銳角三角函數(shù)的知識點

1、銳角三角函數(shù)的知識點一、選擇題1如圖， ABC 是一張頂角是 120 的三角形紙片， AB AC,BC 6現(xiàn)將 ABC 折疊， 使點 B 與點 A重合，折痕 DE，則 DE的長為（ ）A1B 2C 2D 3【答案】 A【解析】【分析】作 AHBC 于 H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 BH，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出 BD，根據(jù)正切 的定義解答即可【詳解】1BH= BC=3，2 BAC=12°0 ， AB=AC， B=30°，AB=BHcos30=2 3 ，由翻折變換的性質(zhì)可知，DB=DA= 3 ，DE=BD?tan30 °=1， 故選： A【點睛】此題考查翻折變換的性質(zhì)

2、、勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握翻折變換是一種對稱變 換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等2如圖， 4 個形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點，己知菱形的一 個內(nèi)角為 60°， A、 B 、 C都是格點，則 tan ABC （ ）AB3C33D答案】 A解析】分析】EF的, 長，進而利用直接利用菱形的對角線平分每組對角，結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出ECtan ABC EBCE 得出答案由題意可得 :AFC=30°, DCAF,設(shè) EC=x,則 EF= x = 3x ,tan30 BF AF 2EF 2 3xEC x 1 3tan AB

3、C,BE 2 3x 3x 3 3 9故選 :A【點睛】EF的長是解題關(guān)鍵此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及解直角三角形，正確得出3如圖，某地修建高速公路，要從A地向 B地修一條隧道（點 A， B在同一水平面上）為了測量 A ， B兩地之間的距離，一架直升飛機從A地起飛，垂直上升 1000 米到達 C 處，在 C 處觀察 B 地的俯角為 ，則 AB 兩地之間的距離約為（ ）10001000A 1000sin 米B 1000tan 米C米D米tansin【答案】 C【解析】【分析】AC在 RtABC中， CAB=90°， B=， AC=1000米，根據(jù) tan，即可解決問題AB【詳解】解：在

4、Rt ABC中， CAB 90o， B ， AC 1000 米， tanACAB ， ABAC 1000米tan tan故選： C點睛】 本題考查解直角三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考 常考題型4圖 1 是一個地鐵站入口的雙翼閘機如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A 與 B之間的距離為 10cm，雙翼的邊緣 ACBD54cm，且與閘機側(cè)立面夾角 PCA BDQ30 °當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為( )A (54 3 +10) cmB(54 2 +10) cmC64 cmD 54cm答案】 C解析】 【分析】過 A作 AE CP于

5、 E，過 B作 BFDQ于F，則可得 AE和 BF的長，依據(jù)端點 A與 B之間的距離為 10cm ，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度【詳解】 如圖所示，過 A作 AE CP于 E，過 B作 BFDQ于 F，則11RtACE中， AE= AC= × 54=2（7 cm），22同理可得， BF=27cm，又點 A與 B之間的距離為 10cm，通過閘機的物體的最大寬度為 27+10+27=64（ cm），故選 C【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù) 進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多5如圖，在 ABC中， AC

6、BC， ABC 30 °，點 D是 CB延長線上的一點，且 BD BA， 則 tanDAC 的值為（ ）A2 3B 2 3C 3 3【答案】 A【解析】【分析】【詳解】設(shè) AC=x，在 RtABC中， ABC=30°，即可得 AB=2x，BC= 3 x， 所以 BD=BA=2x，即可得 CD= 3 x+2x=（ 3 +2） x，AC在 RtACD中， tan DAC=CD （ 3 2）x 3 2 ，故選 A.6直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6， 8，現(xiàn)將 VABC如圖那樣折疊，使點 A 與點 B重合，折痕為 DE ，則 tan CBE 的值是（ ）A 7B73C 7241

