(nèi)可導(dǎo)，且求C的值.例題與練習(xí)題答案或提示2.1 利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則”來證：2.2 利用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則”證明2.3 利用夾逼準(zhǔn)則來證，極限值為2.42.52.6 12.72.8 利用定積分定義，極限值為2.9 12.10 （B）2.11 第一類可去型間斷點(diǎn) 第二類無窮型間斷點(diǎn).2.122.13 （D）2.143.微分法微分法是微積分中最重要的一部分內(nèi)容，也是考

5、試的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，考試的題型有：一、會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)的可導(dǎo)性.二、求復(fù)合函數(shù)，隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分（包括高階導(dǎo)數(shù)）.三、求二元、三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，全微分.四、求復(fù)合函數(shù)，隱函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù).五、求二元、三元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度.（數(shù)學(xué)一）例題與練習(xí)題3.1已知.3.2設(shè)為連續(xù)函數(shù).3.3設(shè).3.4設(shè)方程確定y為x的函數(shù)，則.3.5設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，則.3.6設(shè).3.7設(shè).3.8設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)分別由下列兩式確定3.9設(shè)由方程組.3.10設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 又 求 .3.11已知 確定 其中均有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求證.3.12設(shè)求

6、例題與練習(xí)題答案或提示3.13.23.33.43.53.63.73.83.93.103.11令 利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則來證明3.124.中值定理本節(jié)中值定理包含有下列定理：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有介值定理和零點(diǎn)定理，微分中值定理有羅爾定理，拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理以及定積分中值定理，考生要記住定理的條件和結(jié)論，并能應(yīng)用這些定理來證明有關(guān)命題.常見題目類型有：一、 對(duì)于連續(xù)函數(shù)，證明存在使.二、 證明有函數(shù)的差值（或差值比）出現(xiàn)的等式或不等式.三、 證明存在兩個(gè)中值使某等式成立.四、 證明的問題是利用高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)推出函數(shù)的某性質(zhì).例題與練習(xí)題4.1 設(shè)函數(shù)在0，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且

7、 試證：（1）存在 （2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，存在（0，）使f=1.4.2 設(shè)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且 試證：存在使 4.3 設(shè)上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：存在4.4 設(shè)在上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：存在，使4.5 設(shè)在上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且時(shí)，試證：對(duì)任意正整數(shù)k，存在，使4.6 設(shè)，上連續(xù)，在（a, b）內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使4.7 設(shè)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：存在.4.8 設(shè)函數(shù)上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在4.9 設(shè)內(nèi)有是（a, b）內(nèi)相異的三點(diǎn)，求證4.10 設(shè)上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且滿足，證明：至少存在一點(diǎn)，使4.11 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且存在相

8、等的最大值，證明：存在，使得.例題與練習(xí)題答案或提示4.1（1）令用零點(diǎn)定理（2）令用羅爾定理4.2令用羅爾定理4.3令，其中用羅爾定理4.4令用羅爾定理4.5令用羅爾定理4.6令用羅爾定理4.7令在a, b上用拉格朗日定理.4.8令在a, b 上用柯西中值定理.4.9令將處展開成一階泰勒公式，將三式相加可得結(jié)論.4.10先用積分中值定理，后令上用羅爾定理.4.11令 由零點(diǎn)定理知在分別用羅爾定理，得上用羅爾定理可證5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)，求極值和最值是考綱中要求考生掌握的內(nèi)容，也是考試的熱點(diǎn).常見的題目類型有：一、 證明某函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)；二、 給出導(dǎo)函數(shù)的圖形，要求判

9、斷函數(shù)的某些性態(tài)；三、 給出函數(shù)的圖形來判斷導(dǎo)函數(shù)的圖形；四、 求函數(shù)的極值、拐點(diǎn)、圖形的漸近線；五、 利用單調(diào)性（或拉格朗日中值定理或最值）證明不等式；六、 設(shè)由某含有參變量a的曲線和其他曲線所圍成的區(qū)域D；1、D的面積為S，求當(dāng)a為何值時(shí)S達(dá)到最大（或最小）2、D繞x（或y）軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積為V，求當(dāng)a為何值時(shí)，V達(dá)到最大（或最?。?七、 二元函數(shù)的極值、最值問題.例題與練習(xí)題5.1設(shè)，則（）（A）的極值點(diǎn)，但（0，0）不是曲線的拐點(diǎn).（B）的極值點(diǎn)，但（0，0）是曲線的拐點(diǎn).（C）的極值點(diǎn)，且（0，0）是曲線的拐點(diǎn).（D）的極值點(diǎn)，（0，0）也不是曲線的拐點(diǎn).5.2設(shè) 求證5.3證

