24隨機(jī)變量及其分布小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：理解隨機(jī)變量及其分布的概念，期望與方差等的概念；超幾何分布，二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等的特點(diǎn)；會(huì)求條件概率，相互獨(dú)立事件的概率，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率等.難點(diǎn)：理清事件之間的關(guān)系，并用其解決一些具體的實(shí)際問(wèn)題.能力點(diǎn)：分類整合的能力，運(yùn)算求解能力，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.教育點(diǎn)：提高學(xué)生的認(rèn)知水平，為學(xué)生塑造良好的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu).自主探究點(diǎn)：例題及變式的解題思路的探尋.易錯(cuò)點(diǎn)：容易出現(xiàn)事件之間的關(guān)系混亂，沒(méi)能理解問(wèn)題的實(shí)際意義.學(xué)法與教具1.學(xué)法：講授法、討論法. 2.教具：投影儀.一、【知識(shí)結(jié)構(gòu)】二、【知識(shí)梳理】1隨機(jī)變量隨機(jī)變量定義:在隨機(jī)試驗(yàn)中，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示

2、在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量簡(jiǎn)單說(shuō)，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量常用希臘字母、等表示如果隨機(jī)變量可能取的值可以按次序一一列出（可以是無(wú)限個(gè)）這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.如果隨機(jī)變量可能取的值是某個(gè)區(qū)間的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.2概率分布定義（分布列）設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為，取每一個(gè)值的概率，則稱表稱為隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱的分布列.注:1.離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì)：；3常見(jiàn)的分布列二項(xiàng)分布：在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事

3、件恰發(fā)生次的概率為，顯然是一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,記作兩點(diǎn)分布列:如果隨機(jī)變量的分布列為：這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列,稱隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布,而稱超幾何分布：一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品數(shù)，則事件發(fā)生的概率為其中,且，則稱分布列為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布4條件概率一般地,設(shè)為兩個(gè)事件,且,稱 為在事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的條件概率.注意:；可加性：如果互斥，那么5相互獨(dú)立事件的概率相互獨(dú)立事件的定義:設(shè)兩個(gè)事件, (即事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響), 則稱事

4、件與事件相互獨(dú)立.若事件與相互獨(dú)立, 則以下三對(duì)事件也相互獨(dú)立:列表比較區(qū)別互斥事件相互獨(dú)立事件定義不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件事件是否發(fā)生對(duì)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響概率公式解決概率問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵：分解復(fù)雜問(wèn)題為基本的互斥事件與相互獨(dú)立事件. 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):一般地,在相同條件下，重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，記是“第次試驗(yàn)的結(jié)果”，顯然，=重要結(jié)論：結(jié)論1：則，結(jié)論2：若，則6正態(tài)分布正態(tài)分布密度曲線分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，這個(gè)總體是有無(wú)限容量的抽象總體，其分布叫做正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定,因此正態(tài)分布常記作.如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則記為正態(tài)曲線有以下特

5、點(diǎn)：曲線在軸的上方，與軸不相交；曲線是單峰的，圖像關(guān)于直線對(duì)稱；曲線在處達(dá)峰值；曲線與軸之間的面積為；若固定, 隨值的變化而沿軸平移, 故稱為位置參數(shù)；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定.越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中，故稱為形狀參數(shù).：，三、【范例導(dǎo)航】考點(diǎn) 條件概率例：在道題中有道理科題和道文科題如果不放回地依次抽取道題，求：第次抽到理科題的概率；第次和第次都抽到理科題的概率；在第次抽到理科題的條件下，第次抽到理科題的概率【分析】：解決概率問(wèn)題要注意“三個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)；第二步，判斷事件的運(yùn)算；第三步，運(yùn)

6、用公式概率問(wèn)題常常與排列、組合知識(shí)相結(jié)合.【解答】：設(shè)“第次抽到理科題”為事件，“第次抽到理科題”為事件，則“第次和第次都抽到理科題”為事件.從道題中不放回地依次抽取道題的事件數(shù)為.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，于是.因?yàn)?，所?法一：由可得在第次抽到理科題的條件下，第次抽到理科題的概率為：.法二：因?yàn)?，所?【點(diǎn)評(píng)】條件概率通常有兩種求法，一定義法，二古典法.變式訓(xùn)練:某校在組織自主招生考試時(shí)，需要進(jìn)行自薦、考試和面試三關(guān)規(guī)定三項(xiàng)都合格者才能錄取.假定每個(gè)項(xiàng)目相互獨(dú)立，學(xué)生每個(gè)項(xiàng)目合格的概率組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，且第一個(gè)項(xiàng)目不符合格的概率超過(guò)，第一個(gè)項(xiàng)目不合格但第二個(gè)項(xiàng)目合格的概率為求學(xué)生被錄取

7、的概率；求學(xué)生合格的項(xiàng)目數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.答案：；.考點(diǎn)相互獨(dú)立事件的概率例.甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種零件，甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為分別求出甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工的零件是一等品的概率；從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率【分析】求相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn)行考查，解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解特別注意以下

8、兩公式的使用前提：若互斥，則，反之不成立若相互獨(dú)立，則，反之成立【解答】設(shè)分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種零件是一等品的事件，依題意得得解得，所以.即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工的零件是一等品的概率分別為記為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件即從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為【點(diǎn)評(píng)】主要考查相互獨(dú)立事件的概率及正難則反的原則分析解決問(wèn)題的能力.解答此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解變式訓(xùn)練:某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次