7、D3答案】 C解析】試題分析：根據(jù)題意，BE=AE設(shè) BE=x，則 CE=8-x在 RtBCE中， x2=（8-x） 2+62，2525 7解得 x= 25 ，故 CE=8-25 = ，44 4tan CBE=CE 7 .CB 24故選 C.考點：銳角三角函數(shù)7如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于 eO， AB為直徑， AD 3， 5E ，連接 AC 交 DE 于點 F .若 sinCABB12A10【答案】 D【解析】【分析】連接 BD ，如圖，先利用圓周角定理證明 弦的定義計算出 EF 3 ，則 AE 4， 到 BE 16 ，所以 AB 20 【詳解】CADEDE8，CD ，過點 D作 DE AB

8、于點DF 5，則 AB的長為 （16D20DAC 得到 FD FA 接著證明 ADE DBE ，5 ，再根據(jù)正 利用相似比得解：連接 BD ，如圖，Q AB 為直徑，ADBACB90 ，Q AD CD ，DACDCA ，而 DCAABD ，DACABD ， DE AB ，ABDBDE 90而 ADEBDE90 ，ABDADE ，ADEDAC ，F(xiàn)D FA5，在 Rt AEF中， Q sinCABEF3AF5，EF 3 ，AE 52232 4 ，DE538，Q ADEDBE，AEDBED ，ADEDBE ，DE : BEAE:DE ，即 8:BE4:8 ，BE 16 ，AB 4 16 20 故選

9、： D【點睛】 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧 所對的圓心角的一半推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90 的圓周角所對的 弦是直徑也考查了解直角三角形8如圖，在 x軸的上方，直角 BOA繞原點 O按順時針方向旋轉(zhuǎn) .若 BOA的兩邊分別與 12函數(shù) y 、 y 的圖象交于 B、A 兩點，則 OAB 大小的變化趨勢為（ ）xxB逐漸變大A逐漸變小【答案】 D【解析】C時大時小D保持不變分析】如圖，作輔助線；首先證明 BEO OFA，得到 BEOFOE ；設(shè) B為（a， 1 ），A為AF a21b， 2b ），得到 OE=-a，EB= a1

10、，2OF=b，AF= ，進而得到 a2b2 2 ，此為解決問題的關(guān) b鍵性結(jié)論；運用三角函數(shù)的定義證明知tan OAB= 2 為定值，即可解決問題2【詳解】解：分別過 B和 A作BEx軸于點 則BEO OFA，E，AFx 軸于點 F，BE OE ， OF AF ，設(shè)點 B 為（ a，1a ）， A為（ b， 2b）ab則 OE=-a， EB=1 ，OF=b，AF=2 ，ab可代入比例式求得2根據(jù)勾股定理可得：OBtan OAB=OAa2b2 2，即 a2 OAB大小是一個定值，因此 OAB的大小保持不變 故選 D【點睛】該題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定等知識點及其應(yīng)

11、用問 題；解題的方法是作輔助線，將分散的條件集中；解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判 定等知識點來分析、判斷、推理或解答ca 9在ABC中，a、b、c 分別為角 A、 B、C的對邊，若 B=60°，則的值為a b c bA2 【答案】 C 【解析】 【分析】2C1D 21，cos60 =°22先過點 A作ADBC于 D，構(gòu)造直角三角形，結(jié)合 B=60°，利用 sin60可求 DB 1c,AD 3 c,把這兩個表達式代入到另一個RtADC的勾股定理表達式中，22化簡可得即 a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1【詳解】 解：過 A點作

12、 ADBC于D，在 RtBDA中，由于 B=60°，1 DB c,AD2在 RtADC中， DC2=AC2AD2，21 2 3 2 a c b c ，24即 a2+c2=b2+ac，c2 cb a2 ab2 a2 cabbcb2acabbc1abcbacabbcb2acabbcb2 1ca a b c b故選 C【點睛】 本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理的內(nèi)容在直角三角形中，兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方注意作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的好方法10如圖，已知圓 O的內(nèi)接六邊形 ABCDEF 的邊心距 OM 2 ，則該圓的內(nèi)接正三角形ACE 的面積為（）A2B4D 4 3答案】