10、明：當(dāng)時(shí)， 5.4證明不等式：當(dāng)時(shí)，5.5求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.5.6設(shè)D是位于曲線下方，x軸上方的無界區(qū)域.（1）求區(qū)域D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，最小？并求此最小值.5.7已知拋物線 （其中在第一象限內(nèi)與直線相切，且此拋物線與x軸所圍成的平面圖形的面積為S，求（1）為何值時(shí)，S達(dá)到最大值？（2）求出此最大值.5.8函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.5.9求點(diǎn)（3，0）到拋物線的最短距離.5.10在橢圓上求一點(diǎn)，使其到直線的距離最短.例題與練習(xí)題答案或提示5.1 (C)5.2 令利用單調(diào)性5.3 令利用單調(diào)性5.4 令 利用單調(diào)性5.5 求出函數(shù)駐點(diǎn)處的函數(shù)數(shù)值與邊

11、界上的函數(shù)的最值比較可得在D上的最大值為8，最小值為0.5.6 （1）（2）最小體積為5.7 （1）時(shí)，S達(dá)到最大值（2）5.85.95.106.積分法（1）同微分法一樣積分法也是微積分中的重要內(nèi)容，也是考試的重點(diǎn)與熱點(diǎn).考試的題型有：一、 對(duì)原函數(shù)、不定積分、定積分、反常積分等概念的理解上的有關(guān)題目；二、 求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分；三、 關(guān)于變上限積分函數(shù)的有關(guān)問題；四、 利用定積分求平面圖形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積等；五、 計(jì)算二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）例題與練習(xí)題6.1.6.2.6.36.4求6.5.6.6已知且，則.6.7設(shè)的一個(gè)原函數(shù)，求.6.8設(shè)，則.6.9.6

12、.10設(shè) 則.6.11設(shè)連續(xù)，且，已知 求的值.6.12計(jì)算6.13已知曲線L的方程（1）討論L的凹凸性；（2）過點(diǎn)（-1，0）引L的切線，求切點(diǎn)并寫出切線的方程；（3）求此切線與L（對(duì)應(yīng)于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.6.14設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分 其中6.15計(jì)算 其中6.16交換二次積分的積分次序.6.17交換二次積分的積分次序.6.18設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，并設(shè)，求例題與練習(xí)題答案或提示6.16.26.36.46.56.66.76.86.96.106.116.126.13(1) L上凸（2）（3）6.146.156.166.176.187.常微分方程本節(jié)主要有兩個(gè)問題一、根據(jù)實(shí)際問題

13、所給的條件建立有自變量，未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程，以及相應(yīng)的初始條件；二、求解方程，包括方程的通解和滿足初始條件的特解.例題與練習(xí)題7.1微分方程的通解為.7.2已知曲線過點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率為，則.7.3微分方程滿足的特解為.7.4求的通解7.5微分方程的通解為.7.6函數(shù)滿足的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為.7.7設(shè)，其中連續(xù)，求.7.8若連續(xù)，滿足，則= .7.9已知是某二階常系數(shù)非齊次線性方程的三個(gè)解，求此微分方程及其通解.7.10求通過點(diǎn)（3，0）的曲線方程，使曲線上任意點(diǎn)處切線與y軸之交點(diǎn)與切點(diǎn)的距離等于此交點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.7.11設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，若曲線，直線與x軸圍成

14、平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積，試求所滿足的微分方程，并求的解.例題與練習(xí)題答案或提示7.17.27.37.47.57.67.77.87.97.107.118.無窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一，三）無窮級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的研究中都是有效的工具，它是一個(gè)函數(shù)或一個(gè)數(shù)的另一種表達(dá)形式，本節(jié)包含數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)兩部分內(nèi)容.主要考查的內(nèi)容是：一、 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性及求冪級(jí)數(shù)的收斂域；二、 將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)；三、 求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和或某些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；四、 將函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，收斂定理.例題與練習(xí)題8.1設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為（）（A）（B）（C）（D）8.2設(shè)a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)（）（A）絕對(duì)

15、收斂（B）條件收斂（C）發(fā)散（D）收斂性與a的取值有關(guān)8.3判斷級(jí)數(shù)的斂散性.8.4判斷級(jí)數(shù)的斂散性.8.5求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).8.6求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).8.7將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和.8.8將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.8.9設(shè)，則.例題與練習(xí)題答案或提示8.1 （D）8.2 （C）8.3 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散8.4 收斂8.5 收斂域?yàn)?1，1和函數(shù)8.6 收斂域-2，2) 8.78.88.9 19.向量代數(shù)和空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）本節(jié)的重點(diǎn)是向量的概念，向量的幾種運(yùn)算；線性運(yùn)算，數(shù)量積，向量積和混合積；平面與直線的各種方程以及直線與直線、平面

