數字電路的基礎知識

1、（1-1）第一章第一章 數字電路的基礎知識數字電路的基礎知識1.1 數字電路的基礎知識數字電路的基礎知識1.2 邏輯代數及運算規(guī)則邏輯代數及運算規(guī)則 1.3 邏輯函數的表示法邏輯函數的表示法1.4 邏輯函數的化簡邏輯函數的化簡（1-2） 數字量和模擬量數字量和模擬量 模擬量：可以在一定范圍內取任意實數值的物理量，如：溫度、壓力、距離和時間等。 數字量：在時間上和數量上都是離散的物理量，如：自動生產線上的零件記錄量，臺階的階數 數字信號和模擬信號數字信號和模擬信號 模擬信號：表示模擬量的電信號，如：熱電偶的電壓信號，溫度變化時，電壓隨之改變 數字信號：表示數字量的電信號 1.1 數字電路的基礎知

2、識數字電路的基礎知識（1-3）1 1.1.1 1.1 數字量和模擬量數字量和模擬量模擬量模擬量時間上、數量變化上都是連續(xù)的物理量；時間上、數量變化上都是連續(xù)的物理量；表示模擬量的信號叫做模擬信號；表示模擬量的信號叫做模擬信號；工作在模擬信號下的電子電路稱為模擬電路。工作在模擬信號下的電子電路稱為模擬電路。數字量數字量時間上、數量變化上都是離散的物理量；時間上、數量變化上都是離散的物理量；表示數字量的信號叫做數字信號；表示數字量的信號叫做數字信號；工作在數字信號下的電子電路稱為數字電路。工作在數字信號下的電子電路稱為數字電路。 1.1 數字電路的基礎知識數字電路的基礎知識（1-4）1.1.2 數

3、字信號和模擬信號數字信號和模擬信號電子電路中的信號電子電路中的信號模擬信號模擬信號數字信號數字信號隨時間連續(xù)變化的信號隨時間連續(xù)變化的信號時間和幅度都是離散的時間和幅度都是離散的（1-5）模擬信號：模擬信號：tu正弦波信號正弦波信號t鋸齒波信號鋸齒波信號u（1-6） 研究模擬信號時，我們注重電路研究模擬信號時，我們注重電路輸入、輸出信號間的大小、相位關系。輸入、輸出信號間的大小、相位關系。相應的電子電路就是模擬電路，包括相應的電子電路就是模擬電路，包括交直流放大器、濾波器、信號發(fā)生器交直流放大器、濾波器、信號發(fā)生器等。等。模擬電路：模擬電路：處理模擬信號的電路，如：運算放大器處理模擬信號的電路

4、，如：運算放大器在模擬電路中，晶體管一般工作在放大在模擬電路中，晶體管一般工作在放大狀態(tài)。狀態(tài)。（1-7）數字信號：數字信號：數字信號數字信號產品數量的統(tǒng)計。產品數量的統(tǒng)計。數字表盤的讀數。數字表盤的讀數。數字電路信號：數字電路信號：tu（1-8）模擬電路與數字電路的區(qū)別模擬電路與數字電路的區(qū)別1 1. 工作任務不同：工作任務不同： 模擬電路研究的是輸出與輸入信號之間的大小、模擬電路研究的是輸出與輸入信號之間的大小、相位、失真等方面的關系；相位、失真等方面的關系；數字電路主要研究的數字電路主要研究的是輸出與輸入間的邏輯關系是輸出與輸入間的邏輯關系（因果關系）。（因果關系）。 模擬電路中的三極管

5、工作在線性放大區(qū)模擬電路中的三極管工作在線性放大區(qū), ,是是一個放大元件；一個放大元件；數字電路中的三極管工作在飽數字電路中的三極管工作在飽和或截止狀態(tài)和或截止狀態(tài), ,起開關作用起開關作用。 因此，基本單元電路、分析方法及研究的范因此，基本單元電路、分析方法及研究的范圍均不同。圍均不同。2 2. 三極管的工作狀態(tài)不同：三極管的工作狀態(tài)不同：（1-9）3.3.數字電路研究的問題數字電路研究的問題基本電路元件基本電路元件基本數字電路基本數字電路邏輯門電路邏輯門電路觸發(fā)器觸發(fā)器 組合邏輯電路組合邏輯電路 時序電路（寄存器、計數器、脈沖發(fā)生器、脈沖時序電路（寄存器、計數器、脈沖發(fā)生器、脈沖整形電路）

6、整形電路） A/DA/D轉換器、轉換器、D/AD/A轉換器轉換器數字電子技術是一門研究用數字電信號來實現運算、數字電子技術是一門研究用數字電信號來實現運算、控制和測量的技術?？刂坪蜏y量的技術。（1-10）4.4.數字電路的特點：數字電路的特點：1 1. 工作信號工作信號不連續(xù)變化的離散（數字）信號不連續(xù)變化的離散（數字）信號2 2. 主要研究對象主要研究對象電路輸入電路輸入/ /輸出之間的邏輯關系輸出之間的邏輯關系3 3. 主要分析工具主要分析工具邏輯代數邏輯代數4 4. 主要描述工具主要描述工具邏輯表達式、真值表、卡諾圖、邏輯表達式、真值表、卡諾圖、邏輯圖、時序波形圖、狀態(tài)轉換圖等。邏輯圖、

