Matlab求解線性方程組、非線性方程組

1、求解線性方程組 solve ， linsolve例：A=5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1; %矩陣的行之間用分號(hào)隔開，元素之間用逗號(hào)或空格B=3;1;1;0X=zeros(4,1);% 建立一個(gè) 4 元列向量X=linsolve(A,B)diff (fun , var, n)：對(duì)表達(dá)式fun中的變量var求n階導(dǎo)數(shù)。例如： F=sym('u(x,y)*v(x,y)' ) ; %sym ()用來(lái)定義一個(gè)符號(hào)表達(dá)式 diff(F); %matlab 區(qū)分大小寫pretty(ans) %pretty ()：用習(xí)慣書寫方式顯示變量； ans 是答案表達(dá)式

2、 非線性方程求解fsolve(fun,x0,options)其中 fun 為待解方程或方程組的文件名；x0 位求解方程的初始向量或矩陣；option 為設(shè)置命令參數(shù)建立文件 fun.m ：function y=fun(x) y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2), .x(2) - 0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(2); >>clear;x0=0.1,0.1;fsolve(fun,x0,optimset('fsolve')注：.為續(xù)行符m 文件必須以 function 為文件頭，調(diào)用符為 ；文件名必須與定義的函數(shù)名相同； fso

3、lve ()主要求解復(fù)雜非線性方程和方程組，求解過(guò)程是一個(gè)逼近過(guò)程。Matlab 求解線性方程組AX=B 或 XA=B在 MATLAB 中，求解線性方程組時(shí)，主要采用前面章節(jié)介紹的除法運(yùn)算符“和/ ”“”。如：X=AB表示求矩陣方程AX = B的解；X= B/A表示矩陣方程XA=B的解。對(duì)方程組X = AB，要求A和B用相同的行數(shù)，X和B有相同的列數(shù)，它的行數(shù) 等于矩陣A的列數(shù)，方程X二B/A同理。如果矩陣A不是方陣，其維數(shù)是mK n,則有：m二n恰定方程，求解精確解；m>n 超定方程，尋求最小二乘解；m<n 不定方程，尋求基本解，其中至多有 m 個(gè)非零元素。針對(duì)不同的情況， MA

4、TLAB 將采用不同的算法來(lái)求解。一恰定方程組恰定方程組由 n 個(gè)未知數(shù)的 n 個(gè)方程構(gòu)成，方程有唯一的一組解，其一般形式 可用矩陣，向量寫成如下形式：Ax=b 其中 A 是方陣， b 是一個(gè)列向量； 在線性代數(shù)教科書中，最常用的方程組解法有：（1）利用 cramer 公式來(lái)求解法；（2）利用矩陣求逆解法，即 x=A-1b ；（ 3）利用 gaussian 消去法；（ 4）利用 lu 法求解。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)維數(shù)不高， 條件數(shù)不大的矩陣， 上面四種解法所得的結(jié)果差別不大。 前三種解法的真正意義是在其理論上，而不是實(shí)際的數(shù)值計(jì)算。 MATLAB 中， 出于對(duì)算法穩(wěn)定性的考慮，行列式及逆的計(jì)算大都在

5、lu 分解的基礎(chǔ)上進(jìn)行。 在 MATLAB 中，求解這類方程組的命令十分簡(jiǎn)單，直接采用表達(dá)式： x=Ab 。 在 MATLAB 的指令解釋器在確認(rèn)變量 A 非奇異后， 就對(duì)它進(jìn)行 lu 分解，并最終 給出解x;若矩陣A的條件數(shù)很大，MATLAB會(huì)提醒用戶注意所得解的可靠性。 如果矩陣 A 是奇異的，則 Ax=b 的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩陣 A 接近奇異時(shí)，MATLAB將給出警告信息；如果發(fā)現(xiàn) A是奇異的，則計(jì)算結(jié)果為 inf,并且給出警告信息；如果矩陣 A是病態(tài)矩陣，也會(huì)給出警告信息。 注意：在求解方程時(shí)，盡量不要用 inv(A)*b 命令，而應(yīng)采用 Ab 的解法。因?yàn)楹?者的計(jì)算

6、速度比前者快、精度高，尤其當(dāng)矩陣 A 的維數(shù)比較大時(shí)。另外，除法 命令的適用行較強(qiáng)，對(duì)于非方陣 A，也能給出最小二乘解。二超定方程組對(duì)于方程組Ax=b，A為nXm矩陣，如果A列滿秩，且n>m。則方程組沒有精 確解，此時(shí)稱方程組為超定方程組。 線性超定方程組經(jīng)常遇到的問(wèn)題是數(shù)據(jù)的曲 線擬合。對(duì)于超定方程，在 MATLAB 中，利用左除命令( x=Ab )來(lái)尋求它的最 小二乘解；還可以用廣義逆來(lái)求，即 x=pinv(A), 所得的解不一定滿足 Ax=b， x 只是最小二乘意義上的解。 左除的方法是建立在奇異值分解基礎(chǔ)之上， 由此獲得 的解最可靠；廣義逆法是建立在對(duì)原超定方程直接進(jìn)行 hous

7、eholder 變換的基礎(chǔ) 上，其算法可靠性稍遜與奇異值求解，但速度較快；【例 7】求解超定方程組A=2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13A=2 -1 33 1 -54 -1 11 3 -13b = 3 0 3 -6'；rank(A)ans=3x1=Ab x1=1.0000 2.00001.0000x2=pinv(A)*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.13320可見 x1 并不是方程 Ax=b 的精確解，用 x2=pinv(A)*b 所得的解與 x1 相同。 三欠定方程組 欠定方程組未

8、知量個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，但理論上有無(wú)窮個(gè)解。 MATLAB 將尋求 一個(gè)基本解，其中最多只能有 m 個(gè)非零元素。特解由列主元 qr 分解求得?！纠?8】解欠定方程組A = 1-2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1 5b=1 -1 5 'x1=AbWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015 x1= 0-0.000001.0000x2=pinv(A)*bx2=0-0.00000.00001.0000四方程組的非負(fù)最小二乘解在某些條件下， 所求的線性方程組的解出現(xiàn)負(fù)數(shù)

9、是沒有意義的。 雖然方程組可以 得到精確解， 但卻不能取負(fù)值解。 在這種情況下， 其非負(fù)最小二乘解比方程的精 確解更有意義。在 MATLAB 中，求非負(fù)最小二乘解常用函數(shù) nnls ，其調(diào)用格式 為：( 1)X=nnls(A,b) 返回方程 Ax=b 的最小二乘解， 方程的求解過(guò)程被限制在 x 的 條件下；(2)X=nnls(A,b,TOL) 指定誤差 TOL 來(lái)求解， TOL 的默認(rèn)值為 TOL=max(size(A)*norm(A,1)*eps ，矩陣的 1 范數(shù)越大，求解的誤差越大；(3) X,W=nnls(A,b)當(dāng) x(i)=O 時(shí)，w(i)<0 ；當(dāng)下 x(i)>0 時(shí)，w(i)O,同時(shí)返回一 個(gè)雙向量 w?！纠?9】求方程組的非負(fù)最小二乘解A=3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261;b=-1.000 1.5000 2.5000;