16、與平面、直線與平面的關(guān)系等.通過對(duì)歷年試題歸類分析可知，本節(jié)考試題型有：一、 求向量的數(shù)量積，向量積及直線或平面的方程二、 與多元微分學(xué)在幾何上應(yīng)用相關(guān)的題目注二次曲面的知識(shí)到目前為目，尚未單獨(dú)命題考查，但在二重積分，曲面積分中將用到它所以也應(yīng)復(fù)習(xí)，知道每種方程表示什么曲面.例題與練習(xí)題9.1已知，則（）（A）2（B）（C）（D）19.2點(diǎn)（2，1，0）到平面的距離.9.3過點(diǎn)且與直線 垂直的平面方程是.9.4兩直線與的夾角為（）（A）（B）（C）（D）9.5曲面與平面平行的切平面方程是.9.6曲面在點(diǎn)（1，-2，2）的法線方程為.9.7由曲線 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位

17、法向量為.例題與練習(xí)題答案或提示9.1 （A）9.29.39.4 （B）9.59.69.710.積分法（2）（數(shù)學(xué)一）本節(jié)內(nèi)容包括三重積分，曲線積分與曲面積分等，其重點(diǎn)內(nèi)容是：上述積分的概念和性質(zhì)；三重積分的計(jì)算；格林公式以及平面上曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件，并會(huì)利用它們計(jì)算曲面積分；高斯公式與斯托克斯公式；場論初步；上述積分在幾何與物理上的應(yīng)用.本節(jié)?？嫉牡湫皖}型有：一、 三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）二、 對(duì)弧長和對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算，格林公式及其應(yīng)用三、 對(duì)面積和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算，高斯公式及其應(yīng)用四、 梯度、散度、旋度的綜合計(jì)算五、 利用上述積分求幾何量與物理量

18、（體積、曲面面積、弧長、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）例題與練習(xí)題10.1計(jì)算，其中是由曲線與所圍成的區(qū)域.10.2計(jì)算三重積分，其中是由曲線 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與所圍成的立體.10.3計(jì)算，其中.10.4設(shè)L為，其周長為a，求10.5計(jì)算曲線積分，其中L是曲線 從z軸正向往負(fù)向看L方向是順時(shí)針方向.10.6計(jì)算曲線積分其中L是以點(diǎn)（1，0）為中心，R為半徑的圓周（R1）取逆時(shí)針方向.10.7設(shè)試確定使并求.10.8計(jì)算曲面積分其中是球面10.9計(jì)算曲面積分其中是曲面 的上側(cè).10.10求八分之一的球面的邊界曲線的質(zhì)心,設(shè)曲線的線密度.10.11 算其中L是平面與柱面的交

19、線,從軸正向看去,L為逆時(shí)針方向.10.12 量場在點(diǎn)處散度 .10.13 向量場,則 .10.14 設(shè)數(shù)量場則 .例題與練習(xí)題答案或提示10.1 . 提示 10.2 . 提示：旋轉(zhuǎn)曲面方程為.10.3 提示：設(shè)L在第一象限內(nèi)為L1. .10.4 12a. 提示：.10.5 -2. 提示：的參數(shù)方程為10.6 . 提示：作足夠小橢圓。C取逆時(shí)針方向，在上用格林公式來解.10.7提示：先求10.8提示：將分成上半球面和下半球面，分別計(jì)算曲面積分.10.9.提示：加曲面.下側(cè)為正,用高斯公式.10.10 .10.11 -24. 提示：利用斯托克斯公式化為曲面積分.10.12 2. 10.13 .1

20、0.14 .線 性 代 數(shù)-尤承業(yè)第一講 矩陣一、初等變換和初等變換法1. 矩陣的初等變換矩陣的初等變換應(yīng)用在兩個(gè)方面: 線性方程組的解的情況討論和求解.對(duì)增廣矩陣作初等行變換反映了方程組的同解變換. 計(jì)算秩.初等行變換和初等列變換都保持矩陣的秩.每一種應(yīng)用都要通過同一種操作:用初等變換把一個(gè)矩陣化為階梯形矩陣.階梯形矩陣:一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足: 如果它有零行,則都出現(xiàn)在下面. 如果它有非零行,則每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的列號(hào)自上而下嚴(yán)格單調(diào)遞增.(即每一行左邊的0的個(gè)數(shù)從上到下嚴(yán)格單調(diào)上升,直到都為0.)把階梯形矩陣的每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的位置稱為臺(tái)角.簡單階梯形

