初中數(shù)學(xué)動點最值問題解法探析

1、word初中數(shù)學(xué)動點最值問題解法探析一、問題原型：人教版八年級上冊第42頁探究如圖1-1，要在燃?xì)夤艿郎闲藿ㄒ粋€泵站，分別向、兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？這個“確定最短路線問題，是一個利用軸對稱解決極值的經(jīng)典問題。解這類問題二、根本解法：對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上線路長度不變，確定動點位置，計算線路最短長度。三、一般結(jié)論：(在線段上時取等號)如圖1-2 線段和最小，常見有三種類型：一“|定動|+|定動|型：兩定點到一動點的距離和最小通過軸對稱，將動點所在直線同側(cè)的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側(cè)，當(dāng)動點在這個定點的對稱點及另

2、一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長。1.兩個定點+一個動點。如圖1-3，作一定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，線段是另一定點與的交點即為距離和最小時動點位置，最小距離和。例12006年河南省中考題如圖2，正方形的邊長為，是的中點，是對角線上一動點，那么的最小值是。解析：與關(guān)于直線對稱，連結(jié)，那么。連結(jié),在中，那么故的最小值為例22009年濟(jì)南市中考題如圖3，：拋物線的對稱軸為，與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，。1求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；2在對稱軸上存在一點，使得的周長最小，請求出點的坐標(biāo)。解析：1對稱軸為，由對稱性可知：。根據(jù)、三點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)

3、法，可求得拋物線為：2與關(guān)于對稱軸對稱，連結(jié)，與對稱軸交點即為所求點。設(shè)直線解析式為：。把、代入得，。當(dāng)時，那么2.兩個定點+兩個動點。兩動點，其中一個隨另一個動一個主動，一個從動，并且兩動點間的距離保持不變。用平移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點類型來解。例3如圖4，河岸兩側(cè)有、兩個村莊，為了村民出行方便，方案在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？解析：設(shè)橋端兩動點為、，那么點隨點而動，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移河寬長到，線段與河北岸線的交點即為橋端點位置。四邊形為平行四邊形，此時值最小。那么來往、兩村最短路程為：。例4(2022年天津市中考)在

4、平面角坐標(biāo)系中，矩形的頂點在坐標(biāo)原點，頂點、分別在軸、軸的正半軸上，為邊的中點。1假設(shè)為邊上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點的坐標(biāo)；2假設(shè)，為邊上的兩個動點，且，當(dāng)四邊形的周長最小時，求點，的坐標(biāo)。解析：作點關(guān)于軸的對稱點，那么，。1連接交軸于點，連接，此時的周長最小。由可知 ，那么，那么。2將向左平移2個單位到點，定點、分別到動點、的距離和等于為定點、到動點的距離和，即。從而把“兩個定點和兩個動點類問題轉(zhuǎn)化成“兩個定點和一個動點類型。在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時值最小，那么四邊形的周長最小。由、可求直線解析式為，當(dāng)時，即，那么。也可以用1中相似的方法求坐標(biāo)二“|動定|+|

5、動動|型：兩動點分別在兩條直線上獨立運動，一動點分別到一定點和另一動點的距離和最小。利用軸對稱變換，使一動點在另一動點的對稱點與定點的線段上兩點之間線段最短，且這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。例52009年陜西省中考如圖6，在銳角中，的平分線交于點，、分別是和上的動點，那么的最小值為 4 。解析：角平分線所在直線是角的對稱軸，上動點關(guān)于的對稱點在上，當(dāng)時，最小。作于，交于，作交于，例6如圖7，四邊形是等腰梯形，、在軸上，在軸上，拋物線過、兩點。1求、；2設(shè)是軸上方拋物線上的一動點，它到軸與軸的距

6、離之和為，求的最大值；3當(dāng)2中點運動到使取最大值時，此時記點為，設(shè)線段與軸交于點，為線段上一動點，求到點與到軸的距離之和的最小值，并求此時點的坐標(biāo)。解析：1由，可得：、；根據(jù)、的坐標(biāo)可求出拋物線解析式為2設(shè)，且，那么，用零點分段法可求得，。當(dāng)時，。此時，那么。3軸與直線關(guān)于對稱，作軸于，動點關(guān)于的對稱點在直線上，當(dāng)垂直于直線時，的值最小。，根據(jù)和可求直線的解析式，那么有。由可知，。作，過點作軸的平行線，交于，那么。作于，那么，當(dāng)是于的交點時，與重合，有最小值5。函數(shù)，此時，那么，即。3.“|定動|+|動動|+|動定|型：兩定點到兩動點的距離、以及兩動之間距離和最小。例72009年漳州中考如圖8， ，是內(nèi)一點，、分別是和上的動點，求周長的最小值。解析：分別作關(guān)于、的對稱點、，連接，那么，當(dāng)、在線段上時， 周長最小， ， 。 那么周長的最小值為例82009年恩施中考恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，如圖9建立直角坐標(biāo)系。著名的恩施大峽谷和世界級自然保護(hù)區(qū)星斗山位于兩高速公路同側(cè)，到直線的距離為，到直線和的距離分別為和。請你在旁和旁各修建一效勞