數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法在管理決策運(yùn)用中的實(shí)際案例分析

1、決策理論與方法課程報(bào)告數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法在管理決策運(yùn)用中的實(shí)際案例分析目 錄第一章 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析簡介1第二章 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法模型12.1 基礎(chǔ)知識(shí)12.2 C2R模型22.3 模型求解方法4第三章 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法案例63.1 工程建設(shè)項(xiàng)目評(píng)標(biāo)方法63.2 環(huán)保項(xiàng)目評(píng)價(jià)73.3 科研評(píng)價(jià)8第四章 總結(jié)114.1 DEA方法的優(yōu)點(diǎn)114.2 DEA方法的缺陷12參考文獻(xiàn)12第一章 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析簡介數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(Data Envelopment Analysis)，簡稱DEA，是由美國著名運(yùn)籌學(xué)家ACharnes等人于1978年首先提出的。是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型評(píng)價(jià)具有多個(gè)輸入、多個(gè)輸出的。部門”或“單位”

2、(稱為決策單元，簡記DMU)間的相對(duì)有效性(稱為DEA有效)的一種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法。數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)是這一學(xué)科形成的柱石，優(yōu)化是其研究的主要方法，而DEA的廣泛應(yīng)用是它能得以迅速發(fā)展的動(dòng)力。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種基于線性規(guī)劃的用于評(píng)價(jià)同類型組織（或項(xiàng)目）工作績效相對(duì)有效性的特殊工具方法，常被用來衡量擁有相同目標(biāo)的運(yùn)營單位的相對(duì)效率。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。衡量這類組織之間的績效高低，通常采用投入產(chǎn)出比這個(gè)指標(biāo)，當(dāng)各自的投入產(chǎn)出均可折算成同一單位計(jì)量時(shí)，容易計(jì)算出各自的投入產(chǎn)出比并按其大小進(jìn)行績效排序。但當(dāng)被衡量

3、的同類型組織有多項(xiàng)投入和多項(xiàng)產(chǎn)出，且不能折算成統(tǒng)一單位時(shí)，就無法算出投入產(chǎn)出比的數(shù)值。如運(yùn)營單位有多種投入要素(員工規(guī)模、工資數(shù)目、運(yùn)作時(shí)間和廣告投入)，同時(shí)也有多種產(chǎn)出要素(利潤、市場份額和成長率)。在這些情況下，很難讓管理者知道，當(dāng)輸入量轉(zhuǎn)換為輸出量時(shí)，哪個(gè)運(yùn)營單位效率高，哪個(gè)單位效率低。DEA方法在處理多輸入，特別是多輸出問題能力上具有絕對(duì)優(yōu)勢。第二章 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法模型2.1 基礎(chǔ)知識(shí) （1）決策單元(DMU)：我們把具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時(shí)期的相對(duì)效率進(jìn)行評(píng)價(jià)，這些部門、企業(yè)或時(shí)期稱為。評(píng)價(jià)的依據(jù)是決策單元的一組投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)。 （2）投入指標(biāo)：指決

4、策單元在經(jīng)濟(jì)和管理活動(dòng)中需要耗費(fèi)的經(jīng)濟(jì)量，例如固定資產(chǎn)原值、流動(dòng)資金平均余額、自籌技術(shù)開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。 （3）產(chǎn)出指標(biāo)：指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)產(chǎn)生成效的經(jīng)濟(jì)量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動(dòng)生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。 （4）指標(biāo)數(shù)據(jù)：指實(shí)際觀測結(jié)果，根據(jù)投入指標(biāo)數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標(biāo)數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)決策單元的相對(duì)效率，即評(píng)價(jià)部門、企業(yè)或時(shí)期之間的相對(duì)有效性。2.2 C2R模型設(shè)有n個(gè)部門(企業(yè))，稱為n個(gè)決策單元，每個(gè)決策單元都有p種投入和q種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)表示。這樣，由n個(gè)決策單元構(gòu)成的多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出的評(píng)價(jià)系統(tǒng)，可以做如下表示： 設(shè)：n個(gè)

