高中數(shù)學《加法原理與乘法原理》教學課例分析

1、高中數(shù)學加法原理與乘法原理教學課例分析 一、教學設計1、教學內容分析。兩個基本原理一課是 排列、組合、二項式定理一章的開頭課，學習它所需的先行知識跟學生已知的數(shù)學知識聯(lián)系很少，它是在人們大量的實踐經驗的基礎上歸納抽象出來的基本規(guī)律。而且，在日常工作和生活中，只要涉及到安排調配、統(tǒng)籌規(guī)劃等問題，就離不開它。因此，它具有廣泛的應用性，是培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識和實踐能力的良好素材。同時，兩個原理也是推導排列數(shù)、組合數(shù)計算公式的理論依據(jù)，是分析排列、組合應用題的基本思路。正確使用兩個基本原理的前提是使學生分清楚兩個基本原理使用的條件：分類用加法原理，分步用乘法原理。單是這一點，學生是很容易理解的，問題在

2、于怎樣合理的分類、分步，特別是在分類、分步時怎樣才能做到既不重復，又不遺漏。在實際應用中，常用到觀察、分析、歸納、類比、總結等方法，因此，也是幫助學生發(fā)展思維能力，培養(yǎng)學生周密思考、細心分析的良好習慣的好素材。2、數(shù)學情境的創(chuàng)設。數(shù)學問題源于情境，因此情境創(chuàng)設的優(yōu)劣將直接影響問題的提出和提出問題的質量。貼近學生生活數(shù)的學情境，能夠激發(fā)學生強烈的興趣，促進學生發(fā)現(xiàn)其中的問題，提出問題，并樂于去解決問題。所以，創(chuàng)設情境是運用“情境問題”這一教學模式上好一堂課的關鍵。我上這一堂課的時間是 2002 年 6 月 4 日上午第四節(jié)課，當時的背景是 2002 年韓日足球世界杯剛剛開幕，中國隊進入了決賽階段

3、，并且當天下午就要打第一場比賽，也是中國隊在本屆世界杯上，最有希望贏球的一場比賽。據(jù)估計，班上 80 % 的學生是球迷，對足球有著濃厚的興趣。因此，我設置了以下情境：中國隊進入韓日世界杯決賽階段，就有了小組出線乃至奪冠的機會和可能，圓了眾多球迷 44 年的心愿。對于中國隊的第一場比賽，每個人都有不同的看法和預測。請說說你的看法和預測，你最關心什么？這個情境正是學生最關注的“誰能奪冠”及“中國隊能否出線”的內容，也正好是作為引出兩個基本原理的實例。 3、課堂教學目標根據(jù)教學大綱的要求，結合數(shù)學情境的創(chuàng)設，確定本節(jié)課的素質教育目標是：1）、知識教學目標：理解和掌握加法原理與乘法原理。2）、能力訓練

4、目標：通過分析、探究將足球賽的現(xiàn)實情境問題轉化為加法原理與乘法原理的數(shù)學問題來解決，培養(yǎng)學生從具體到抽象的思維方法，使學生獲得“數(shù)學化”的體驗。3）、情感、態(tài)度目標：通過對中國隊能否小組出線與奪冠可能性的討論，激發(fā)學生的學習興趣和愛國熱情，培養(yǎng)學生正確地面對成功、失敗與挫折的良好心態(tài)。二、教學過程（一）、創(chuàng)設情境。師：中國隊進入韓日世界杯決賽階段，就有了小組出線乃至奪冠的機會和可能。對于本次世界杯足球賽，每個人可能有不同的看法和預測。那么，大家最關心的是什么呢？今天下午，中國隊將進行本屆世界杯上的第一場比賽：中國哥斯達黎加。這節(jié)課，我們先來聊一下足球賽。（通過聊足球賽來激發(fā)學生的學習興趣）（時

5、間控制在 5 分鐘之內）學生1：中國隊能進入世界杯的決賽階段，我是非常高興的，我希望中國隊在本次世界杯上能取得很好的成績，最好能進入決賽，爆出一個大冷門。師：同學1說出了我們大家的希望，希望中國隊能發(fā)揮他們的水平，賽出中國隊的風格來。學生2：對于本次世界杯，中國隊的實力還達不到和世界強隊競爭的水平，所以我只希望中國隊能進一個球，能贏一場比賽，也就不枉進了一回世界杯。師:看來這位同學對中國隊的現(xiàn)狀是作了一些實力分析，態(tài)度比較保守。學生3：足球是圓的，在比賽場上是什么情況都有可能發(fā)生的，只要中國隊能贏一場平一場，那么，就可以進入 16 強，我最關心的是“誰能奪冠”及“中國隊能否出線”。師：“奪冠”

6、、“出線”可能是在座各位最關心的問題了。（在黑板上板書“奪冠”、“出線”）（二）、提出問題。師：在足球場上，要想贏球，是和教練的事前戰(zhàn)術布置、球員的技術發(fā)揮、比賽雙方的實力對比、天氣情況等各種外在、內在的因素密不可分的。比賽場上，什么情況都有可能發(fā)生。所以不能說中國隊就完全沒有出線、乃至奪冠的可能。奪冠問題如果排除各種外在、內在的因素，單單從奪冠的可能性來說，這次世界杯的冠軍會有多少種不同的可能？出線問題中國所在的 C 組，分別以第一名、第二名身份出線的兩隊，有多少種不同的可能？（三）、解決問題。師：這節(jié)課我們就來解決這兩個問題。1、奪冠問題。（由學生分組討論解決方法）（時間控制在 15 分鐘