7、時序波形圖、狀態(tài)轉換圖等。（1-11）1.1.2 1.1.2 數制和碼制數制和碼制 所謂所謂是進位計數制度的簡稱。我們是進位計數制度的簡稱。我們日常生活中有許多不同的數制。例如，日常生活中有許多不同的數制。例如，十進制是十進制是“逢十進一逢十進一”，鐘表計時采用，鐘表計時采用60進制、即進制、即六十秒為一分，六十分為一六十秒為一分，六十分為一小時，十二英寸為一英尺小時，十二英寸為一英尺，則采用的是，則采用的是十二進制十二進制等等等等。（1-12） 數制表示數制表示 十進制十進制是使用最早的一種主要的計數制度。 2101210510710610810275.286遵循遵循逢十進一逢十進一的規(guī)律的

8、規(guī)律表示數的十個數碼：表示數的十個數碼：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0（1-13）一個十進制數數一個十進制數數 N可以表示成：可以表示成：iiiDKN10)( 若在數字電路中采用十進制，必須若在數字電路中采用十進制，必須要有十個電路狀態(tài)與十個記數碼相對應。要有十個電路狀態(tài)與十個記數碼相對應。這樣將在技術上帶來許多困難，而且很這樣將在技術上帶來許多困難，而且很不經濟。不經濟。（1-14） 一般地對于一個任意一般地對于一個任意n位整數，位整數，m位小數的十進制位小數的十進制數數(N)10可以表示為：可以表示為：m102n1n10aaaaa)N( mm11002n2n1n1

9、n1010a10a10a10a10a)N( (112)(111)i1nmii10a =或（1-15） ai表示相應數位的表示相應數位的數碼數碼，可以是，可以是0，19十個十個數碼中的任意一個，記作數碼中的任意一個，記作0ai9，我們把，我們把“十十”稱為稱為十進制的基數十進制的基數。所謂。所謂“基數基數”是指在一個是指在一個數制中可能用到的數制中可能用到的數碼個數數碼個數。例如，二進制的。例如，二進制的基數是基數是“二二”，R進制的基數是進制的基數是R。n、m為正為正整數，分別代表整數位數和小數位數；整數，分別代表整數位數和小數位數；(N)10的的下標下標10（也可用（也可用D）表示十進制數。

10、）表示十進制數。Hexadecimal：十六進制的：十六進制的Decimal：十進制的：十進制的Binary：二進制的：二進制的（1-16） 式式稱為十進制數的稱為十進制數的位置計數法位置計數法或稱或稱并并列表示法列表示法，式，式稱為十進制數的稱為十進制數的多項式多項式表示法表示法，或稱，或稱。 10i稱為數碼稱為數碼ai具有的具有的“權權”。例如；數碼。例如；數碼a3的權的權為為103=1000，數碼，數碼a0的權為的權為100=1。 顯然可見，顯然可見，處在不同數位上的數碼具有不同的處在不同數位上的數碼具有不同的“權權”。（1-17）2. 二進制二進制：以二為基數的記數體制以二為基數的記數

11、體制表示數的兩個數碼：表示數的兩個數碼：0, 1遵循遵循逢二進一逢二進一的規(guī)律的規(guī)律iiiBKN2）（1-18） 二進制數的表示方法二進制數的表示方法 與十進制數一樣，二進制數的表示也有兩種與十進制數一樣，二進制數的表示也有兩種方法：方法：位置計數法位置計數法和和多項式表示法多項式表示法。如。如21012321202121202101.1011等式左邊是等式左邊是位置計數法位置計數法，等式右邊是，等式右邊是多項式表示法。多項式表示法。（1-19） 一般地，對于一個任意一般地，對于一個任意n位整數和位整數和m位小數的二進制數位小數的二進制數(N)2可以表示為：可以表示為：m102n1n2bbbb

12、b)N( （113）或mm11002n2n1n1n22b2b2b2b2b)N( =i1nmii2b （114）l(N)2下標下標2表示表示二進制二進制。式中。式中bi表示相應數位的數碼，表示相應數位的數碼，n、m為正整數，為正整數，n代表整數位數，代表整數位數，m代表小數位數。代表小數位數。2i稱為數碼稱為數碼bi的權。的權。（1-20）用電路的兩個狀態(tài)用電路的兩個狀態(tài)-開關來表示開關來表示二進制數，數碼的存儲和傳輸簡二進制數，數碼的存儲和傳輸簡單、可靠。單、可靠。位數較多，使用不便；不合人們位數較多，使用不便；不合人們的習慣，輸入時將十進制轉換成的習慣，輸入時將十進制轉換成二進制，運算結果輸

13、出時再轉換二進制，運算結果輸出時再轉換成十進制數。成十進制數。（1-21）3. 任意進制數的表示任意進制數的表示 對于一個對于一個n位整數，位整數，m位小數的任意進制數位小數的任意進制數(N)R可以表示為：可以表示為：m102n1nRccccc)N( （115）或mm11002n2n1n1n10RcRcRcRcRc)N( （116）式中式中(N)R的下標的下標R表示表示R進制，進制，ci可以是可以是0，1，（R-1）中任意一個數碼，中任意一個數碼，n、m為正整數，為正整數，Ri稱稱為為ci具有的權。具有的權。（1-22）4. 八進制和十六進制數的表示八進制和十六進制數的表示 八進制數八進制數用

14、用0、1、2、3、4、5、6、7八個數碼表示，八個數碼表示，基數基數為為8。計數規(guī)則是。計數規(guī)則是“逢八進一逢八進一”，即，即7+1=10（表示八進制數的表示八進制數的8），各數位的權為），各數位的權為8n-1、82、81、80、8-1、 8-m。則按權展開可寫成：。則按權展開可寫成：mm11002n2n1n1n88p8p8p8p8p)N( i1nmii8p =（117）如 (368.25)8=382+681+880+28-1+58-2（1-23） 同理十六進制數十六進制數是用0、1、2、3、9、A、B、C、D、E、 F這十六個數碼來表示，基數基數為16。其中A、B、C、D、E、 F分別表示1

