向量與矩陣的定義及運(yùn)算

1、第一章第一章 向量與矩陣的基本運(yùn)算向量與矩陣的基本運(yùn)算21 向量與矩陣的定義及運(yùn)算向量與矩陣的定義及運(yùn)算1212(,1,)(1,2, ).nninnina aaaaaain 由由 個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)成成的的有有序序數(shù)數(shù)組組，記記作作稱稱為為；若若記記作作則則稱稱為為。并并稱稱數(shù)數(shù)維維行行向向量量維維列列向向?yàn)闉?的的定定量量第第 個(gè)個(gè)分分量量義義3(),1 3 8 ;(10,23,45,2);nnvector nxyzn 維維行行向向量量和和 維維列列向向量量都都可可稱稱為為維維向向量量常常用用小小寫寫黑黑體體希希臘臘字字母母 ， ，維維向向量量例例表表示示。：（ ， ， ）412121122112

2、212(,),(,)(1),1,2, ,(2)(,)(,)2(3)(,)(nniinnnnnna aab bbab inab ababab ababkka kakakkk 設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè) 維維向向量量 如如果果它它們們對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的分分量量分分別別相相等等，即即則則稱稱定定義義相相等等加加法法和和向向量量 與與，記記作作 。：稱稱向向量量為為與與 的的，記記作作 。：設(shè)設(shè) 為為數(shù)數(shù)，稱稱向向量量為為與與 的的，記記作作數(shù)數(shù)量量乘乘法法數(shù)數(shù)乘乘12,).na kaka同同型型向向量量才才能能進(jìn)進(jìn)行行加加法法以以及及比比較較注注意意：是是否否相相等等5(4)(0,0,0)0()分分量量全全為為零零的的

3、向向量量稱稱為為，記記作作應(yīng)應(yīng)注注意意區(qū)區(qū)別別數(shù)數(shù)零零和和零零向向量量向向量量零零；12(5)(,).naaa稱稱為為 的的，記記作作向向量量的的加加法法以以及及數(shù)數(shù)與與向向量量的的數(shù)數(shù)乘乘統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為向向量量的的負(fù)負(fù)向向量量線線性性運(yùn)運(yùn)算算。6;)()(;)();()()(,040321 ；下的運(yùn)算規(guī)律：下的運(yùn)算規(guī)律：向量的線性運(yùn)算滿足如向量的線性運(yùn)算滿足如，及任意的數(shù)及任意的數(shù)，維向量維向量對(duì)任意的對(duì)任意的lkn7(5)1;(6) ()() ;(7) ();(8)();k lklkkkklkl 1122().(,).nnab abab ：在在上上面面的的八八條條運(yùn)運(yùn)算算規(guī)規(guī)律律中中只只利利

4、用用了了向向量量的的加加法法和和數(shù)數(shù)乘乘。但但是是，利利用用負(fù)負(fù)向向量量的的概概念念，依依然然可可以以定定義義向向量量的的運(yùn)運(yùn)算算： 注注意意減減法法減減直直觀觀地地說(shuō)說(shuō)向向量量法法對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的分分的的就就，量量是是相相減減800 ( 1)00;0,0,0kkk 顯顯然然，向向量量還還滿滿足足以以下下的的性性質(zhì)質(zhì)： ， ，若若則則或或 。9123123(1, 1,2),(1,2,0),(1,0, 3),212,1 求求例例。(1, 1,2)2(1,2,0)12(1,0, 3)(1, 1,2)(2,4,0)(12,0, 36)(1212, 140,2036)(11, 5, 34). 解解：101

5、12233123123kkk 線線性性表表題題中中的的 可可以以表表示示為為的的形形式式，稱稱可可由由向向量量，或或稱稱 是是，的的一一個(gè)個(gè)出出線線性性組組合合。3123131.iiiiik 注注為為了了簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化記記號(hào)號(hào)，可可以以用用連連加加號(hào)號(hào)表表：和和要要簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫寫成成必必須須滿滿足足：每每項(xiàng)項(xiàng)形形式式完完全全一一樣樣，不不一一樣樣的的只只示示向向量量之之和和。是是求求和和指指標(biāo)標(biāo)，可可簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為因因此此題題中中的的向向量量運(yùn)運(yùn)而而且且求求和和指指標(biāo)標(biāo)連連續(xù)續(xù)從從小小到到大大算算可可表表為為意意增增加加一一。111212(,)(1,0,0),(0,1,0),(0, , )20 1nnnk

