二次函數(shù)求最值(動軸定區(qū)間、動區(qū)間定軸)

1、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題練習(xí)：已知函數(shù)練習(xí)：已知函數(shù)f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21 （4 4）若）若x x ，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值； 練習(xí)：練習(xí)：已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)= x22x 3.（1）若）若x 2，0 , 求函數(shù)求函數(shù)f(x)的最值；的最值；解：畫出函數(shù)在

2、定義域內(nèi)的圖像如圖解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線對稱軸為直線x=1由圖知，由圖知，y=f(x)在在 2，0 上為減函數(shù)上為減函數(shù) 故故x=-2時有最大值時有最大值f(-2)=5 x=0時有最小值時有最小值f(0)=-3例例1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)= x2 2x 3.（1）若）若x 2，0 ，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)的最值；的最值；（2）若）若x 2，4 ，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)的最值；的最值；解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線對稱軸為直線x=1由圖知，由圖知，y=f(x)在在 2，4 上為增函數(shù)上為增函數(shù) 故故x=4時有最大值時有最大

3、值f(4)=5 x=2時有最小值時有最小值f(2)=-3例例1 1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)= xf(x)= x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx 2 2，00，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值； （3）若）若x ,求函數(shù)求函數(shù)f(x)的最值；的最值；25,21解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線對稱軸為直線x=1,由圖知，由圖知，x= 時有最大值時有最大值 x=1時有最小值時有最小值f(1)=-45253( )124f 例例1 1、已知函數(shù)、已

4、知函數(shù)f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21 （4 4）若）若x x ，求函數(shù)，求函數(shù)f(x)f(x)的最值；的最值； 解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖解：畫出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像如圖對稱軸為直線對稱軸為直線x=1,由圖知，由圖知，x= 時有最大值時有最大值 x=1時有最小值時有最小值f(1)=-41213()124f 例例1

5、1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 325,2123,21 （4 4）xx （1）x2，0（2）x 2，4 （3）x 思考：通過以上幾題，你發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)在區(qū)間思考：通過以上幾題，你發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)在區(qū)間m，n上的最值通常在哪里取到？上的最值通常在哪里取到？總結(jié)總結(jié)：求二次函數(shù)：求二次函數(shù)f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上上 上的最值或值域的一般方法是：上的最值或值域的一般方法是： （2 2）當(dāng)）當(dāng)x x0 0mm，nn時，時，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0） 中的較大者是最大值中的較大者是最大值, ,較

6、小者是最小值；較小者是最小值； （1）檢查）檢查x0= 是否屬于是否屬于 m，n；ab2（3 3）當(dāng)）當(dāng)x x0 0 m m，nn時，時，f(m)f(m)、f(n)f(n)中的較大中的較大 者是最大值，較小者是最小值者是最大值，較小者是最小值. .考點二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點二二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(高頻考點高頻考點)練習(xí)求函數(shù)y=x2+2x+3 在x -2,2時的最值？二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題 動軸定區(qū)間、動區(qū)間定軸動軸定區(qū)間、動區(qū)間定軸B 思考：思考：如何如何 求函數(shù)求函數(shù)y=x2-2x-3在在xk,k+2時的最值時的最值?解析解析: 因為函數(shù)因為函數(shù) y=

7、x2-2x-3=(x-1)2-4的對稱的對稱 軸為軸為 x=1 固定不變固定不變,要求函數(shù)的最值要求函數(shù)的最值, 即要看區(qū)間即要看區(qū)間k,k+2與對稱軸與對稱軸 x=1的位的位 置置,則從以下幾個方面解決如圖則從以下幾個方面解決如圖: 例例: 求函數(shù)求函數(shù)y=x2-2x-3在在xk,k+2時時的最值的最值 當(dāng)當(dāng)k+21即即k -1時時 f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3 當(dāng)當(dāng) k 1 k+2 時時 即即-1 k 1時時f(x)min=f(1)=- 4當(dāng)當(dāng)f(k)f(k+2)時，時，即即k2-2k-3 k2+2k