15、0、11、12、13、14、15這十六個數碼。其計數規(guī)則是“逢十逢十六進一六進一”，即F+1=10（表示十六進制數的16)。按權展開可寫成：mm11002n2n1n1n1616q16q16q16q16q)N( =i1nmii16q 如 (257.36)16=2162+5161+7160+316-1+616-2（1-24）二、二、 數制轉換數制轉換 我們習慣于采用十進制數，但在計算機和數字電我們習慣于采用十進制數，但在計算機和數字電路中卻是按二進制工作的，因此，在數字系統(tǒng)中，路中卻是按二進制工作的，因此，在數字系統(tǒng)中，首先必須把十進制數轉換成計算機和數字電路能首先必須把十進制數轉換成計算機和數字

16、電路能加工、處理的二進制數，而作為數字系統(tǒng)的輸出加工、處理的二進制數，而作為數字系統(tǒng)的輸出又要轉換成人們熟悉的十進制數等。這就要求我又要轉換成人們熟悉的十進制數等。這就要求我們必須掌握各種不同數制之間的相互轉換。們必須掌握各種不同數制之間的相互轉換。由二進制數轉換為十進制數只要采用由二進制數轉換為十進制數只要采用式，將被轉換的二進制數按權相加即可得到與該式，將被轉換的二進制數按權相加即可得到與該二進制數相對應的十進制數。二進制數相對應的十進制數。（1-25） 將將(11001.101)2轉換成十進制數。轉換成十進制數。 解：根據（解：根據（134）式有：）式有： =16+8+0+0+1+0.5

17、+0.125=(25.625)10即：即：(11001.101) 2=(25.625)10 十進制數轉換為二進制數的方法很多，下面僅介十進制數轉換為二進制數的方法很多，下面僅介紹紹基數乘除法基數乘除法；基數乘除法包含兩個內容，即基；基數乘除法包含兩個內容，即基數除法和基數乘法。前者用于整數轉換，后者用數除法和基數乘法。前者用于整數轉換，后者用于小數轉換。如果某數包含整數和小數兩部分，于小數轉換。如果某數包含整數和小數兩部分，則須將它們分別轉換，然后合并起來。則須將它們分別轉換，然后合并起來。 （1-26） 整數轉換采用整數轉換采用基數除法基數除法，即，即“除除2取余取余”的的方法。也就是把十進

18、制整數除以方法。也就是把十進制整數除以2，取出余，取出余數數1或或0作為相應二進制數的最低位，把得作為相應二進制數的最低位，把得到的商再除以到的商再除以2，再取余數，再取余數1或或0作為二進制作為二進制數的次低位，依次類推，直至商為數的次低位，依次類推，直至商為0，所得，所得余數為最高位。余數為最高位。1）整數轉換）整數轉換（1-27） 將十進制數(76)10轉換為二進制數。解： 2 | 76 余數余數 2 |38 0 _ 最低位最低位 2 |19 0 2 |9 1 2 |4 1 2 |2 0 2 |1 0 0 1 _ 最高位最高位即： (76)10=(1001100)2（1-28） 小數轉換

19、采用小數轉換采用基數乘法基數乘法，即，即“乘乘2取整取整”的的方法。先將十進制小數乘以方法。先將十進制小數乘以2，取其整數，取其整數1或或0作為二進制小數的最高位，然后將乘積作為二進制小數的最高位，然后將乘積的小數部分再乘以的小數部分再乘以2，再取整數作為次高位。，再取整數作為次高位。依次類推，直至小數部分為依次類推，直至小數部分為0或達到所要求或達到所要求的精度。的精度。2） 小數轉換小數轉換（1-29） 試將(0.75)10轉換為二進制數 解： 0 . 7 5 ) 2 . 5 0 b-1=1 _ 小數最高位小數最高位 ) 2 . 0 0 b-2=1 _ 小數最低位小數最低位 試將(26.4

20、5)10轉換為二進制數，取小數五位。11（1-30） 解：這是一個既有整數又有小數的十進制數，可解：這是一個既有整數又有小數的十進制數，可將其兩部分分別轉換，然后相加。將其兩部分分別轉換，然后相加。 整數部分整數部分 小數部分小數部分 2 | 26 余數余數 0 . 4 5 2 | 13 0 最低位最低位 ) 2 2 | 6 1 . 9 0 b-1=0 最高位最高位 2 | 3 0 ) 2 2 | 1 1 . 8 0 b-2=1 0 1 最高位最高位 ) 2 . 6 0 b-3=1 ) 2 . 2 0 b-4=1 ) 2 . 4 0 b-5=0 最低位最低位 則：則：(26.45)10=(11

21、010.01110)201110（1-31） 將二進制數轉換成八進制數或十六進制數的方法將二進制數轉換成八進制數或十六進制數的方法是：是：從小數點開始，分別向左、向右按從小數點開始，分別向左、向右按3位（位（轉換轉換成八進制數成八進制數）或）或4位（位（轉換成十六進制數轉換成十六進制數）分組，）分組，最后不滿最后不滿3位或位或4位時，則填位時，則填0補充。再將每組以對補充。再將每組以對應的八進制數或十六進制數代替，即可得相應的應的八進制數或十六進制數代替，即可得相應的八進制數或十六進制數。八進制數或十六進制數。3. 八進制數、十六進制數與二進制數的轉換八進制數、十六進制數與二進制數的轉換（1-