21、矩陣:是特殊的階梯形矩陣,特點(diǎn)為:臺(tái)角位置的元素為1.臺(tái)角正上方的元素都為0.每個(gè)矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣,每個(gè)階梯形矩陣又可以用初等行變換化為簡單階梯形矩陣.可逆矩陣可用初等行變換把它變?yōu)閱挝痪仃嚒?. 初等變換法（1）克萊姆法則 當(dāng)線性方程組的方程數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n (即系數(shù)矩陣A為n階矩陣)時(shí), |A|不等于0方程組有唯一解求解的初等變換法:對(duì)增廣矩陣(A|b)作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃? (A|b)(E|h),h就是解. (2)兩種基本形式的矩陣方程:(I) AX=B. (II) XA=B.這里假定A是行列式不為0的n階矩陣,在此條件下,這兩個(gè)方程的解都是存在并且唯一

22、的.(否則解的情況比較復(fù)雜.)設(shè) B=(b1, b2,bs),則 X也應(yīng)該有s列,記X=(X1,X2,Xs),則有AXi=bi,i=1,2,s,這是s個(gè)線性方程組.由克萊姆法則,它們都有唯一解,從而AX=B有唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是A,可同時(shí)求解,即得(I)的解法:將A和B并列作矩陣(A|B),對(duì)它作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時(shí)B變?yōu)榻釾. (A|B)(E|X)(II)的解法:對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式:ATXT=BT.再用解(I)的方法求出XT,轉(zhuǎn)置得X. (AT|BT)(E|XT)(3) 當(dāng)A可逆時(shí), A-1是矩陣方程AX=E的解,于是可用初等行變換求A-1:(A|E)(E|

23、A-1)這個(gè)方法稱為求逆矩陣的初等變換法.二、矩陣乘法的兩個(gè)規(guī)律及其應(yīng)用1.兩個(gè)規(guī)律設(shè)A是mn矩陣B是ns矩陣. A的列向量組為a1,a2,an,B的列向量組為b1, b2,bs, AB的列向量組為g1, g2,gs,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形): AB的每個(gè)列向量為:gi=Abi,i=1,2,s.即A(b1, b2,bs)= (Ab1,Ab2,Abs). b=(b1,b2,bn)T,則Ab= b1a1+b2a2+bnan.2.矩陣分解:當(dāng)一個(gè)矩陣C的每個(gè)列向量都是另一個(gè)A的列向量組的線性組合時(shí),可以構(gòu)造一個(gè)矩陣B,使得C=AB. 例如設(shè)A=(a,b,g), C=(a

24、+2b-g,3a-b+g,a+2g),令 1 3 1 B= 2 -1 0 ,則C=AB. -1 1 23.乘積矩陣的列向量和行向量乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量gi是A的列向量組a1, a2,an的線性組合,組合系數(shù)就是B的第i個(gè)列向量bi的各分量.類似地, 乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數(shù)就是A的第i個(gè)行向量的各分量.在許多情況下，可利用這兩個(gè)事實(shí)求乘積矩陣AB：如果B的元素很簡單，可直接寫出AB的列向量，如果A的元素很簡單，可直接寫出AB的列向量，4.對(duì)角矩陣和初等矩陣在乘法中的作用如果一個(gè)對(duì)角矩陣在矩陣乘法中處于右側(cè),等同于用它對(duì)角線上各數(shù)依次乘左邊矩陣A的各列向

25、量; 如果對(duì)角矩陣處于左側(cè),等同于用它對(duì)角線上各數(shù)依次乘右邊矩陣A的各行向量.初等矩陣在右(左)邊乘一個(gè)矩陣A,等同于對(duì)A作一次相應(yīng)的初等列(行)變換.三、可逆矩陣判斷n階矩陣A是可逆矩陣|A|0r(A)=n AX=b唯一解(AX=0只有零解)0不是A的特征值.四、矩陣等式的恒等變形用到各類運(yùn)算規(guī)律.乘法無交換律和消去律.可逆矩陣在乘法中有消去律.可逆矩陣在等式中可移到另一側(cè)(換為逆).A*A=AA*=|A|E.右肩符號(hào)“T”“k”“-1”“*”兩兩可交換先后次序. 例題例1(2006)設(shè)A是3階矩陣,將A的第2行加到第1行上得B,將B的第1列的-1倍加到第2列上得C.記 1 1 0 P= 0