13、 D解析】 【分析】連接 OC,OB ，過 O作ON CE于 N ，證出 COB是等邊三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù) 的定義求解即可【詳解】 解：如圖所示，連接 OC,OB ，過 O作ON CE于 N ， 多邊形 ABCDEF 是正六邊形， COB 60o ， OC OB ， COB 是等邊三角形，OCM 60o ， OMOC ? sin OCM ， OCOM 4 3(cm)sin60 3OCN 30o ， ON 1 OC 2 3 , CN 2 ， 23 CE 2CN 4 ，該圓的內(nèi)接正三角形 ACE 的面積 3 1 4 2 3 4 3， 23故選： D【點睛】 本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角

14、形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握正六邊形 的性質(zhì)，由三角函數(shù)求出 OC 是解決問題的關(guān)鍵11某同學(xué)利用數(shù)學(xué)知識測量建筑物DEFG的高度他從點 A出發(fā)沿著坡度為 i 1: 2.4的斜坡 AB步行 26米到達點 B處，用測角儀測得建筑物頂端 D 的仰角為 37°，建筑物底端 E 的俯角為 30°，若 AF 為水平的地面，側(cè)角儀豎直放置，其高度BC=1.6米，則此建筑物的高度 DE約為（精確到 0.1米，參考數(shù)據(jù)：3 1.73, sin37 0.60，解析】C 26.7 米D 28.9 米【分析】如圖，設(shè) CBAF于N，過點 C作 CMDE于 M，根據(jù)坡度及 AB的長可求出 B

15、N的長，進 而可求出 CN的長，即可得出 ME 的長，利用 MBE的正切可求出 CM的長，利用 DCM 的正切可求出 DM 的長，根據(jù) DE=DM+ME 即可得答案【詳解】如圖，設(shè) CBAF于N，過點 C作 CMDE于 M， 沿著坡度為 i 1: 2.4的斜坡 AB步行 26 米到達點 B處，BN 1AN 2.4 AN=2.4BN， BN2+（2.4BN）2=262， 解得： BN=10（負(fù)值舍去）， CN=BN+BC=11.6， ME=11.6， MCE=3°0 ，CM=MEtan30=11.6 3 ， DCM=3°7 ，DM=C·M tan37 °=

16、8.7 3 ，【點睛】 本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形并熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角 的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵12 如圖，在 RtVABC中， C90 ，B 30 ， AD 是 BAC 的角平分線，AC6，則點 D 到 AB 的距離為 ( )3答案】 CB 3C 2 3D 3 3解析】分析】如圖，過點 D作 DE AB于 E，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得BAC=60°，由 AD為 BAC的角平分線可得 DAC=3°0 ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 DE=CD，利用 DAC的正切 求出 CD的值即可得答案【詳解】 B=30°， C=90°

17、， BAC=60°，AD 平分 BAC， DAC=3°0 ， DE=CD，AC=6，CD=A·Ctan DAC=×6 3 =2 3 ，即 DE=2 3，3點 D 到 AB的距離為 2 3 ，【點睛】本題考查解直角三角形及角平分線的性質(zhì)，在直角三角形中，銳角的正弦是角的對邊比斜 邊；余弦是鄰邊比斜邊；正切是對邊比鄰邊；余切是鄰邊比對邊；角平分線上的點到角兩 邊的距離相等；熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵313如圖，在 RtVABC中， ACB 90 ， tanB，CD 為 AB邊上的中線， CE平4C 4D33AB54【答案】 D【解析】【分析】3根據(jù)角平