22、32） 將二進制數將二進制數(10011101)2分別轉換為八進制分別轉換為八進制數和十六進制數。數和十六進制數。解：解：二進制數二進制數 1 0， 0 1 1 ，1 0 1 每每3位一組位一組 0 1 0， 0 1 1， 1 0 1， 最高位補最高位補0 八進制數八進制數 2 3 5 結果結果即：即：(10011101)2=(235)8（1-33） 二進制數二進制數 1 0 0 1，1 1 0 1 每每4位一組位一組十六進制數十六進制數 9 D 即：即：(10011101)2=(9D)16將八進制數或十六進制數轉換成二進制數的方法是將八進制數或十六進制數轉換成二進制數的方法是：將八進制數或十

23、六進制數的每一位將八進制數或十六進制數的每一位,用對應的用對應的3位位或或4位二進制數來表示即可。位二進制數來表示即可。（1-34） 將八進制數將八進制數(327)8和十六進制數和十六進制數(7A)16分別分別轉換成二進制數。轉換成二進制數。 解：解：八進制數八進制數 ( 3 2 7 )8 二進制數二進制數 011 010 111即：即： (327)8=(011010111)2 十六進制數十六進制數 ( 7 A )16二進制數二進制數 0111 1010即：即： (7A)16=(01111010)2（1-35） 計算機一般是采用二進制碼運算的。但有時需計算機一般是采用二進制碼運算的。但有時需要

24、用二進制碼來表示十進制數字，這種編碼方要用二進制碼來表示十進制數字，這種編碼方法稱之為法稱之為十進制數的代碼表示法十進制數的代碼表示法，它是用，它是用4位位二進制數來表示十進制數碼二進制數來表示十進制數碼09中的任意一個，中的任意一個，即所謂即所謂二二十進制碼十進制碼，簡稱為，簡稱為BCD碼碼。由于。由于4位二進制數碼可以表示位二進制數碼可以表示16種不同的組合狀態(tài)，種不同的組合狀態(tài)，用以表示用以表示1位十進制數位十進制數(只有只有09十個數碼十個數碼)，只，只需選擇其中的需選擇其中的10個狀態(tài)的組合，其余個狀態(tài)的組合，其余6種的組種的組合是多余的。因此，按組合狀態(tài)選取方式的不合是多余的。因此

25、，按組合狀態(tài)選取方式的不同，可以得到不同的二同，可以得到不同的二十進制編碼。如十進制編碼。如所列是常見的幾種所列是常見的幾種BCD編碼。編碼。三、三、 二二十進制十進制(BCD)(BCD)碼碼（1-36）十進制十進制 數數 8421碼碼 十十進進制制 數數 2421碼碼(A)十十進進制制數數2421碼碼(B) 十十進進制制數數5421碼碼十十進進制制數數余余3碼碼 十十進進制制數數格雷碼格雷碼 00000000001000010000不不出出現現000000000100011000120001200010001100012001020010300103001000102001130011300

26、11400114001100011300104010040100不不出出現現狀狀態(tài)態(tài)0100不不出出現現0100101004011050101501010101010120101501116011060110011001103011060101701117011101110111401117010081000不不出出現現狀狀態(tài)態(tài)10001000510005100091001100110016100161001不出現狀態(tài)不出現狀態(tài)101010101010710107101010111011510118101181011110011006110091100911001101110171101不不出

27、出現現1101不不出出現現110111108111081110111011101111911119111111111111權權8421242124215421無權無權無權無權 表表1.1 常見的幾種常見的幾種BCD編碼編碼（1-37） 在二在二十進制編碼中，一般分為十進制編碼中，一般分為有權碼有權碼和和無權碼無權碼兩大類。兩大類。例如例如8421BCD碼碼是一種最基本的，應用十分普遍的是一種最基本的，應用十分普遍的BCD碼。它是一種有權碼碼。它是一種有權碼. 8421就是指這種編碼中各位的權分別為就是指這種編碼中各位的權分別為8、4、2、1。屬于。屬于有權碼的還有有權碼的還有2421BCD碼碼

28、、5421BCD碼碼等，而等，而余余3碼碼，對，對于有權碼來說，由于各位均有固定的權，因此二進制數碼于有權碼來說，由于各位均有固定的權，因此二進制數碼所表示的十進制數值就容易識別。所表示的十進制數值就容易識別。 格雷碼格雷碼則是無權碼。但為可靠性編碼則是無權碼。但為可靠性編碼（1-38） 二二十進制數的表示方法十進制數的表示方法也很簡單，就是將十進制數也很簡單，就是將十進制數的各位數字分別用的各位數字分別用4位二進制數碼表示出來。例如，要位二進制數碼表示出來。例如，要將十進制數將十進制數(82)10用用8421編碼的二編碼的二十進制數來表示，十進制數來表示，則分別用則分別用(1000)2表示表

29、示“8”，(0010)2表示表示“2”，然后將，然后將兩組二進制數按原來十進制數的順序排列起來，所構兩組二進制數按原來十進制數的順序排列起來，所構成的就是二成的就是二十進制數，即：十進制數，即：(82)10=(1000 0010)BCD（下標下標BCD表示二表示二十進制數十進制數）。在二）。在二十進制數中，十進制數中，每組每組4位數是二進制，而組與組之間卻是十進制的關系。位數是二進制，而組與組之間卻是十進制的關系。（1-39）1.1.3 二進制數的運算二進制數的運算 二進制數的運算規(guī)則與十進制數相類似，其運算規(guī)二進制數的運算規(guī)則與十進制數相類似，其運算規(guī)則如下：則如下： (1) 加法運算規(guī)則加