26、 1 0 ,則 0 0 1(A) C=P-1AP.(B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT.例2 設(shè)A 是n階非零實(shí)矩陣,滿足A*=AT.證明:(1)|A|0.(2)如果n2,則 |A|=1.例3 (2005)設(shè)矩陣A=(aij)33滿足A*=A T,a11,a12,a13為3個(gè)相等的正數(shù),則它們?yōu)?A) .(B) 3. (C)1/3. (D) . 例4 (2005)設(shè)A為3階矩陣, a1,a2,a3是線性無關(guān)的3維列向量組,滿足Aa1=a1+a2+a3, Aa2=2a2+ a3, Aa3=2a2+3a3.求作矩陣B,使得A(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3

27、)B. 例5(2005)設(shè)3階矩陣A=(a1,a2,a3),|A|=1,B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a3),求|B|.例6(2006)已知a1,a2為2維列向量,矩陣A=(2a1+a2, a1-a2),B=(a1, a2).若|A|=6,則|B|=( ).例7(2001)設(shè)A 是3階矩陣, a 是3維列向量,使得P=(a,Aa,A2a)可逆,并且A3a=3Aa-2A2a.又3階矩陣B滿足A=PBP-1. 求B.例8 3 0 0 1 0 0 已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11. 2 1 3 0 0 -1例9(1997

28、)設(shè)3階矩陣A 有3個(gè)特征向量h1=(1,2,2)T，h2=(2,-2,1)T，h3=(-2,-1,2)T，它們的特征值依次為1,2,3,求A例10 設(shè)n階矩陣A滿足A2+3A-2E=0.(1)證明A可逆.(2)證明對(duì)任何整數(shù)c,A-cE可逆.例11 設(shè)A是mn矩陣,B是nm矩陣,證明 Em-AB可逆 En-BA可逆.例12 設(shè)n階矩陣A,B滿足AB=aA+bB.其中ab0,證明(1) A-bE和B-aE都可逆.(2) A可逆 B可逆.(3) AB=BA. 例13 設(shè)A,B都是n階對(duì)稱矩陣, E+AB可逆,證明(E+AB)-1A也是對(duì)稱矩陣.例14 設(shè)A,B都是n階矩陣使得A+B可逆,證明B(

29、A+B)-1A=A(A+B)-1B.(1) 設(shè)AB=BA,證明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 設(shè)A,B都可逆,證明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 證明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B的成立不要任何條件.例15 設(shè)A,B都是n階對(duì)稱矩陣,并且A可逆,證明:矩陣方程AX=B與XA=B的解相同 AB=BA.第二講 向量組的線性關(guān)系和方程組一、線性表示關(guān)系1.設(shè)a1,a2,as是一個(gè)如果n維向量組.如果n維向量b等于a1,a2,as的一個(gè)線性組合，就說b可以用a1,a2,as線性表示.判別“b是否可以用a1, a2,as線性表示? 表示方式是否唯一？”就是問：向量

30、方程x1a1+ x2a2+xsas=b是否有解？解是否唯一？這個(gè)向量方程用分量寫出就是以(a1, a2,as |b)為增廣矩陣的線性方程組.反之,判別“線性方程組AX=b是否有解？解是否唯一？”的問題又可轉(zhuǎn)化為“b是否可以用A的列向量組線性表示? 表示方式是否唯一？”的問題.2.如果n維向量組b1, b2,bt 中的每一個(gè)都可以用a1,a2,as線性表示,就說向量b1,b2,bt可以用a1,a2,as線性表示. 向量組之間的線性表示問題與矩陣乘法有密切關(guān)系: 乘積矩陣AB的每個(gè)列向量都可以表示為A的列向量組的線性組合,從而AB的列向量組可以用A的列向量組線性表示;反之,如果向量組b1,b2,b

31、t可以用a1,a2,as線性表示,則矩陣(b1,b2,bt)等于矩陣(a1,a2,as)和一個(gè)st矩陣C的乘積. C可以這樣構(gòu)造: 它的第i個(gè)列向量就是bi對(duì)a1,a2,as的分解系數(shù)(C不是唯一的).向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性.3. 當(dāng)向量組a1,a2,as 和b1,b2,bt互相都可以表示時(shí),就說它們等價(jià),并記作a1,a2,as b1,b2,bt.等價(jià)關(guān)系也有傳遞性.二、向量組的線性相關(guān)性1. 意義與定義線性相關(guān)性是描述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念,它是討論向量組a1, a2,as 中有沒有向量可以用其它向量線性表示的問題.如果沒有,就說它們線性無關(guān),如果有(不必每個(gè))向量可以用其它向量線性表示