6、kk 證證明明：任任意意 維維向向量量是是向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)線線例例性性組組合合。1212121(,)(,0,0)(0,0,0)(0,0,)(1,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1),.nnnniiik kkkkkkkkk ：由由向向量量的的線線性性運(yùn)運(yùn)算算，得得也也即即是是明明證證12 nnn n，稱稱， ，為為 維維線線性性空空間間R R 的的. .基基本本向向量量組組L L12 + 2 1 5 2 0 - 3 0 11 4 . 已已 知知（，） ，（，） ， 求求補(bǔ)補(bǔ)，：例 2 + - 23 10 51 21 04 （） （）（，）（ 5 5 , , 1 1 , , 6 6 ,

7、 , 1 1 , , 4 4 ) ) ，解2 + - 23 10 51 21 04 （）（）（，）= =（ - -1 1， 1 1， 4 4， 3 3， - -4 4） , ,13 1(2 )21111151614)222222.5, 0.5, 3,0.5, 2, （，（） , , 1( 2 )(0 .5 , 0 .5 , 2 , 1 .5 ,2 ).214二二 矩陣矩陣01,().3PCPa bPPnumber field設(shè)設(shè) 是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)集集 的的一一個(gè)個(gè)子子集集合合，其其中中包包含含與與 。如如果果 中中的的任任意意兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)（這這兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)也也可可以以定定義義數(shù)數(shù)相相同同）的的和和

8、、差差、積積、商商（除除數(shù)數(shù)不不為為零零）仍仍在在 中中，則則稱稱 是是一一個(gè)個(gè)域域QRCZ：有有理理數(shù)數(shù)集集 、實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)集集 、復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)集集 都都是是數(shù)數(shù)域域，分分別別稱稱為為有有理理數(shù)數(shù)域域、實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域、復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域。而而整整數(shù)數(shù)集集不不是是數(shù)數(shù)域域。我我們們主主要要用用到到的的是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)域域和和例例子子復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)域域。15111212122212()(),(1,2, ;1,2,4)()nnsssns nijs nijPsnsnaaaaaaaaaPsnmatrixAAAaais jnAijentry 數(shù)數(shù)域域 中中個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)排排成成的的 行行 列列的的長(zhǎng)長(zhǎng)方方表表，稱稱為為數(shù)數(shù)域域 上上的

9、的，通通常常用用一一個(gè)個(gè)大大寫寫黑黑體體字字母母如如 或或表表示示，有有時(shí)時(shí)也也記記作作其其中中稱稱為為矩矩陣陣 的的第第 行行第第定定義義列列素素。矩矩陣陣元元L LL LMMOMMMOML LLLLL161112121222121122,11nnnnnnnnsnaaaaaaaaaaaannAnnnn 階階矩矩特特別別地地，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，稱稱為為或或，為為 的的主主對(duì)對(duì)角角線線上上的的元元素素。 維維行行向向量量可可視視為為矩矩陣陣， 維維列列向向量量可可視視為為矩矩陣陣方方陣陣。陣陣階階L LL LMMOMMMOML LL L17矩陣的線性運(yùn)算矩陣的線性運(yùn)算()()()()(1),(1,2,

10、;1,2, )5,.ijs nijs nijijAaBbPsnabis jnABAB LLLL設(shè)設(shè)和和是是 數(shù)數(shù)域域 上上兩兩個(gè)個(gè)矩矩陣陣，則則如如果果它它們們對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素分分別別相相等等，即即則則稱稱 與與，記記作作定定義義同同型型相相等等18111112121121212222221122(2)().nnnnijijs nsssssnsnababababababababababABAB ：稱稱矩矩陣陣為為與與的的，記記作作加加法法和和L LL LM MM MM MM ML L111212122212(3).nnijsnsssnkPkakakakakakakakakakakAkA ：