30、法運算規(guī)則 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 (同時向鄰近高位進一同時向鄰近高位進一) (2) 減法運算規(guī)則減法運算規(guī)則 0-0=0 0-1=1 (同時向鄰近高位借一同時向鄰近高位借一) 1-0=1 1-1=0 (3) 乘法規(guī)則乘法規(guī)則010000010001111(4)除法規(guī)則除法規(guī)則111（1-40） 求求1001與與1010之和。之和。 解：將末位對齊逐位相加。則：解：將末位對齊逐位相加。則： 1 0 0 1 + ） . 1 0 1 0 1 0 0 1 1 即：即：1001+1010=10011 二進制數加法運算將末位對齊逐位相加，但采用二進制數加法運算將末位對齊逐位相加，

31、但采用“逢二進一逢二進一”的法則。的法則。（1-41） 求求1101與與1011之差。之差。 解：將末位對齊逐位相減。則：解：將末位對齊逐位相減。則： 1 1 0 1 ） 1 0 1 1 0 0 1 0 即：即：1101-1011=10 二進制數減法運算亦是將末位對齊逐位相減，當二進制數減法運算亦是將末位對齊逐位相減，當某數位減數大于被減數時，需向高位借位，并且某數位減數大于被減數時，需向高位借位，并且是是。（1-42） 求1001與1011的積。 解： 1 0 0 1 ) 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 即：1001

32、1011=1100011（1-43） 求10010001與1011之商。解：1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 111 0 1 11 1 1 011 0 1 11 1 00111 0 1 11 0. 商商余數余數二進制數的乘法和除法運算與十進制數的二進制數的乘法和除法運算與十進制數的運算類似，只是要采用二進制數的運算規(guī)則。運算類似，只是要采用二進制數的運算規(guī)則。 （1-44）1.1.4 補碼補碼 二進制數的最高位表示符號二進制數的最高位表示符號 0表示正數，表示正數，1表示負數表示負數 原碼：符號位與數值位的原碼：符號位與數值位的2組合組合 補碼補碼 正數的補碼與原碼相同正數的補碼與原

33、碼相同 負數的補碼：負數的補碼：保持符號位不變，數值位求反后保持符號位不變，數值位求反后再加再加1 （1-45） 1.2 邏輯代數的三種基本運算邏輯代數的三種基本運算 邏輯代數首先是由英國數學家喬治邏輯代數首先是由英國數學家喬治布爾布爾（George Boole）18151864年年奠定的，因此奠定的，因此又稱為又稱為布爾代數布爾代數；布爾代數的二值性質應用于；布爾代數的二值性質應用于兩態(tài)元件組成的數字電路兩態(tài)元件組成的數字電路(開關電路開關電路)尤為適合，尤為適合，自從布爾代數用于開關數字電路之后，又被稱自從布爾代數用于開關數字電路之后，又被稱為為開關代數開關代數。所以。所以邏輯代數、布爾代

34、數、開關邏輯代數、布爾代數、開關代數代數都是指同一概念。都是指同一概念。 目前，邏輯代數已成為研究數字系統(tǒng)邏輯設計目前，邏輯代數已成為研究數字系統(tǒng)邏輯設計的基礎理論。無論何種形式的數字系統(tǒng)，都是的基礎理論。無論何種形式的數字系統(tǒng)，都是由一些基本的邏輯電路所組成的。為了解決數由一些基本的邏輯電路所組成的。為了解決數字系統(tǒng)分析和設計中的各種具體問題，必須掌字系統(tǒng)分析和設計中的各種具體問題，必須掌握邏輯代數這一重要數學工具。握邏輯代數這一重要數學工具。 （1-46）在數字電路中，我們要研究的是電路在數字電路中，我們要研究的是電路的輸入輸出之間的邏輯關系，所以數字電的輸入輸出之間的邏輯關系，所以數字電

35、路又稱路又稱邏輯電路邏輯電路，相應的研究工具是，相應的研究工具是邏輯邏輯代數（布爾代數）代數（布爾代數）。在邏輯代數中，邏輯函數的變量只能在邏輯代數中，邏輯函數的變量只能取兩個值（取兩個值（二值變量二值變量），即），即0和和1，中間值，中間值沒有意義，這里的沒有意義，這里的0和和1只表示兩個對立的只表示兩個對立的邏輯狀態(tài)，如電位的低高（邏輯狀態(tài)，如電位的低高（0表示低電位，表示低電位，1表示高電位）、開關的開合等。表示高電位）、開關的開合等。一、一、 邏輯代數與基本邏輯關系邏輯代數與基本邏輯關系（1-47）（1）“與與”邏輯邏輯A、B、C條件都具備時，事件條件都具備時，事件F才發(fā)生。才發(fā)生。E

36、FABC&ABCF邏輯符號邏輯符號基本邏輯關系：基本邏輯關系：（1-48）F=ABC邏輯式邏輯式邏輯乘法邏輯乘法邏輯與邏輯與AFBC00001000010011000010101001101111真值表真值表（1-49）（2）“或或”邏輯邏輯A、B、C只有一個條件具備時，事件只有一個條件具備時，事件F就就發(fā)生。發(fā)生。 1ABCF邏輯符號邏輯符號AEFBC（1-50）F=A+B+C邏輯式邏輯式邏輯加法邏輯加法邏輯或邏輯或AFBC00001001010111010011101101111111真值表真值表（1-51）（3）“非非”邏輯邏輯A條件具備時條件具備時 ，事件，事件F不發(fā)生；不發(fā)生