32、,就說它們線性相關(guān).定義 設(shè)a1,a2,as 是n維向量組,如果存在不全為0的一組數(shù)c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,則說a1,a2,as 線性相關(guān),否則(即要使得c1a1+c2a2+csas=0,必須c1,c2,cs全為0)就說它們線性無關(guān). 于是, a1,a2,as “線性相關(guān)還是無關(guān)”也就是向量方程x1a1+ x2a2+xsas=0“有沒有非零解”,也就是以(a1,a2,as )為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有無非零解.當(dāng)向量組中只有一個(gè)向量(s=1)時(shí),它相關(guān)(無關(guān))就是它是(不是)零向量.兩個(gè)向量的相關(guān)就是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例.2. 性質(zhì)(1) 當(dāng)向量的個(gè)數(shù)s大于維

33、數(shù)n時(shí), a1, a2,as 一定線性相關(guān).如果向量的個(gè)數(shù)s等于維數(shù)n,則 a1, a2,an線性相關(guān)| a1, a2,an|=0.(2) 線性無關(guān)向量組的每個(gè)部分組都無關(guān)(從而每個(gè)向量都不是零向量). (3) 如果a1,a2,as 線性無關(guān),則：a1,a2,as ,b線性相關(guān) b可用a1,a2,as 線性表示.(4) 如果b可用a1,a2,as 線性表示,則表示方式唯一a1,a2,as 線性無關(guān).(5) 如果b1,b2,bt可以用a1,a2,as 線性表示，并且ts,則b1,b2,bt線性相關(guān).三、向量組的極大無關(guān)組和秩1. 定義向量組的秩是刻畫向量組相關(guān)“程度”的一個(gè)數(shù)量概念.它表明向量組

34、可以有多大(指包含向量的個(gè)數(shù))的線性無關(guān)的部分組.定義 設(shè)a1,a2,as 是n維向量組,(I)是它的一個(gè)部分組.如果 (I) 線性無關(guān). (I) 再擴(kuò)大就線性相關(guān). 就稱(I)為a1,a2,as 的一個(gè)極大無關(guān)組.條件可換為:任何ai都可用(I) 線性表示,也就是(I) 與a1,a2,as 等價(jià).當(dāng)a1,a2,as 不全為零向量時(shí),它就存在極大無關(guān)組,并且任意兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià),從而包含的向量個(gè)數(shù)相等.定義 如果a1,a2,as 不全為零向量,則把它的極大無關(guān)組中所包含向量的個(gè)數(shù)(是一個(gè)正整數(shù))稱為a1,a2,as 的秩,記作r(a1,a2,as).如果a1,a2,as 全是零向量,則規(guī)定

35、r(a1,a2,as)=0. 由定義得出: 如果r(a1,a2,as)=k,則 a1,a2,as 的一個(gè)部分組如果含有多于k個(gè)向量,則它一定的相關(guān). a1,a2,as 的每個(gè)含有k個(gè)向量的線性無關(guān)部分組一定是極大無關(guān)組.2. 應(yīng)用 (1)a1,a2,as 線性無關(guān) r(a1,a2,as)=s.(2) b可用a1,a2,as 線性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as).(事實(shí)上若b不可用a1,a2,as 線性表示,則r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)+1.)(3) b可用a1,a2,as 唯一線性表示r(a1,a2,as,b)=r(a1,a2,as)=s.(4)b

36、1,b2,bt可以用a1,a2,as 線性表示 r(a1,a2,as,b1,b2,bt)=r(a1,a2,as).推論: 如果 b1,b2,bt可以用a1,a2,as線性表示,則 r(b1,b2,bt)r(a1, a2, ,as ).(5) a1,a2,as和b1,b2,bt等價(jià) r(a1,a2,as)= r(a1,a2,as, b1,b2,bt)= r(b1,b2,bt).四、秩的計(jì)算,有相同線性關(guān)系的向量組兩個(gè)向量個(gè)數(shù)相同的向量組a1,a2,as,和 b1,b2,bs稱為有相同線性關(guān)系,如果向量方程x1a1+x2a2+xsas=0和x1b1+x2b2+xsbs=0同解,即齊次線性方程組(a

37、1,a2,as)X=0和( b1,b2,bs)X=0同解.當(dāng)a1,a2,as和 b1,b2,bs有相同線性關(guān)系時(shí),(1)它們的對(duì)應(yīng)部分組有一致的線性相關(guān)性.(2)它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而它們的秩相等.(3)它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系.例如,當(dāng)A經(jīng)過初等行變換化為B時(shí), AX=0和BX=0同解,從而A的列向量組和B的列向量組有相同線性關(guān)系.于是它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng),秩相等.這樣,就產(chǎn)生了計(jì)算一個(gè)向量組a1,a2,as的秩和極大無關(guān)組的方法:把此向量組作為列向量組構(gòu)造矩陣(a1,a2,as),用初等行變換把它化為階梯形矩陣B,則B的非零行數(shù)就是a1,a2,as的秩, B的各臺(tái)角所在列號(hào)對(duì)應(yīng)