11、 設(shè)設(shè)為為 數(shù)數(shù) 域域中中 的的 數(shù)數(shù) ， 稱稱 矩矩 陣陣（為為 數(shù)數(shù)與與的的， 記記乘乘 法法乘乘作作數(shù)數(shù) 量量數(shù)數(shù)L LL LM MM MM MM ML L19(4)0.s nsn 稱稱元元素素全全為為零零的的矩矩，記記作作零零矩矩陣陣陣陣為為111212122212(5)().nnijs nsssnaaaaaaaaaaAA 稱稱矩矩陣陣為為 的的負(fù)負(fù)矩矩陣陣，記記作作L LL LMMMMMMMML L20矩陣的線性運(yùn)算性質(zhì)矩陣的線性運(yùn)算性質(zhì);1 )5(; 0)()4(;0)3();()(2()1(AAAAAACBACBAABBA ；21(6)()() ;(7)();(8)();(9)0

12、0,( 1), 00;(10)00,0.k lAkl Ak ABkAkBkl AkAlAAAA kkAkA 若，則或者223()2() ,236324,.1351354ABCACBCABC 設(shè)設(shè)矩矩陣陣、滿滿足足等等式式其其中中求求例例解解 由等式可得由等式可得523CBA2 32 22 43 23 3 3 62 1 2 ( 3) 2 53 ( 1) 3 3 3 5 0510,5155 012.131C232 312(),102 3(1,2;1,2,3)0100005ijijAaEijijEA 設(shè)設(shè)表表示示第第 行行第第 列列元元素素為為 ，其其余余元元素素為為 的的矩矩陣陣，如如等等，則則例

13、例可可表表示示為為：111112121313212122222323332311221111()();jjjjijijjjijAa Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea E1111212112122222131323232223211223311111()()().iiiiiiijijiiijiAa Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea Ea E或或24三、三、 矩陣的乘法矩陣的乘法1.1.引例引例: :1212,;,設(shè)設(shè)是是三三組組變變量量123x ,x ,x ; yyzz12,123x ,x ,xyy與與的的關(guān)關(guān)系系如如下下： 32322212123132121111x

14、axaxayxaxaxay完全由系數(shù)構(gòu)成的矩陣完全由系數(shù)構(gòu)成的矩陣A A決定決定. .111213212223aaaAaaa 12,123x ,x ,xz z與與的的關(guān)關(guān)系系為為：111112222112223311322xb zbzxb zbzxb zbz 完全由系數(shù)構(gòu)成完全由系數(shù)構(gòu)成的矩陣的矩陣B B決定決定111221223132bbBbbbb 25通過(guò)代換變量可得通過(guò)代換變量可得的的關(guān)關(guān)系系：與與2121,zzyy11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2()()()()()()yab zb zab zb

15、 zab zb zyab zb zab zb zab zb z111 1112 2113 31111 1212 2213 312221 1122 2123 31121 1222 2223 312()()()()ya ba ba bza ba ba bzya ba ba bza ba ba bz 其系數(shù)矩陣為其系數(shù)矩陣為11 1112 2113 3111 1212 2213 322 221 1122 2123 3121 1222 2223 32( )ija ba ba ba ba ba bCca ba ba ba ba ba b 矩陣矩陣C C就定義為矩陣就定義為矩陣A A與與B B乘積乘積為，

16、其中為，其中31, ,1, 2.ijikkjkcabij 261 1221()()(1,2, ;1,2,)(6.).ijs nijn mijijijijinnjnikkjkijs mAasnBbnmABcAiBjca ba ba ba bis jmCcABCAB L LLLLL設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣，是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣， 的的列列數(shù)數(shù)等等于于 的的行行數(shù)數(shù)。用用表表示示 的的第第 行行與與 的的第第 列列的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)分分量量乘乘積積之之和和，即即稱稱矩矩陣陣為為矩矩陣陣 與與，記記為為乘乘積積的的定定義義271 12 21212(,)(1,2, ;1,2,).ijijijin njjjii

17、innjca ba ba bbbaaabAiBjis jm ，由由矩矩陣陣乘乘法法的的定定義義的的第第 行行乘乘 的的第第 列列故故可可以以把把乘乘法法規(guī)規(guī)則則總總需需要要注注結(jié)結(jié)為為：意意到到行行乘乘右右列列。左左L LL LM ML LL L28注意注意(1) (1) 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘. . 106861985123321例如例如不存在不存在. . (2) (2) 乘積矩陣乘積矩陣C C的行數(shù)左的行數(shù)左矩陣的行數(shù)，矩陣的行數(shù)，乘積矩陣乘積矩陣C C的的列數(shù)右矩陣的列數(shù)列數(shù)右矩陣的列數(shù)