37、；A不具備不具備時，事件時，事件F發(fā)生。發(fā)生。邏輯符號邏輯符號AEFR（1-52）邏輯式邏輯式邏輯非邏輯非邏輯反邏輯反真值表真值表AF AF0110（1-53）二、幾種常用的復合邏輯關系邏輯二、幾種常用的復合邏輯關系邏輯“與與”、“或或”、“非非”是三種基本的是三種基本的邏輯關系，任何其它的邏輯關系都可以邏輯關系，任何其它的邏輯關系都可以以它們?yōu)榛A表示。以它們?yōu)榛A表示。CBAF1與非：與非：條件條件A、B、C都具都具備，則備，則F 不發(fā)不發(fā)生。生。&ABCF（1-54）CBAF或非：或非：條件條件A、B、C任一任一具備，則具備，則F不不 發(fā)生。發(fā)生。 1ABCF與或非與或非F3=A

38、B+CD（1-55）異或運算異或運算ABF1 01 10 10 01100邏輯表達式邏輯表達式F=AF=A B=AB+ABB=AB+AB ABF=1邏輯符號邏輯符號ABF1 01 10 10 00011同或運算同或運算邏輯表達式邏輯表達式F=A F=A B= B= A A B B ABF=1邏輯符號邏輯符號“ ”異或邏輯異或邏輯運算符運算符“”同或邏輯同或邏輯運算符運算符（1-56） 從三種基本的邏輯關系出發(fā)，我們可從三種基本的邏輯關系出發(fā)，我們可以得到以下邏輯運算結果：以得到以下邏輯運算結果：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=11001 1.3 邏輯代數的

39、運算規(guī)則和基本定律邏輯代數的運算規(guī)則和基本定律一、基本運算規(guī)則一、基本運算規(guī)則（1-57）A+0=A A+1=1 A 0 =0 A=0 A 1=A1 AAAAA0 AAAAA AA（1-58）二、基本代數規(guī)律二、基本代數規(guī)律交換律交換律結合律結合律分配律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代普通代數不適數不適用用!（1-59）三、吸收規(guī)律三、吸收規(guī)律1.原變量的吸收：原變量的吸收：A+AB=A證明：證明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用運算規(guī)則可以對邏輯

40、式進行化簡。利用運算規(guī)則可以對邏輯式進行化簡。例如：例如：CDABFEDABCDAB)(被吸收被吸收（1-60）2.反變量的吸收：反變量的吸收：BABAA證明：證明：BAABABAABAAABA)(例如：例如：DCBCADCBCAA 被吸收被吸收（1-61）3.混合變量的吸收：混合變量的吸收：CAABBCCAAB證明：證明：BCAACAABBCCAAB)(CAABBCAABCCAAB例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB1吸收吸收吸收吸收（1-62）4. 反演規(guī)律：反演規(guī)律：BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可

41、以用列真值表的方法證明：可以用列真值表的方法證明：（1-63） 1 1、代入定理、代入定理 在任何一個包含變量在任何一個包含變量A A的邏輯等式中，若以另的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有外一個邏輯式代入式中所有A A的位置，則等式的位置，則等式仍然成立。仍然成立。1.4 邏輯代數基本定理邏輯代數基本定理例如：例如：BABADCBADCBA則則由此反演律能推廣到由此反演律能推廣到n n個變量：個變量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A（1-64） 2 2、反演定理、反演定理 對于任意一個邏輯式對于任意一個邏輯式Y Y，若將其中的，若將其中的“ ”“ ”換成換

42、成“+”+”， “ “+”+”換成換成“ ”“ ”，原變量換，原變量換成反變量，反變量換成原變量，成反變量，反變量換成原變量，“1”1”換成換成“0”0”， “ “0”0”換成換成“1”1”，則得到的結果，則得到的結果就是就是例如：例如：YCDCBAY)()(DCCBAY基本定理基本定理（1-65）基本定理基本定理注：注： 保持原函數的運算次序保持原函數的運算次序-先與后或，必要時先與后或，必要時適當地加入括號。適當地加入括號。 不屬于單個變量上的非號要保留。不屬于單個變量上的非號要保留。F(AF(A，B B，C)C)CBAB )C A(BA )CBA(BCA)BA(F)CBA(B)CA()B

43、A(F例如：例如：或者：或者：（1-66） 3 3、對偶定理、對偶定理 若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。定義：對于任意一個邏輯式定義：對于任意一個邏輯式Y Y，若將其中的，若將其中的“ ”“ ”換成換成“+”+”， “ “+”+”換成換成“ ”“ ”， “ “1”1”換成換成“0”0”， “ “0”0”換成換成“1”1”，則得到的結果就是，則得到的結果就是Y Y的對偶式的對偶式YY例如：例如：A(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)基本定理基本定理（1-67）基本定理基本定理 求對偶式時求對偶式時運算順序不變運算順序不變，且它只，

44、且它只變變換運算符和常量換運算符和常量，其，其變量是不變變量是不變的。的。注意：注意： 函數式中有函數式中有“ ”和和“”運算符，求運算符，求反函數及對偶函數時，要將運算符反函數及對偶函數時，要將運算符“ ”換成換成“”， “ “”換成換成“ ”。 B1CAABF 其對偶式其對偶式)B 0() CA ()BA(F例：例：（1-68）一、邏輯函數的表示方法一、邏輯函數的表示方法四種四種表示方法表示方法Y=AB + ABY=AB + AB邏輯代數式邏輯代數式( (邏輯表示式邏輯表示式, , 邏輯函數式邏輯函數式) )1 11 1& & &11A AB BY Y 邏輯電路圖邏