18、分線定理可得 AE：BEAC：BC3:4，進而求得 AE AB，再由點 D為 AB中點71AE得 AD AB，進而可求得的值2AD【詳解】解： CE 平分 點 E 到ACB設(shè)點 E 到ACBACB ， 的兩邊距離相等， 的兩邊距離位 h，則 SACE1AC·h， SBCE BC·h， 22SACE： SBCE AC·h：221 BC·h AC： BC，又 SACE： SBCE AE： BE， AE：BEAC： BC，在 RtVABC 中， ACB 90 ，3tan B ，4AC：BC 3:4， AE：BE3:43 AE AB，7 CD 為 AB 邊上的中

19、線， AD 1 AB，2 AE 7 AB 6 AD 1 AB 7， 2故選： D【點睛】AE： BEAC：BC本題主要考查了角平分線定理的應(yīng)用及三角函數(shù)的應(yīng)用，通過面積比證得 是解決本題的關(guān)鍵14“奔跑吧，兄弟！ ”節(jié)目組，預(yù)設(shè)計一個新的游戲： “奔跑 ”路線需經(jīng) A、 B、C、 D四 地如圖，其中 A、B、C三地在同一直線上， D 地在 A 地北偏東 30°方向、在 C地北偏西 45°方向 C地在 A地北偏東 75°方向且 BD=BC=30m從 A 地到 D地的距離是（）20 5 mC 30 2 mD 15 6 m【答案】 D【解析】分析：過點 D作 DH垂直于

20、 AC，垂足為 H，求出 DAC的度數(shù)，判斷出 BCD是等邊三角 形，再利用三角函數(shù)求出 AB 的長，從而得到 AB+BC+CD的長詳解：過點 D作 DH垂直于 AC，垂足為 H，由題意可知 DAC=75°30°=45° BCD是 等邊三角形， DBC=60°，BD=BC=CD=30m， DH= 3 × 30=15 3，2AD= 2 DH=15 6 m故從 A 地到 D 地的距離是 15 6 m故選 D點睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想15如圖，

21、AB是 O的直徑， C是 O上的點，過點 C作 O的切線交 AB的延長線于點 )C32D 33【答案】 A【解析】【分析】 首先連接 OC，CE是O 切線，可證得OC CE，又由圓周角定理，求得 BOC的度數(shù)，繼而求得 E 的度數(shù)，然后由特殊角的三角函數(shù)值，求得答案【詳解】 如圖，連接 OC，CE是O 的切線， OCE=9°0 ，OA=OC， OCA= A=30°， COE= A+ OCA=6°0 ， E=180°-90 °-60 °=30°，1 sinE=sin30 =° .2故選 A.16如圖，在平面直角坐標(biāo)系

22、中，四邊形ABCD是菱形，點 B 的坐標(biāo)是（ 0， 4），點 D 的坐標(biāo)是（ 8 3 ， 4），點 M 和點 N是兩個動點，其中點 M 從點 B出發(fā)，沿 BA以每秒 2個 單位長度的速度做勻速運動，到點A后停止，同時點 N 從點 B出發(fā)，沿折線 BCCD以每秒 4 個單位長度的速度做勻速運動，如果其中一個點停止運動，則另一點也停止運動，設(shè) M，N兩點的運動時間為 x， BMN 的面積為 y，下列圖象中能表示 y與 x的函數(shù)關(guān)系的圖【解析】【分析】根據(jù)兩個點的運動變化，寫出點N在 BC上運動時 BMN 的面積，再寫出當(dāng)點 N在 CD上運動時 BMN 的面積，即可得出本題的答案；【詳解】解：當(dāng) 0

23、<x? 2 時，如圖 1：連接 BD，AC，交于點 O，連接 NM，過點 C作 CPAB 垂足為點 P， CPB=90°，四邊形 ABCD是菱形，其中點 B的坐標(biāo)是 （0，4），點 D的坐標(biāo)是 （8 3，4）， BO=4 3 ，CO=4，BC=AB= O B2 O C2 8，AC=8， ABC是等邊三角形， ABC=60°，CP=BC×sin60 =°8× 3 =4 3 ， BP=4，2BN=4x，BM=2x，BM2 x xBNxBP4 2 ，BC2 BM= BN ，BP= BC又 NBM= CBP， NBM CBP， NMB= CPB=

