微積分第二章典型例題

1、補充知識一、數(shù)列與其子列之間的關(guān)系定義從數(shù)列Un中任意抽取無窮多項，并保持原有次序，這樣得到的一個新數(shù)列稱為數(shù)列Un的一個子數(shù)列，簡稱子列.記作Unk :%，嘰，Unk，-其中nk表示Unk在原數(shù)列Un中的位置，k表示Unk在子列中的位置.例如：奇數(shù)子列u1,u3, ,u2kJ, ,其中 ni =1,匕=3, ,氐=2k -1顯然nk -k .下面的定理給出了數(shù)列Un與其子列UnJ之間的關(guān)系.定理：對于數(shù)列Un,(1) lim Un二A的充要條件是對Un的任何子數(shù)列Un 都有血二A .lim Un =A的充要條件是Un的偶數(shù)子列U2k和奇數(shù)子列U2k1滿 n_j:足 lim u2k =lim

2、U2k 彳.=A . 若Un單調(diào)，則nim_Un=A的充要條件是存在一個子數(shù)列Unk滿足二、數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系定理2.18 (Heine定理)lim f(x)二A的充要條件為:Xo對于任意收斂于Xg的數(shù)列Xn (Xn =Xo)，都有l(wèi)im fg =A .常用結(jié)論：若xlim(x)=A，則nim(n"A.sin lim nn_ n211 si n 例如：由lim=1，可以推出lim 汁T ,n注(1)對于 X. X0 , X. xy, X;門，X ：, x；門等情形,只要將定理中的條件作相應(yīng)修改，定理的結(jié)論仍成立.(2)該定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的聯(lián)系， 可以將函數(shù) 的極

3、限轉(zhuǎn)化為數(shù)列的極限去研究，也可以將數(shù)列的極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)的 極限來討論.例如：1 r證明lim sin 不存在.XTX證明：取 Xn -,Xn,n 一 1,2,，顯然c兀2nn2n 二2lim xn1=0 , lim=0,n7 n _(3)用該定理可以說明某函數(shù)極限不存在但是 lim sin 丄7 = lim 1 = 1 ,X （l）n_JCnlim sin 二7 Xn（）=lim 0 = 0.n ）：:_ 1由Heine定理可知，lim sin 不存在.三、求極限的一般方法(1) 利用極限的四則運算法則.往往結(jié)合對函數(shù)的恒等變形，常用的 具體方法有：因式分解，通分，有理化，約去公因子，三角恒等

4、變形 等；(2) 利用無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系(特別是 利用有界變量與無窮小量的積仍是無窮小量的性質(zhì))等；(3) 利用等價無窮小量的性質(zhì)； 利用高階無窮小量的性質(zhì)；(5) 利用極限存在準(zhǔn)則；(6) 利用重要極限；(7) 利用極限與左、右極限的關(guān)系(適用于求分段函數(shù)在分段點處的 極限以及用定義求極限等情形)；(8) 利用連續(xù)性(適用于求函數(shù)在其連續(xù)點處的極限)；思考題解答1.用定義證明lim - =1.7 x證：W >0，要使丄_1x |x|由于x > 1時的極限只與自變量鄰近1的函數(shù)值有關(guān)，不妨考慮0"1|J，即，此時罟：2|x1|，故只需使2|x1卜

5、；，即|x-1|： .2取、；=min2,2，則當(dāng) zxj"時恒成立.由極限定義得lim 1 = 1.T x2、利用三角函數(shù)的周期性求極限(1)lim cos , (2n)21 二=lim co, (2n)21 恵2n二n:二 lim cosn)：:1i=JI.(2n)212n= COS0 =1(2)nimcos (2n)2 n恫込心)2 n2n：二 lim cosn”n(2n)2 十 n +2n=lim cosnJpC4 + 丄 +2兀42二 cos42lim sin n21 二n=lim (_1)n sin、n21二-n二n ：:二 lim(-1)n_.sin1.Jn2 +1 +

6、nji其中最后一步用了 sin1 兀是無窮小量,$n2 +1 + n 積仍為無窮小量.(_1)n是有界變量，乘3、設(shè)UnJ2+Un, 5=72，證明lim Un存在，并求其值.證明：比2 u22 , .2 u1， 進而 U3 = J2 + U2 > J2 + U1 = U2，猜測Un 1 Un ，用數(shù)學(xué)歸納法證明 假設(shè)n =k時不等式成立，即山1 U，那么n = k 1時，Uk 2 *'2 U k 12 U k 二 5 1， 即不等式成立.所以對任意自然數(shù)"，都有Um Un，即單調(diào)增加.由0乞片=2 *片： . 2 *山，得片'：:2 Un，解得0乞山：2，所以

7、：比有(或先觀察U1二2 <2,U1U , 2U1: 2, u 2 U22，猜測 Un ： 2，再用數(shù)學(xué)歸納法證明) 因此lim Un存在.不妨設(shè)lim山=A，在un7n1 f 2 Un兩端令n得，A = 2 A，所以A =2典型例題例1、已知lim f (x)存在,f (x)二 3x2 2xlim f (x)，求 f (x).解：設(shè) lim f (x)二 A，貝S f (x)二 3x2 2Ax，兩邊令 x1，得 3 2A，x1777.A = 一3 , f (x) = 3x2 - 6x .例2、(1)若 m =b，則 a =J1x+1(2)(3)sin x若匹x x7 e - a若f (