45、輯電路圖: :卡諾圖卡諾圖 將邏輯函數輸入變量取值的不同組合與將邏輯函數輸入變量取值的不同組合與所對應的輸出變量值用列表的方式一一對應列出所對應的輸出變量值用列表的方式一一對應列出的表格。的表格。n2n n個輸入變量個輸入變量 種組合種組合。真值表：真值表： 1.5 邏輯函數的表示法邏輯函數的表示法（1-69）真值表：將輸入、輸出的所有可能真值表：將輸入、輸出的所有可能 狀態(tài)狀態(tài)一一對應地列出。一一對應地列出。ABCF01000110000000101000101111011111設設A、B、C為輸入變量，為輸入變量，F為輸出變量。為輸出變量。（1-70）真值表真值表邏輯函數的表示方法邏輯函數

46、的表示方法 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 10 10 11 01 0A YA Y一輸入變一輸入變量，二種量，二種組合組合二輸入變二輸入變量，四種量，四種組合組合三輸入變三輸入變量，八種量，八種組合組合（1-71）真值表真值表（四輸入變量）（四輸入變量）邏輯函數的表示方法邏輯函數的表示方法A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1

47、1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四輸入變四輸入變量，量，16種種組合組合（1-72） n個變量可以有個變量可以有2n個組合，個組合，一般按二進制的順序，輸出與一般按二進制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對應，列出所有輸入狀態(tài)一一對應，列出所有可能的狀態(tài)?？赡艿臓顟B(tài)。（1-73）二、二、 邏輯函數的標準形式邏輯函數的標準形式（1-74）邏輯函數的標準形式邏輯函數的標準形式 對于一個任意的邏輯函數通常有“積之和積之和”與“和和之積之積”兩種基本表達形式，且其表達形式并

48、不是唯一的，如 是“積之和積之和”的形式，又稱“與與或或”表達式表達式； 而 則是“和之積和之積”的形式，又稱“或或與與”表達式表達式。但一個邏輯函數的標準形式卻是唯一的，邏輯函數標準形式的唯一性給用圖表方法化簡函數提供了方便，并且建立了邏輯函數與真值表的對應關系。CCBAABF)(CBBAF（1-75）1.1.最小項及邏輯函數的最小項及邏輯函數的 最小項之和的標準形式最小項之和的標準形式 邏輯函數的最小項邏輯函數的最小項* 1） 最小項定義最小項定義 在一個具有在一個具有n n變量的邏輯函數中，如果一個與項包含變量的邏輯函數中，如果一個與項包含了所有了所有n n個的變量，而且每個變量都是以原

49、變量或是反個的變量，而且每個變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個因子僅出現一次，那么這樣的與變量的形式作為一個因子僅出現一次，那么這樣的與項就稱為該邏輯函數的一個最小項。對于項就稱為該邏輯函數的一個最小項。對于n n個變量的全個變量的全部最小項共有部最小項共有2 2n n個。個。（1-76） 例如，在三變量的邏輯函數例如，在三變量的邏輯函數F（A、B、C）中，它們中，它們組成的八個乘積項即組成的八個乘積項即 、 、 、 、 、 、 、 、都符合最小項的定義。、都符合最小項的定義。因此，我們把這八個與項稱為三變量邏輯函數因此，我們把這八個與項稱為三變量邏輯函數F（A、B、C）的最小項。除此之

50、外的最小項。除此之外 ， 還有還有 、 等與等與項，都不滿足最小項的定義，所以，都不是三變量項，都不滿足最小項的定義，所以，都不是三變量邏輯函數邏輯函數F（A、B、C）的最小項。的最小項。CBACBACBABCACBACBACABABCABCA（1-77） 2 2）最小項的性質）最小項的性質 列出了三變量的所有最小項的真值表。列出了三變量的所有最小項的真值表。由該表可知最小項具有下列性質：由該表可知最小項具有下列性質： （1 1）對于任意一個最小項，有且僅有一組變對于任意一個最小項，有且僅有一組變量取值使其值為量取值使其值為1，而其余各種變量取值均使，而其余各種變量取值均使它的值為它的值為0。

51、 （2 2）不同最小項，使其值為不同最小項，使其值為1的變量取值也不的變量取值也不相同。相同。 （3 3）對于變量的任意一組取值，任意兩個不對于變量的任意一組取值，任意兩個不同最小項的乘積均為同最小項的乘積均為0。 （4 4）對于變量的任意一組取值，全體最小項對于變量的任意一組取值，全體最小項的和恒為的和恒為1 。（1-78） 3 3）最小項編號）最小項編號 為了表達方便，人們通常用為了表達方便，人們通常用mi表示最小項，表示最小項，其下標其下標i為最小項的編號。為最小項的編號。編號的方法是編號的方法是：最小項：最小項中的原變量取中的原變量取1，反變量取，反變量取0，則最小項取值為一，則最小項

52、取值為一組二進制數，其對應的十進制數便為該最小項的組二進制數，其對應的十進制數便為該最小項的編號。如三變量最小項編號。如三變量最小項 對應的變量取值為對應的變量取值為100，它對應的十進制數為它對應的十進制數為4，因此，最小項，因此，最小項 的編號的編號為為m4。其余最小項的編號以此類推。其余最小項的編號以此類推。 值得注意的是，在規(guī)定值得注意的是，在規(guī)定n變量最小項的編號時，變量最小項的編號時，對變量的排列順序是重要的。例如，把對變量的排列順序是重要的。例如，把 記作記作m4。其中隱含了。其中隱含了A是最高位，而是最高位，而C是最低位這一排是最低位這一排列順序。三變量全體最小項的編號如列順序

53、。三變量全體最小項的編號如所列。所列。CBACBACBA（1-79） 表表 1.10 量所有最小項真值表量所有最小項真值表 ABCABC0001000000000101000000010001000000110001000000000001000101000001001100000001011100000001最小項編號最小項編號m0m1m2m3m4m5m6m7CBACBABCACBACBACABCBA（1-80） 4）最小項之和的標準形式）最小項之和的標準形式 由最小項的邏輯或的形式所構成的邏輯函數表由最小項的邏輯或的形式所構成的邏輯函數表達式稱之為邏輯函數的達式稱之為邏輯函數的最小項之和的