18、. .29設(shè)設(shè) 415003112101A 121113121430B例例6 630故故 121113121430415003112101ABC. 解解,)(43 ijaA,34)( ijbB.)(33 ijcC5 671026 2 17 10311212,(),7.nnaaABbbbAB BAaL LM M例例設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)算算1 11212 122212112211 1(1 1).nnnnnnnnniiiABBAABnnBAa ba ba ba ba ba bABa ba ba bBAb ab ab aba L LL LMMMMMMMML LL L：根根據(jù)據(jù)乘乘法法的的定定義義，與與都都有有意意

19、義義。為為矩矩陣陣，為為矩矩陣陣矩矩陣陣可可等等同同于于數(shù)數(shù) 。解解32112210,112210004400,.0044008ABCABBAAC則則例例設(shè)設(shè)(1),(2)(3)ABACBCABBA 仔仔細(xì)細(xì)觀觀察察，我我們們發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)：，但但因因此此矩矩陣陣乘乘法法不不滿滿足足消消去去律律；，因因此此矩矩陣陣乘乘法法不不滿滿足足交交換換律律；兩兩個(gè)個(gè)非非零零矩矩陣陣的的乘乘積積可可以以為為零零。33矩陣的乘法性質(zhì)矩陣的乘法性質(zhì)(1)()()(),(),()()()()( , )() ,() ( , ) () .:ijs nij n mij m pititAB CA BCAaBbCcAB CA

20、BCspAB Ci tAB CA BCi tA BC ：設(shè)設(shè)，則則乘乘積積與與都都有有意意義義，且且都都為為矩矩陣陣。分分別別記記矩矩陣陣的的位位置置上上的的元元素素為為的的位位置置上上的的元元素素為為由由乘乘合合律律證證明明法法定定義義結(jié)結(jié)34)()()()(1111112111211雙重連加號(hào)交換次序雙重連加號(hào)交換次序加乘分配律加乘分配律列）列）的第的第行行的第的第 njmkktjkijmknjktjkijmkktnjjkijmtttnjjmijnjjijnjjijitcbacbacbacccbababatCiABCAB35.)()(),;,()()()()(CABBCAptsiBCAtB

21、CiAcbcbcbaaacbaitmkktnkmkktkmkktkiniimkktjknjij定義，有定義，有所以，根據(jù)矩陣相等的所以，根據(jù)矩陣相等的列列的第的第行行的第的第定義定義乘法乘法矩陣矩陣加乘分配律加乘分配律212111211211136(2) ()()(),(3): ();:();(4)00,00;(5),.q ss nq ns nn ps pss ns nnk ABkA BA kB kA B CABACAB CACBCAAE AA AEA 是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)；左左分分配配律律右右分分配配律律37311000 10 (00 1);nnnEnEnnEEEI 特特別別地地，和和所所有有

22、階階方方陣陣可可交交換換。其其中中表表示示主主對(duì)對(duì)角角線線上上的的元元素素為為，其其余余元元素素為為零零的的 階階方方陣陣，稱稱為為 階階單單位位矩矩陣陣。如如在在不不引引起起混混淆淆的的情情況況下下，簡(jiǎn)簡(jiǎn)記記為為 和和380(6),(),()( ,),().knkklk lklklkkkAnAAEAAAA kA AAAAk lA BABBAA BA BABA B L L144 4244 4 3144 4244 4 3個(gè)個(gè)設(shè)設(shè) 為為 階階方方陣陣，由由乘乘法法結(jié)結(jié)合合律律，可可定定義義的的。規(guī)規(guī)定定為為自自然然數(shù)數(shù)指指數(shù)數(shù)律律為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)成成立立。：當(dāng)當(dāng)同同階階方方陣陣滿滿足足時(shí)時(shí)，則

23、則稱稱。當(dāng)當(dāng)同同階階方方陣陣不不可可交交換換時(shí)時(shí)，乘乘冪冪注注意意般般可可交交換換一一39一些特殊矩陣的乘法一些特殊矩陣的乘法12()0,( ,1,2,)000000ijnijnAaaiji jnAaaa L LL LL LMMMMMMMML L對(duì)對(duì)角角陣陣對(duì)對(duì)角角形形：若若方方陣陣的的元元素素，則則稱稱 為為，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為。如如：矩矩陣陣對(duì)對(duì)角角陣陣40112200000000,0000.nnababABabCAB L LL LL LL LM MM MM MM MM MM MM MM ML LL L設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)算算11( ,1, 2,)0;0,0ijnikkjkikkjnijikkjiiijki