38、的部分組是a1,a2,as的的一個(gè)極大無關(guān)組. 五、矩陣的秩1. 定義一個(gè)矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等,稱此數(shù)為矩陣A的秩,記作r(A).于是r(A)=0 A=0.如果A是mn矩陣,則r(A)Minm,n.當(dāng)r(A)=m時(shí),稱A為行滿秩的; 當(dāng)r(A)=n時(shí),稱A為列滿秩的.對(duì)于n階矩陣A,則行滿秩和列滿秩是一樣的,此時(shí)就稱A滿秩.于是:n階矩陣A滿秩r(A)=n(即A的行(列)向量組無關(guān))|A|0A可逆.矩陣的秩還可以用它的非0子式來看.A的r階子式:任取 A的r行和r列,在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式,如果它的值不為0,就稱為非0子式.命題 r(A)就是A的非0子式的階數(shù)

39、的最大值.(即A的每個(gè)階數(shù)大于r(A)的子式的值都為0,但是A有階數(shù)等于r(A)的非0子式.)2. 計(jì)算命題 初等變換保持矩陣的秩. 階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù). 矩陣秩的計(jì)算:用初等變換將其化為階梯形矩陣,則此階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩.3. 在矩陣運(yùn)算中,矩陣的秩有性質(zhì) r(A T)=r(A). 如果c不為0,則r(cA)=r(A). r(AB)r(A)+r(B). r(AB)Minr(A),r(B). 當(dāng)A(或B)可逆時(shí),r(AB)=r(B)(或r(A). 如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)n. 如果A列滿秩(r(A)等于列數(shù)),則r(AB)=r

40、(B).六、線性方程組解的情況的判別1.對(duì)于方程組AX=b,判別其解的情況用三個(gè)數(shù):未知數(shù)的個(gè)數(shù)n,r(A),r(A|b). 無解r(A )r(A|b). 有唯一解r(A )=r(A|b)=n. (當(dāng)A是方陣時(shí),就推出克萊姆法則.) 有無窮多解r(A )=r(A|b)n.方程的個(gè)數(shù)m雖然在判別公式中沒有出現(xiàn),但它是r(A)和r(A|b)的上界,因此當(dāng)r(A)=m時(shí), AX=b一定有解.當(dāng)mn時(shí),一定不是唯一解.2.對(duì)于齊次方程組AX=0,判別解的情況用兩個(gè)數(shù): n,r(A).有非零解 r(A )=n(即:只有零解r(A )=n).七、齊次方程組的基礎(chǔ)解系 如果齊次方程組AX=0有非零解,則它的

41、解集(全部解的集合)是無窮集,稱解集的每個(gè)極大無關(guān)組為AX=0的基礎(chǔ)解系.于是, 當(dāng)h1, h2,hs是AX=0的基礎(chǔ)解系時(shí):向量h是AX=0的解h可用h1, h2,hs線性表示.定理 設(shè)AX=0有n個(gè)未知數(shù),則它的基礎(chǔ)解系中包含解的個(gè)數(shù)(即解集的秩)=n-r(A ).于是,判別一組向量h1, h2,hs是AX=0的基礎(chǔ)解系的條件為 h1, h2,hs是AX=0的一組解. h1, h2,hs線性無關(guān). s=n-r(A ). 例題例16(2006) a1,a2,as 都是n維向量，A是mn矩陣，下列選項(xiàng)中正確的是（ ）.(A) 若a1,a2,as線性相關(guān),則Aa1,Aa2,Aas線性相關(guān).(B)

42、 若a1,a2,as線性相關(guān),則Aa1,Aa2,Aas線性無關(guān).(C) 若a1,a2,as線性無關(guān),則Aa1,Aa2,Aas線性相關(guān).(D) 若a1,a2,as線性無關(guān),則Aa1,Aa2,Aas線性無關(guān). 例17(2006) 設(shè) a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2), a3=(3,3,3+a,3), a4=(4,4,4,4+a).問a為什么數(shù)時(shí)a1,a2,a3,a4線性相關(guān)?在a1,a2,a3,a4線性相關(guān)時(shí)求其一個(gè)極大線性無關(guān)組,并且把其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.例18 設(shè)a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1-b)，問a,b滿足

43、什么條件時(shí)r(a1,a2,a3)=2?例19設(shè)a1=(1,2,0,1) , a2 =(1,1,-1,0), a3=(0,1,a,1),g1=(1,0,1,0),g2=(0,1,0,2).a 和k取什么值時(shí), g1+kg2可用a1,a2,a3線性表示?寫出表示式.例20(2000) 設(shè)a1=(1,2,-3)，a2=(3,0,1)，a3=(9,6,-7)，b1=(0,1,-1)，b2=(a,2,1)，b3=(b，1，0)已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3線性表示，求a,b.例21(2005)求常數(shù)a,使得向量組a1=(1,1,a),a2=(1,a,1)