24、90°， SV CBPBP CP14 4 38 3 ；V CBP 22 SV NBMBN 2 ，SVCBPBC22即 y= SV NBMSV CBPBN83x =2 3x2 ，BC2當(dāng) 2<x? 4 時，作 NE AB，垂足為 E，四邊形 ABCD是菱形，ABCD，NE=CP=4 3 ，BM=2x，1y=BM2故選 D.1NE= g2xg4 3 4 3x ；2點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，掌握動點問題的函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵17如圖， VABC 中， ACB 90 ，O為 AB中點，且 AB ACB 和 CAB，交于 D點，則 OD 的最小值為（ ）4 ， CD ， A

25、D 分別平分A1B 22C 2 1D 2 2 2【答案】 D【解析】DO 為三角形 ABC內(nèi)切【分析】 根據(jù)三角形角平分線的交點是三角形的內(nèi)心，得到DO 最小時， 圓的半徑，結(jié)合切線長定理得到三角形為等腰直角三角形，從而得到答案【詳解】 解：Q CD ， AD分別平分 ACB和 CAB ，交于 D點，D 為 ABC的內(nèi)心，OD 最小時， OD 為 ABC 的內(nèi)切圓的半徑，DO AB,過 D 作 DE AC,DF BC, 垂足分別為 E,F,DE DF DO,四邊形 DFCE 為正方形， QO為 AB的中點， AB 4,AO BO 2,由切線長定理得： AO AE 2,BO BF 2,CE CF

26、 r, AC BC AB ?sin 45 2 2,CE AC AE 2 2 2,Q 四邊形 DFCE 為正方形，CE DE,OD CE 2 2 2,故選 D【點睛】 本題考查的動態(tài)問題中的線段的最小值，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)， 銳角三角函數(shù)的計算，掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵18在一次數(shù)學(xué)活動中，嘉淇利用一根拴有小錘的細(xì)線和一個半圓形量角器制作了一個測 角儀，去測量學(xué)校內(nèi)一座假山的高度CD .如圖，嘉淇與假山的水平距離BD為 6m，他的眼睛距地面的高度為 1.6m ，嘉淇的視線經(jīng)過量角器零刻度線 OA和假山的最高點 C ，此 時，鉛垂線 OE經(jīng)過量角器的 60 刻度線，則假山的高

27、度 CD 為（ ）A 2 3 1.6 mB 2 2 1.6 mC 4 3 1.6 mD 2 3m【答案】 A【解析】【分析】CK CK根據(jù)已知得出 AK=BD=6m，再利用 tan30 °=，進而得出 CD 的長AK 6【詳解】 解：如圖，過點 A 作 AK CD 于點 KBD=6 米，李明的眼睛高 AB=1.6米， AOE=6°0 ，DB=AK， AB=KD=1.6米， CAK=30°，AK 6解得： CK=2 3即 CD=CK+DK=2 3 +1.6=( 2 3 +1.6)m 故選： A【點睛】 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，解答關(guān)鍵是應(yīng)用銳角三角 函數(shù)定義 .19如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AOB 的頂點 B在第一象限，點 A在 y軸的正半軸上，ABCAO AB 2， OAB 120o，將 AOB繞點 O逆時針旋轉(zhuǎn) 90o，點 B 的對應(yīng)點 B'的 坐標(biāo)是( )D答案】 D解析】分析】 過點 B'作 x軸的垂線，垂足為 M ，通過條件求出 B'M ，MO 的長即可得到 B'的坐標(biāo). 【詳解】解：過點 B'作 x 軸的垂線，垂足為 M， B'A'M 60