函數(shù)的單調(diào)性與凸性（Word）

1、第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、 函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的判定定理定理4.3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，那么如果時(shí)，恒有 在內(nèi)遞增（等號(hào)僅在有限個(gè)點(diǎn)處成立）如果時(shí)，恒有 在內(nèi)遞減（等號(hào)僅在有限個(gè)點(diǎn)處成立）注：定理中的區(qū)間也可換成其它形式的各種區(qū)間1 / 132、補(bǔ)充概念1 駐點(diǎn)：使的點(diǎn)，稱為的駐點(diǎn)。2 臨界點(diǎn)：函數(shù)的駐點(diǎn)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)。例1 確定的單調(diào)增減區(qū)間 -1 1+-+注：（1）復(fù)習(xí)序軸標(biāo)根法：每個(gè)因子中的系數(shù)為正數(shù)軸上只標(biāo)出單重根畫波浪線時(shí)總是從右上側(cè)入手。（2）單調(diào)性的一般步驟解方程求出所有的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，即臨界點(diǎn)將所有的臨界點(diǎn)從小到大排列劃分函數(shù)的定義域，

2、列表，由判定定理寫出結(jié)果最后寫出綜合的結(jié)果例2 確定的增減性例3（補(bǔ)充） 確定的單調(diào)區(qū)間3、利用單調(diào)性證明不等式例4（補(bǔ)充） 當(dāng)時(shí)，求證：當(dāng)時(shí)，求證：補(bǔ)充(900406)當(dāng)時(shí)，求證：二、曲線的凹向與拐點(diǎn)1曲線的凹向概念定義4.2 曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的上方 曲線在這個(gè)區(qū)間上上凹的U曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的下方 曲線在這個(gè)區(qū)間上下凹的 下凹 上凹U定義：設(shè)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，如果對(duì)I上任意的兩點(diǎn)恒有：凹的凸的注：常用凸凹性來(lái)證明不等式。如習(xí)題34： 8（3）設(shè)即可。特別的：如果曲線是凹的，且則對(duì)有利用它來(lái)證明不等式。例：習(xí)題34： 8（5）設(shè)凸的又，故對(duì)任意的有2、曲線凸凹性的判定定理定理

3、7 設(shè)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則有 上凹有 下凹3曲線的拐點(diǎn)及其判斷1）定義3 曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。2）拐點(diǎn)的判定定理區(qū)間+ U-拐點(diǎn)- n+ U拐點(diǎn)+ U+ U無(wú)拐點(diǎn)- n- n注： （1）只關(guān)心在左右鄰近，存在且符號(hào)相反，則為拐點(diǎn)。與，存在與否無(wú)關(guān)。（2）拐點(diǎn)的可能取值：或不存在的點(diǎn)（可能存在，也可能不存在）例1 求的凹向與拐點(diǎn)解： 0 1區(qū)間+-+ Un U 拐點(diǎn) 拐點(diǎn)例2 求的凹向與拐點(diǎn)解：（不存在的點(diǎn)） 2區(qū)間-+n U 拐點(diǎn)三、小結(jié)：（1）單調(diào)性與極值：求出的根，不存在的點(diǎn)，然后再列表討論。（2）凸凹性與拐點(diǎn)：求出的根，不存在的點(diǎn)，然后再列表討論。作業(yè)：課堂練習(xí)34： 1，2 習(xí)題34： 1，2，4（1）（4）（5）（8）5（1）（2）（6），6，7（1）（3）（9），8（3）（5），9 友情提