8、-3 即即-1k0時時f(x)max=f(k)=k2-2k-3當(dāng)當(dāng)f(k) f(k+2)時，時，即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即0 k1時時f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3 當(dāng)當(dāng)k 1 時時 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3f(x) min=f(k)=k2-2k-3 例例: 求函數(shù)求函數(shù)y=x2-2x-3在在xk,k+2時的最值時的最值 當(dāng)當(dāng)k -1時時 當(dāng)當(dāng)-1k 0時時 f(x)max=f(k)=k2-2k-3當(dāng)當(dāng)0 k1時時f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(1)=- 4f(x)min=f(1

9、)=- 4f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3 當(dāng)當(dāng)k 1 時時 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3f(x) min=f(k)=k2-2k-3 例例: 求函數(shù)求函數(shù)y=x2-2x-3在在xk,k+2時的最值時的最值評注評注：例例1 1屬于屬于“軸定區(qū)間動軸定區(qū)間動”的問題，看作動區(qū)的問題，看作動區(qū)間沿間沿x x軸移動的過程中，函數(shù)最值的變化，即動區(qū)軸移動的過程中，函數(shù)最值的變化，即動區(qū)間在定軸的左、右兩側(cè)及包含定軸的變化，要注間在定軸的左、右兩側(cè)及包含定軸的變化，要注意開口方向及端點情況。意開口方向及端點情況。練習(xí)：若練習(xí)：若x ，求

10、函數(shù)，求函數(shù) y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxO1xy-1練習(xí)：若練習(xí)：若x ，求函數(shù)，求函數(shù) y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xx-11Oxy練習(xí)：若練習(xí)：若x ，求函數(shù)，求函數(shù) y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xx-11Oxy例例2：若：若x ，求函數(shù)，求函數(shù) y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1當(dāng)當(dāng) 即即a 2時時12 ay的最小值為的最小值為f(-1)=4-a解：例例3：若：若x ，求函數(shù)，求函數(shù) y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1(2)當(dāng)當(dāng) 即即-2 a2時時2a y的最小值

11、為的最小值為f( )=432a 121 a例例2：若：若x ，求函數(shù)，求函數(shù) y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1(3)當(dāng)當(dāng) 即即a-2時時12 ay的最小值為的最小值為f(1)=4+a函數(shù)在函數(shù)在-1,1上是減函數(shù)上是減函數(shù)練習(xí)：若練習(xí)：若x ，求函數(shù)，求函數(shù) y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1Oxy1-1Oxy1-1當(dāng)當(dāng)a-2時時f(x)min=f(1)=4+a當(dāng)當(dāng)-2a2時時2min324aaff 當(dāng)當(dāng)a2時時f(x)min=f(-1)=4-a練習(xí)：若練習(xí)：若x ，求函數(shù)，求函數(shù) y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 x

12、xOxy1-1Oxy1-1Oxy1-1評注評注：此題此題屬于屬于“軸動區(qū)間定軸動區(qū)間定”的問題，看作對的問題，看作對稱軸沿稱軸沿x x軸移動的過程中軸移動的過程中, ,函數(shù)最值的變化函數(shù)最值的變化, ,即對即對稱軸在定區(qū)間的左、右兩側(cè)及對稱軸在定區(qū)間上稱軸在定區(qū)間的左、右兩側(cè)及對稱軸在定區(qū)間上變化情況變化情況, ,要注意開口方向及端點情況。要注意開口方向及端點情況。2練習(xí)練習(xí): :已知已知x x2 2+2x+a+2x+a44在在x x 00，22上上恒成立，求恒成立，求a a的值。的值。 -1Oxy解解: :令令f(x)=xf(x)=x2 2+2x+a+2x+a它它的對稱軸為的對稱軸為x=x=1 1，f(x)f(x)在在00，22上單上單調(diào)遞增，調(diào)遞增，f(x)f(x)的最小值為的最小值為