9、參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.答案：李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率為 1(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)=0.9976.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差例.甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立分別求甲隊(duì)以,勝利的概率；若比賽結(jié)果為求或，則勝利方得

10、分，對(duì)方得分；若比賽結(jié)果為，則勝利方得分、對(duì)方得分求乙隊(duì)得分的分布列及數(shù)學(xué)期望（年山東高考理科題）【分析】離散型隨機(jī)變量的分布列在高中階段主要學(xué)習(xí)兩種：超幾何分布與二項(xiàng)分布，由于這兩種分布列在生活中應(yīng)用較為廣泛，故在高考中對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的考查相對(duì)較靈活，常與期望、方差融合在一起，橫向考查對(duì)于分布列的求法，其難點(diǎn)在于每個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)相關(guān)概率的求法，計(jì)算時(shí)可能會(huì)用到等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式等均值與方差都是隨機(jī)變量重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值這一概念之上的，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的均值的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中特別是風(fēng)險(xiǎn)決策中有著重要意義，因此在

11、當(dāng)前的高考中是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題【解答】，由題意可知的可能取值為：，相應(yīng)的概率依次為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的概率分布與數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合的思想，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力變式訓(xùn)練:某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加次測(cè)試假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是，每次測(cè)試時(shí)間間隔恰當(dāng)每次測(cè)試通過(guò)與否互相獨(dú)立求該學(xué)生考上大學(xué)的概率；如果考上大學(xué)或參加完次測(cè)試就結(jié)束，記該生參加測(cè)試的次數(shù)為，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望答案：；考

12、點(diǎn)正態(tài)分布例某市去年高考考生成績(jī)服從正態(tài)分布，現(xiàn)有名考生，試確定考生成績(jī)?cè)诜值娜藬?shù)【分析】正態(tài)密度曲線恰好關(guān)于參數(shù)對(duì)稱，因此充分利用該圖形的對(duì)稱性及個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)的概率值來(lái)求解其他區(qū)間的概率值，是一種非常簡(jiǎn)捷的方式，也是近幾年高考的一個(gè)新動(dòng)向本小題主要考查正態(tài)密度函數(shù)及的應(yīng)用.【解答】.【點(diǎn)評(píng)】正態(tài)分布是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，是一種非常簡(jiǎn)捷的方式，應(yīng)用較為廣泛.也是近幾年高考的一個(gè)新動(dòng)向變式訓(xùn)練:若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)是，則答案：四、【解法小結(jié)】離散型隨機(jī)變量的分布列在高中階段主要學(xué)習(xí)兩種：超幾何分布與二項(xiàng)分布，由于這兩種分布列在生活中應(yīng)用較為廣泛，故在高考中對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的考查相對(duì)較靈活

13、，常與期望、方差融合在一起，橫向考查對(duì)于分布列的求法，其難點(diǎn)在于每個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)相關(guān)概率的求法，計(jì)算時(shí)可能會(huì)用到等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式等均值與方差都是隨機(jī)變量重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值這一概念之上的，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的均值的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中特別是風(fēng)險(xiǎn)決策中有著重要意義，因此在當(dāng)前的高考中是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題本章知識(shí)在高考中占有十分重要的地位，這是因?yàn)椋阂环矫姹菊轮R(shí)在實(shí)際生活中應(yīng)用十分廣泛；另一方面本章知識(shí)又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)從近幾年高考試題來(lái)看，一般是一小(一個(gè)選擇或填空題)一大(一個(gè)解答題)，屬中檔難度試題，

14、主要考查概率的求法、隨機(jī)變量的分布列、以及隨機(jī)變量的期望方差等問(wèn)題五、【布置作業(yè)】必做題：袋中有大小相同的個(gè)編號(hào)為、的球，號(hào)球有個(gè)，號(hào)球有個(gè)，號(hào)球有個(gè)從袋中依次摸出個(gè)球，已知在第一次摸出號(hào)球的前提下，再摸出一個(gè)號(hào)球的概率是求、的值；從袋中任意摸出個(gè)球，記得到小球的編號(hào)數(shù)之和為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望如圖，兩點(diǎn)之間有條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過(guò)的最大信息量分別為.現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過(guò)最大的信息量.設(shè)選取的三條網(wǎng)線由到可通過(guò)的信息總量為，當(dāng)時(shí)，則保證信息暢通.求線路信息暢通的概率；求選取的三條網(wǎng)線可通過(guò)信息總量的數(shù)學(xué)期望.甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本

15、隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分.假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中表示甲隊(duì)的總得分.求隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望；用表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于”這一事件，用表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求.必做題答案：；.選做題：“中國(guó)式過(guò)馬路”存在很大的交通安全隱患.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解路人對(duì)“中國(guó)式過(guò)馬路”的態(tài)度是否與性別有關(guān)，從馬路旁隨機(jī)抽取名路人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：男性女性合計(jì)反感10不反感8合計(jì)30已知在這人中隨機(jī)抽取人抽到反感“中國(guó)式過(guò)馬路 ”的路人的概率是.請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整（在答題卡上直接填寫結(jié)果，不需要寫求解過(guò)程），并據(jù)此資料分析反感“中國(guó)式過(guò)馬路”與性別是否有關(guān)？若從這人中的女性路人中隨機(jī)抽取人參加一活動(dòng)，記反感“中國(guó)式過(guò)馬路”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.選做題答案：沒(méi)有充足的理由認(rèn)為反感“