8、x)在x=a連續(xù)，且lim(cosx b) =5，貝卩 a =型=2，則 f(a)=x)a xa(4)已知吋2 ax b=5，則 a =1 -x常用結(jié)論：(1)并且 lim g(x) =0，貝U lim f (x)二 0.若 x-XA，A",并且叫匕)=0,則xim<g(x0.證明：(1) limf(x)迪器A 0=0.解: (1)2 x b = limf(x) f(x) g(x)=0Alim (x2 ax 5) = 6 一 a = 0，所以x )-1x 1 x ：-1x 1(2) lim ex -a =1 -a =0，所以 a =1. xTsi nxx(cosx b) = l

9、im (limx 10 e(3)cos x b)=1b=5，所以 b=4.lim f(x) =0，由 f(x)在 xXa=a連續(xù)得 f(a) Tim f(x) = 0.(4)由 lim (x2 ax b) =0得,X11a b = 0，即 b 二 T_a，所以2.x limxt1 - xax bx2 +ax -a T=limxT1 -x(x -1)(x1a)=limxj1 - x=liq(-x-1 _a) _ _2_a = 5從而a=T ,1x,|x|c1門1-xcJ| x 1= «21L0,|x|>1J解: f(x)二-x2n 'x,0,1,例 3.若 f(x)=ni

10、mjx討論f (x)的間斷點.一 1 ：: X ：: 1x _ 1或 X ：:-1,X = -1函數(shù)的間斷點只能出現(xiàn)在分段點處 在x 1處，f(1 0) =0, f(-1 0) =2,所以x 1為跳躍間斷點.在 X =1 處，f(1_o)=o, f(10)=0, f(1)=0，所以 f (x)在 x=1 連續(xù).總之，f(x)的間斷點為x=1.例4.(1)已知 limf(x)-ax-b =0，求 lim f(x)x(2)若limln(1 2x2) xf (x)門0，求xx)(3)f (x) -1 sin x若求 lim f (x).解：(1)(方法一)由b -xx'":lm.

11、f (x)ax-b = lim x-ab = limf-a bxx =0,得lim f (x) 一 a - b =0，從而 lim -x：xxxda(方法二)由極限與無窮小的關(guān)系得,f(x)-ax-b = ：，其中 lim 0，從而 f(x)二 ax b 比，f (x)二 alim-f(x)x匸:叫=x-2In(1 2x ) f(x)2xx-0戸管心+閱“，所以xT xxifx卩x_ln(1+2x2) , f(x)in(1+2x2)二 limJ0 II類似（1）的方法二留作練習(xí).（3）由四f（x）1sin xf(x) _1 一=lim = 2, 得if (x)m1 _x卜心故吧f（x）=2.類

12、似（1）的方法二留作練習(xí).卜 sin x牙.f 1例5、求極限lim2+exJ +ex解:f（°-0）弋一12 ex si nx=1f1、f43X2十ex丄 sinx2e x+ e x丄 sinx4+x=lim, xT十4+xJ +ex丿< eX +1Jf(0+0) =lim 丄x十= 01=1 ,所以原極限等于1.例6、討論函數(shù)f（x） = «1 arcta nx兀+2x2:0在定義域內(nèi)的連續(xù)性.-0解：因為 f（x）在（-：,0） , （0,：）為初等函數(shù)，所以 f（x）在（-：,0）（0,內(nèi)連續(xù).在x =0處，ji1兀JT2兀l i mf (x) = l i m

13、a r ct a n , lim f (x) = lim (- x ),f(0)=x0 XT x 200所以 lim f(x) = lim.f(x)=f(0)，從而 f(x)在 x=0 處連續(xù)，xJ0 _XJ0因此函數(shù)f(x)在(：，=)內(nèi)連續(xù).tan x1 -e例7設(shè)f(x)=.x arcs in22x ae在x =0處連續(xù)，求a的值.x乞0tan x解： lim f(x) = lim e lim 二-2 ,x_x4+x十 xarcs in 22f (0)二 ae 二 a ,所以a =例8解:設(shè)lim1因為 lim 1 +x:xWx丿Inlim二 ex 0所以3可以得到又因為所以lim f(

14、x)J° x=0，1limx0迤 f(x)xf(x)V例9 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù)且f(a)=f(b) 證明至少存在一點(a,b)，使得下式成立，f()"(寧)2證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-f x+匕工j,則< 2丿F(a)=f(a)f a(a) fi,a b b -a竺-2解:由于XX2 -2 lim xxXr'，2X - 22 X12二 lim2?Xr " - 2所以X2 -2lim Xx 2X 2-X-Xlim 2x -：2x2x-112X 2-X不存在.若f'N竺)=F(a)=O，只需取© =蘭辿；I 2丿2若Fi和F(a)都不等于零，則二者一定異號，由零點定理可得< 2丿在在(a,b)內(nèi)至少存在一點 J 使得f(©=fQ+b-a成立.I 2丿X例10求極限lim 4x_JPC2例11求極限,./ +1 a X)- J1 t a n l i mx0s i 2xJ1 +tanx - <1 -tanx2tanxlimlim:x0sin2xx°sin2x(J tanx ：,1-tanx)2x2x( J tanx 、1 -tanx)=e.例12求極限 “m»ta*nim.(rin? tan- pm-色孚 1