大學(xué)微積分l知識點總結(jié)(二)

1、【第五部分】不定積分1.書本知識（包含一些補充知識）（1）原函數(shù)：F（x）=f（x），xI，則稱F（x）是f（x）的一個“原函數(shù)”。（2）若F（x）是f（x）在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則f（x）在區(qū)間上的全體函數(shù)為F（x）+c（其中c為常數(shù)）（3）基本積分表 （1，為常數(shù)）（4）零函數(shù)的所有原函數(shù)都是c（5）C代表所有的常數(shù)函數(shù)數(shù)乘運算（6）運算法則線性運算加減運算（7）（8） （9）連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)，但是有原函數(shù)的函數(shù)不一定連續(xù)，沒有原函數(shù)的函數(shù)一定不連續(xù)。（10）不定積分的計算方法湊微分法（第一換元法），利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則變量代換法（第二換元法），利用一階微分形式不變性分部積分法：【解

2、釋：一階微分形式不變性】釋義：函數(shù)對應(yīng)：y=f(u)說明：（11）（12） 分段函數(shù)的積分例題說明：（13） 在做不定積分問題時，若遇到求三角函數(shù)奇次方的積分，最好的方法是將其中的一（16）隱函數(shù)求不定積分例題說明：（17）三角有理函數(shù)積分的萬能變換公式（18）某些無理函數(shù)的不定積分歐拉變換（19） 其他形式的不定積分2.補充知識（課外補充） 【例談不定積分的計算方法】 1、不定積分的定義及一般積分方法 2、特殊類型不定積分求解方法匯總1、不定積分的定義及一般積分方法（1）定義：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間I上存在原函數(shù)。其中(x)=F(x)+c0,(c0為某個常數(shù)），則(x

3、)=F(x)+c0屬于函數(shù)族F(x)+c（2）一般積分方法值得注意的問題： 第一，一般積分方法并不一定是最簡便的方法，要注意綜合使用各種積分方法，簡便計算；第二，初等函數(shù)的原函數(shù)并不一定是初等函數(shù)，因此不一定都能夠積出。 不能用普通方法積出的積分：2、特殊類型不定積分求解方法匯總（1）多次分部積分的規(guī)律（3）簡單無理函數(shù)的積分被積函數(shù)為簡單式的有理式，可以通過根式代換化為有理函數(shù)的積分小結(jié)：幾分鐘含有根號，應(yīng)當(dāng)考慮采用合適的方法去掉根號再進行計算?！镜诹糠帧慷ǚe分1.書本知識（包含一些補充知識）（1）定義（12） 幾種簡化定積分的計算方法關(guān)于原點對稱區(qū)間上的函數(shù)的定積分當(dāng)f(x)為偶函數(shù)當(dāng)f

4、(x)為奇函數(shù)設(shè)f(x)是周期為T的周期函數(shù)，且連續(xù)。則：（n為奇數(shù)）（n為偶數(shù)）分的值無關(guān)，依然可以正常去求。（14） 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x,y)，它的極坐標(biāo)是(,0).則：x y(15) 定積分中容易混淆的x與t的關(guān)系的問題 對于定積分，被積表達式中的無所謂t還是x，最后都會被積分上下限所替代。所以在變限函數(shù)積分的上下限中含x的時候，被積表達式用t表示以示區(qū)別。當(dāng)然如果此時被積表達式中含x和t，在二者都有的情況下，則把x看成常數(shù)提到外面或者換元換走x。例證： 定積分

5、證明問題中關(guān)于x與t化簡后的計算方法：2. 補充知識（課外補充） 【積分中值定理及其應(yīng)用】積分中值定理是積分學(xué)的一個重要性質(zhì)。它建立了定積分與被積函數(shù)之間的關(guān)系，從而使我們可以通過被積函數(shù)的性質(zhì)研究積分的性質(zhì)，有較高的理論價值以及廣泛的應(yīng)用。一、積分中值定理的內(nèi)容定理：積分第一中值定理定理：推廣的積分第一中值定理 二、積分中值定理的應(yīng)用 由于該定理可以使積分符號去掉，從而使問題簡化，對于證明包含函數(shù)積分和某個函數(shù)之間的等式或不等式，?？梢钥紤]使用積分中值定理 在應(yīng)用積分中值定理時應(yīng)注意以下幾點： 在應(yīng)用中應(yīng)注意被積函數(shù)在區(qū)間a,b上這一連續(xù)條件，否則結(jié)論不一定會成立 在定理中的g(x)在a,b

6、上面不能變號，這個條件也不能去掉。 定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必須是a,b內(nèi)的點下面就其應(yīng)用進行討論（1）估計定積分的值（2）求含有定積分的極限說明：解決此類問題的關(guān)鍵是用積分中值定理去掉積分符號。在應(yīng)用該定理時，要注意中值不僅依賴于積分區(qū)間，而且依賴于限式中n的趨近方式。（3）證明中值的存在性命題 說明：在證明有關(guān)題設(shè)中含有抽象函數(shù)的定積分等式時，一般應(yīng)用積分中值定理。（4）證明積分不等式說明：由于積分有許多特殊的運算性質(zhì)，故積分不等式的證明往往具有很強的技巧性。在證明含有定積分的不等式時，也?？紤]使用積分中值定理，以便去掉積分符號。若被積函數(shù)是兩個函數(shù)之積時，可考慮使用廣義積分中值定理。（5）證明函數(shù)的單調(diào)性三、積分中值定理的拓展（1）第二積分中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上可積，而g(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)，則在a,b上至少存在一點，使得：特別地，g(x)在a,b上單調(diào)