7、之內）小組1：將球隊按所在的賽區(qū)可以分為 6 類，即 6 個賽區(qū)：直接晉級的 3 支，亞洲隊 2 支，非洲隊 5 支，歐洲隊 14 支，北美洲隊 3 支，南美洲隊 5 支，由于無論哪一個賽區(qū)中的哪一支球隊都有奪冠的可能。所以一共有 N = 3 + 2 + 5 + 14 + 3 + 5 = 32種不同的奪冠可能。師：上面這種方法可以歸納為我們所說的“加法原理”：做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在第一類辦法中有 m 1 種不同的方法，在第二類辦法中有 m 2 種不同的方法， 在第 n 類辦法中有 m n 種不同的方法。那么，完成這件事共有 N = m 1 + m 2 + + m n 種不同的方

8、法。小組2：按照世界杯的分組來分類，可以分為 8 類，即8 個小組，每組 4 支隊，每個小組內的 4 支球隊都有奪冠的可能，則一共有 N = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 種不同的可能。小組3：將這 32 支球隊看成一類，這一類中有 32 種不同的方法，每一種方法都能獨立的完成“奪冠”這件事，所以根據(jù)加法原理，一共有 32 種不同的可能。2、出線問題：（時間控制在 20 分鐘之內）學生5：為了解決問題可以列出各種可能，以 C 組為例：第一名 第二名 第一名 第二名 土耳其 巴 西巴西 中 國 共3種 哥斯達黎加 中 國 共3種 哥斯達黎加 土耳其 巴 西

9、 巴 西中國 土耳其 共3種 土耳其 中 國 共3種 哥斯達黎加 哥斯達黎加一共有 4 × 3 = 12 種不同的出線可能。師：上面這種方法可以歸納為下面要講的“乘法原理”：做一件事，完成它需要分成 n 個步驟，做第一步有 m 1 種不同的方法，做第二步有 m 2 種不同的方法， 做第 n 步有 m n 種不同的方法。那么，完成這件事共有 N = m 1 × m 2 × × m n 種不同的方法。淺析兩個基本原理。1、共同點：計算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)。2、區(qū)別：加法原理與分類有關，要求不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨的完成這件事。每類

10、是獨立完成事情。乘法原理與分步有關，要求依次完成所有步驟后，才能完成這件事，每步是階段性的完成事情。所以，應用兩個原理的關鍵在于恰當?shù)姆诸惢蚍植?，使分類或分步不重復，不遺漏。換句話說，類類互斥，步步獨立。師：對于剛才的 數(shù)學結論是排除了各方面的干擾的，但實際問題中，是要受到各種各樣的因素的干擾。所以，不能僅僅根據(jù)我們算出來的結論就武斷地做出結論，必須具體問題具體分析。認真而又冷靜的對待比賽的結果。三、回顧反思這堂課受到聽課教師和學生的好評，主要是因為數(shù)學情境設置的時機非常適宜。下午就要進行比賽，而上午就上這堂大家都比較感興趣的課。1、創(chuàng)設情境是上好課的基礎。為了創(chuàng)設好的數(shù)學情境，教師必須悉心研

11、究教材，了解教材內容體系，了解學生的興趣愛好、身心發(fā)展水平，選擇既貼近學生生活，能激起學生學習興趣，調動學生的求知欲，又緊扣教材知識內容的實際問題作為情境。設置了好的數(shù)學情境，因為學生感興趣，所以能自然的引導學生提出問題，并由學生自己想辦法解決問題，充分發(fā)揮了學生的主體作用。2、恰當引導學生提出數(shù)學問題。對于進行“數(shù)學情境與提出問題”課題研究，在上課前需要事先預想學生可能會提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學生的發(fā)散思維。在講授過程中并不是每一個環(huán)節(jié)都能按照教師的預想的步驟進行，對于課堂上的突發(fā)性的問題，教師要能自如的應對。比如，在講授“奪冠問題”加法原理時，有學生突然提出一種分

12、類的方法：按照隊員的膚色來分類。在講課時只是一帶而過：“有很多隊伍中的隊員膚色并不統(tǒng)一，那他們該屬于哪一類呢？這是不能確定的。分類必須具有確定性，所以這種分類不能采用。”但是，應該抓住這個契機，在鼓勵學生發(fā)散思維進行思考的同時，還應該對于學生的不規(guī)范的答案進行點撥。“雖然隊伍中的隊員膚色不統(tǒng)一，但是可以通過增加條件來解決。比如，根據(jù)隊長的膚色來分類，那么問題就可以解決了?！?、以單元大情境帶動數(shù)學教學。在教學過程中，學生的思維是活躍的。本課中，學生除了提出“奪冠”與“出線”兩個緊扣本課內容的問題外，還提出了其他很多有價值的問題。這些問題雖然不能在本節(jié)課中得到解決，但卻是學生關心并希望自己能夠解決的問題；這些問題為下一步進行排列組合的概念，排列數(shù)、組合數(shù)公式以及排列組合實際應用問題作了鋪墊。比如：1）、每個小組要進行多少場比賽？這個問題可以用來解決求排列數(shù)公式的問題。2）、中國隊共有 5名運動員可以踢前鋒的位置，一場比賽需要2名前鋒，可以有多少種出場方式？這個問題可以用來解決求組合數(shù)公式的問題。3）、如果贏一場比賽得 3 分，平一場得 1 分，輸一場得 0 分，那么中國隊所在的 C 組，會有多少種得分情況。4）、如果中國隊每個位置都有