極值點(diǎn)偏移問題

1、極值點(diǎn)偏移問題極值點(diǎn)偏移問題總結(jié)一、 判定方法 1、極值點(diǎn)偏移的定義 對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；（2） 若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏； （3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏。 2、極值點(diǎn)偏移的判定定理判定定理1 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極大（小）值點(diǎn)右（左）偏；（2）0若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極大（?。┲迭c(diǎn)左（右）偏。 證明：（1）因?yàn)榭蓪?dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，又，有

2、由于，故，所以，即函數(shù)極大（?。┲迭c(diǎn)右（左）偏。判定定理2 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（小）值點(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極大（?。┲迭c(diǎn)右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極大（小）值點(diǎn)左（右）偏。證明：（1）因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，又，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極大（?。┲迭c(diǎn)右（左）偏.結(jié)論（2）證明略。二、 運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1.方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造一元差函數(shù) （3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定的大小關(guān)系。2.抽化模

3、型答題模板：若已知函數(shù)滿足，為的極值點(diǎn)，求證： （1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增。（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成（3）通過求導(dǎo)談?wù)摰膯握{(diào)性，判斷處在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可以得出，從而得到：時(shí)，（4）不妨設(shè)，通過的單調(diào)性，的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況：由于時(shí)，且，故 ，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證；（5）若要證明還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證；此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)楣剩捎谠谏蠁握{(diào)遞減，故說明：（1）此類試題由于思路固定

4、，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)須細(xì)心；（2）此類題目若試題難度較低，會(huì)分解為三問，前兩問分別求的單調(diào)性、極值點(diǎn)，證明或的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如 或者的結(jié)論，讓你給出證明，此時(shí)自己應(yīng)主動(dòng)把該小問分解為三問逐步解題。三、 例題(一) 不含參數(shù)的的極值點(diǎn)偏移問題例1：（2010 天津理21）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若，且，求證： 解答：【法一】（1），；增 減 極大值（2） ， ； 減；增時(shí)， 即 ，不妨設(shè)，由（1）知， ， 在上增， ，即【法二】欲證，即證由法一知，故又因?yàn)?在上是單調(diào)遞減的，只需證,又因?yàn)?，故也即證，構(gòu)造函數(shù)， 由在上單調(diào)遞增，故原不等

5、式成立【法三】由得，化簡得 不妨設(shè)，由法一知，令，則，代入得：，反解出：，則，故要證即證，又因?yàn)?，等價(jià)于證明： 構(gòu)造函數(shù)，則，故上單調(diào)遞增，從而上單調(diào)遞增，【法四】由得，化簡得 ，兩邊同時(shí)取以e為底的對(duì)數(shù)：得，即，從而，令，則欲證等價(jià)于證明 ，構(gòu)造，則 ，又令 則，由于對(duì)恒成立，故，在上單調(diào)遞增，對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞增，由洛必達(dá)法則知： 即，即證式成立，也即原不等式成立例2：（2013 湖南 文21），（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，(二) 含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，在原有的兩個(gè)變?cè)?基礎(chǔ)上，有多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成

6、不含參數(shù)的問題去解決，或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù)。例1已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：例2. 已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：例3：已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且（1）求證：（2）例4：已知函數(shù)，若存在（），使 求證： 變式訓(xùn)練：1.設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，（1）證明： （2）求證： 2.設(shè)函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處切線的斜率為，當(dāng)時(shí)，令，設(shè)（）是方程的兩個(gè)根，是的等差中項(xiàng)，求證：3.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若有兩零點(diǎn)（），求證： 4.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：時(shí)， (三) 含對(duì)數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題根據(jù)建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)數(shù)平均不等式鏈求解。對(duì)數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個(gè)整數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義： ，對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系： 例1：已知函數(shù) （1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若函數(shù)的圖像與軸交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明： (四) 含指數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題例1（全國1卷 2016 理21）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：