44、,a3=(a,1,1)可由向量組b1=(1,1,a),b2=(-2,a,4),b3=(-2,a,a)線性表示,但是b1, b2, b3不可用a1,a2,a3線性表示. 例22 (2003)給定向量組() a1=(1,0,2)，a2=(1,1,3)，a3=(1,-1,a+2)和()b1=(1,2, a+3)，b2=( 2,1 ,a+6)，b3=(2,1,a+4)當(dāng)a為何值時(shí)()和()等價(jià)? a為何值時(shí)()和()不等價(jià)?例23設(shè) a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10).它們的下列部分組中,是極大無關(guān)組

45、的有哪幾個(gè)?(1) a1,a2,a3. (2) a1,a2,a4. (3) a1,a2,a5. (4) a1,a3,a4.例24(1995)已知r(a1,a2,a3)=r(a1,a2,a3,a4)=3,r(a1,a2,a3,a4,a5)=4，求r(a1,a2,a3,a4-a5 )例25已知b可用a1,a2,as 線性表示，但不可用a1,a2,as-1線性表示證明 as不可用a1,a2,as-1線性表示； as可用a1,a2,as-1,b線性表示例26(2004) a1,a2,a3,b線性無關(guān),而a1,a2,a3,g線性相關(guān),則(A) a1,a2,a3,cb+g線性相關(guān).(B) a1,a2,a3

46、,cb+g線性無關(guān).(C) a1,a2,a3,b+cg線性相關(guān).(D) a1,a2,a3,b+cg線性無關(guān).例27 a b -3 b-1 a 13階矩陣A= 2 0 2 ，B= -1 1 0 ，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和 3 2 -1 0 2 1 r(AB).例28 (1997) 設(shè) a1，a2，a3 線性無關(guān)，則( )線性無關(guān)： a1+a2，a2+a3，a3-a1； a1+a2，a2+a3， a1+2a2+a3； a1+2a2，2a2+3a3，3a3+a1； a1+a2+a3，2a1-3a2+22a3，3a1+5a2-5a3 (97三)例29 設(shè)a1,a2 ,as是n維

47、向量組.證明r(a1,a2 ,as)=n的充分必要條件為:任何n維向量都可用a1,a2,as線性表示. 例30 證明矩陣方程AX=B有解r(A|B)=r(A).例31(2002) 設(shè)矩陣A=(a1,a2,a3,a4),其中a2,a3,a4線性無關(guān), a1=2a2-a3.又設(shè)b=a1+a2+a3+a4,求AX=b的通解.例32(2005) 1 2 3已知3階矩陣A的第一行為(a,b,c),a,b,c不全為0, 矩陣 B= 2 4 6 ,并且A B=0, 3 6 k求齊次線性方程組A X=0的通解. 例33已知 x1=(1,1,-1,-1)T和x2=(1,0,-1,0)T是線性方程組 x1+ x2

48、 -x3 +x4=2，x2 +px3+qx 4=s, 2x1+tx2-x3+tx 4=r 的解,=(2,-2,1,1)T是它的導(dǎo)出組的解,求方程組的通解.例34 設(shè)()和()是兩個(gè)四元齊次線性方程組,()是將它們合并而得到的方程組.已知(1,0,1,1)T,(-1,0,1,0)T,(0,1,1,0)T是()的一個(gè)基礎(chǔ)解系,(0,1,0,1)T,(1,1,-1,0)T是 () 的一個(gè)基礎(chǔ)解系求()的通解例35 設(shè)()和()是兩個(gè)四元齊次線性方程組,()的系數(shù)矩陣為 2 3 -1 01 2 1 -1 ，()的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(2,-1,a+2,1)T,(-1,2,4,a+8)T.已知()和()有公共

49、非零解,求a,并求出它們的全部公共解.(02四)例36 設(shè)()和()都是3元非齊次線性方程組,()有通解x1+c1h1+c2h2,其中x1=(1,0,1)T,h1=(1,1,0)T,h2=(1,2,1)T；()有通解x2+ch, x2=(0,1,2)T,h=(1,1,2)T.求()和()的公共解.例37 (2005)已知齊次方程組 x1+2x2+3x3=0, x1+bx2+cx3=0, 2x1+3x2+5x3=0, 和 2x1+b2x2+(c+1)x3=0x1+x2+ax3=0同解,求a,b,c.例38 (2006)已知非齊次線性方程組 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x