24、iiicAiBjabijnikakjbijcaba ba bijC L L：的的 第第 行行 與與的的 第第 列列 相相 乘乘根根 據(jù)據(jù) 對(duì)對(duì) 角角 矩矩 陣陣 的的 定定 義義 ： 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) ，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) ，所所 以以所所 以以 ， 矩矩 陣陣也也 是是解解一一 個(gè)個(gè) 對(duì)對(duì) 角角 矩矩 陣陣 。41(),(),.ijnijnAanDdnBAD CDA設(shè)設(shè)任任意意 階階方方陣陣為為 階階對(duì)對(duì)角角陣陣，求求111)( ,1,2, )2)( ,1,2, )nijikkjijjjknijikkjiiijkba da di jncd ad a i jn L LL L：解解42nnnnnnnnnnnnnn

25、nnnnnnnnnndadadadadadadadadaCdadadadadadadadadaB212222222222111111121111222111222221121122121111;43()0,1,2, ,123012005ijnijAaaiji jnA L L：如如果果的的元元素素則則稱稱 為為上上三三角角形形矩矩陣陣，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為上上三三角角矩矩陣陣。如如：上上三三角角矩矩陣陣()0,1,2, ,100210011ijnijAaaiji jnA L L：如如果果的的元元素素則則稱稱 為為下下三三角角形形矩矩陣陣，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為下下三三角角矩矩陣陣。如如：下下三三角角矩矩陣陣44(

26、) ,().ijnijnAaBbCAB設(shè)設(shè)為為上上三三角角矩矩陣陣，求求1111jninijikkjikkjikkjikkjkkk ikjjikkjk iijca ba ba ba ba b ：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，解解111000jnnijikkjikkjikkjkkkjijca ba ba b 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1111niniiikkiikkiiiiiikkiiiiikkk iijca ba ba ba ba b 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，45120012,.001AAX 設(shè)設(shè)求求所所有有與與可可交交換換的的矩矩陣陣?yán)? 9解解111213212223313233,xxxXxxxAXXAxxx 設(shè)設(shè)滿滿足足于于是是法一法

27、一 直接用矩陣乘法和相等得到方程組，然后求解。直接用矩陣乘法和相等得到方程組，然后求解。法二法二 利用利用A A的特殊性，可改寫的特殊性，可改寫A A為為100020010002,001000AEB 46則由則由(E+B)X=X(E+B)(E+B)X=X(E+B)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)X+BX=X+XB,X+BX=X+XB,于是于是AX=XAAX=XA當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)XB=BX,XB=BX,從而有從而有212223111231323321223132222022222022000022xxxxxxxxxxxx 由矩陣的相等的得到線性方程組，解之得由矩陣的相等的得到線性方程組，解之得111213111

28、2111213110,.00 xxxXxxxxxx 其其中中，為為任任意意數(shù)數(shù)47)1(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa例例1010：線性方程組的矩陣表示式線性方程組的矩陣表示式111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa 12,nxxXx 12mbbbb 可以表示為可以表示為)1(.AXb 48解：解：2()()()ABABAB ()()A ABB AB 22AABBAB 22ABABBA 222().AABBABBA 因因?yàn)闉?22.AABBABBA 2 2事事 實(shí)實(shí) 上上 ，( (A A+ +B B) )22()().ABABABABBA例例1111.)(.2)()1(22222BABABABABABA ?49例例1212 設(shè)設(shè)2( )362Pf xxx 是是數(shù)數(shù)域域上上的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式，A A是是P P上的上的n n階方陣，則階方陣，則f(x)f(x)在在x=Ax=A的值的值2()362f AAAE 稱為稱為A A的一個(gè)的一個(gè)矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式。一般地一般地, A, A的矩陣多項(xiàng)式之間可交換的矩陣多項(xiàng)式之間可交換. .,h(x),g(x)設(shè)多項(xiàng)式設(shè)多項(xiàng)式( ),( )( ) ( ),l xh(x)g(