54、標準形式最小項之和的標準形式。如：如： BCACBACABCBAF),(=m6+m4+m3又記為：又記為：)6 , 4 , 3(m)C,B,A(F這是一個三變量邏輯函數，其變量按這是一個三變量邏輯函數，其變量按（A，B，C）排列，函數本身由排列，函數本身由3個最小項構成。上述表達式即個最小項構成。上述表達式即為邏輯函數的最小項之和的標準形式。為邏輯函數的最小項之和的標準形式。（1-81）2. 最大項及邏輯函數的最大項及邏輯函數的 最大項之積的標準形式最大項之積的標準形式 邏輯函數的最大項邏輯函數的最大項 1）最大項定義）最大項定義 在一個具有在一個具有n變量的邏輯函數中，如果一個或變量的邏輯函

55、數中，如果一個或項包含了所有項包含了所有n個的變量，而且每個變量都是個的變量，而且每個變量都是以原變量或是反變量的形式作為一個因子僅出以原變量或是反變量的形式作為一個因子僅出現一次，那么這樣的或項就稱為該邏輯函數的現一次，那么這樣的或項就稱為該邏輯函數的一個一個最大項最大項。對于。對于n個變量的全部最大項共有個變量的全部最大項共有2n個。個。（1-82）例如，在三變量的邏輯函數例如，在三變量的邏輯函數F（A、B、C）中，中，它們組成的八個和項即它們組成的八個和項即 CBACBACBACBACBACBACBACBA都符合最大項的定義。因此，我們把這八個都符合最大項的定義。因此，我們把這八個或項稱

56、為三變量邏輯函數或項稱為三變量邏輯函數F（A、B、C）的的最大項。除此之外，還有最大項。除此之外，還有 、最大項。最大項。 BACA等或項，都不滿足最大項等或項，都不滿足最大項的定義，的定義，都不是三變量邏輯函數都不是三變量邏輯函數F（A、B、C） 的的所以，所以，（1-83） 2 2）最大項的性質）最大項的性質 邏輯函數的邏輯函數的最大項最大項具有下列具有下列性質性質： （1 1）對于任意一個最大項，有且僅有一組變量取對于任意一個最大項，有且僅有一組變量取值使其值為值使其值為0，而其余各種變量取值均使它的值為，而其余各種變量取值均使它的值為1。 （2 2）不同最大項，使其值為不同最大項，使其

57、值為0的變量取值也不相的變量取值也不相同。同。 （3 3）對于變量的任意一組取值，任意兩個不同最對于變量的任意一組取值，任意兩個不同最大項的和均為大項的和均為1。 （4 4）對于變量的任意一組取值，全體最大項的積對于變量的任意一組取值，全體最大項的積恒為恒為0。 （1-84） 3 3）最大項編號）最大項編號 最大項編號最大項編號用用Mi表示最大項，其下標表示最大項，其下標i為最大為最大項的編號。項的編號。編號的方法是編號的方法是：最大項中的原變量：最大項中的原變量取取0，反變量取，反變量取1，則最大項取值為一組二進制，則最大項取值為一組二進制數，其對應的十進制數便為該最大項的編號。數，其對應的

58、十進制數便為該最大項的編號。 如如 三變量最大項對應的變量取值三變量最大項對應的變量取值為為011，它對應的十進制數為，它對應的十進制數為3， 因此，因此， 最大項的編號為最大項的編號為M3。其余最。其余最大項的編號以此類推大項的編號以此類推 CBACBA（1-85） 4）最大項之積的標準形式）最大項之積的標準形式 由最大項的邏輯與的形式所構成的邏輯函數表由最大項的邏輯與的形式所構成的邏輯函數表達式稱之為邏輯函數的最大項之積的標準形式。達式稱之為邏輯函數的最大項之積的標準形式。如：如：)()(),(CBACBACBACBAF=M1M3M4又記為：又記為：) 4 , 3 , 1 (),(MCBA

59、F是一個三變量邏輯函數，其變量按是一個三變量邏輯函數，其變量按（A，B，C）排列，函數本身由排列，函數本身由3個最大項構成。上述表達式個最大項構成。上述表達式即為邏輯函數的即為邏輯函數的最大項之積的標準形式最大項之積的標準形式。（1-86）3. 將邏輯函數展開為將邏輯函數展開為 兩種標準形式的方法兩種標準形式的方法 利用公式利用公式1 XX與與0 XX將函數將函數展開為兩種標準形式展開為兩種標準形式我們通過求解下面的例題來學習該方法的我們通過求解下面的例題來學習該方法的具體應用。具體應用。 將函數將函數)(),(CABACBAF展開為兩種標準形式。展開為兩種標準形式。（1-87） 解：解：（1

60、）求最小項之和的標準形式）求最小項之和的標準形式)(),(CABACBAF)(CABABCABCAABCA 將函數式變換為一般將函數式變換為一般“與與或或”表達表達式式 )()(CCABCBBA 運用公式運用公式1 XX變換為變換為最小項之和的形式最小項之和的形式CABABCCBABCA =m1+m3+m6+m7)7 , 6 , 3 , 1 (m=（1-88） （2）求最大項之積的標準形式 )(),(CABACBAF)(CABA)(CBBACCBA)()()(CBACBACBACBA)5 , 4 , 2 , 0(M0 XX= 將函數式變換為將函數式變換為 一般一般 “ “或或與與”表達表達式式運用運用=M0M2M4M5公式公式