5、決策單元(=j=1,2,3,.,n)，每個(gè)決策單元有相同的p項(xiàng)投入(輸入)(i=1,2,.,p) ，每個(gè)決策單元有相同的 q項(xiàng)產(chǎn)出(輸出)(r = 1，2，.，q)。xij第j決策單元的第i項(xiàng)投入 yij第j決策單元的第r項(xiàng)產(chǎn)出 (1)即：效率指標(biāo)hk等于產(chǎn)出加權(quán)之和除以投入加權(quán)之和，表示第k個(gè)決策單元多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出所取得的經(jīng)濟(jì)效率?？梢赃m當(dāng)?shù)剡x擇權(quán)系數(shù)u、v，使得 hk1,建立評(píng)價(jià)第k0個(gè)決策單元相對(duì)有效性的C2R模型。 設(shè)第k0個(gè)決策單元的投入向量和產(chǎn)出向量分別為： 效率指標(biāo) ，在效率評(píng)價(jià)指標(biāo) 的約束條件下，選擇一組最優(yōu)權(quán)系數(shù) U和V，使得h0達(dá)到最大值，構(gòu)造優(yōu)化模型(分式規(guī)劃)

6、(2) 上述模型中xik,yjk為已知數(shù)(可由歷史資料或預(yù)測數(shù)據(jù)得到)，vi,uj為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù)vi,uj為變量，以h0所有決策單元的效率指標(biāo)為約束，以第k0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。即評(píng)價(jià)第k0個(gè)決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對(duì)于其他所有決策單元而言的。 記，則有矩陣形式（P） （3） 作Charnes-Cooper變換，轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的線性規(guī)劃模型。 故將模型轉(zhuǎn)化為其對(duì)偶問題為寫成向量形式2.3 模型求解方法在評(píng)價(jià)決策單元是否為DEA有效時(shí),如果利用原線性規(guī)劃問題:需要判斷是否存在最優(yōu)解，滿足：利用對(duì)偶線性規(guī)劃需要判斷它的所有最優(yōu)解都滿足:無論是對(duì)于線性規(guī)劃還是對(duì)于對(duì)偶規(guī)

7、劃，這都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德無窮小的概念，利用線性規(guī)劃方法求解。去判斷決策單元的DEA有效性。Charnes通過引入具有非阿基米德無窮小量，從而可以利用單純形方法求解線性規(guī)劃問題，來判定決策單元的DEA有效性，成功解決了計(jì)算和技術(shù)上的困難，建立了具有非阿基米德無窮小量的C2R模型。令是非阿基米德無窮小量，它是一個(gè)小于任何正數(shù)、且大于零的數(shù)。最優(yōu)解為 設(shè)模型（D）的最優(yōu)解為 l0、s0-、s0+、q0 ，分三種情況進(jìn)一步討論： q0 = 1，且 s0- = 0、s0+ = 0 ：決策單元k0為DEA有效。 其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元k0的生產(chǎn)活動(dòng)(X0,

8、Y0)同時(shí)為技術(shù)有效和規(guī)模有效。 所謂技術(shù)有效，是指對(duì)于生產(chǎn)活動(dòng)(X0,Y0)，從技術(shù)角度來看，資源獲得了充分利用，投入要素達(dá)到最佳組合，取得了最大的產(chǎn)出效果，效率評(píng)價(jià)指標(biāo) h0=Vp=VD=q0 = 1 。 q0 = 1，但至少有某個(gè) si0- 0 或者至少有某個(gè) sj0+ 0：決策單元k0為弱DEA有效。 其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元 k0 不是同時(shí)技術(shù)有效和規(guī)模收益有效。 若某個(gè)si0- 0，表示第 i 種投入指標(biāo)有 si0- 沒有充分利用； 若某個(gè)sj0+ 0，表示第 j 種產(chǎn)出指標(biāo)與最大產(chǎn)出值尚有 sj0+ 的不足。 q0 1：決策單元k0不是DEA有效。其經(jīng)濟(jì)意義是：決策單元 k0 的生

9、產(chǎn)活動(dòng)(X0,Y0)既不是技術(shù)效率最佳,也不是規(guī)模收益最佳。 第三章 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法案例3.1 工程建設(shè)項(xiàng)目評(píng)標(biāo)方法1假定一待建工程項(xiàng)目, 對(duì)應(yīng)的技術(shù)、經(jīng)濟(jì)綜合指標(biāo)設(shè)為X1 , X2 , , Xm ;Y1 ,Y2 , ,Ys ;其中Xi 表示負(fù)向指標(biāo),Yr 表示正向指標(biāo)。有n個(gè)投標(biāo)商, 用xij表示第j 個(gè)承包商的第i 個(gè)負(fù)向指標(biāo)值, yrj表示第j 個(gè)承包商的第r個(gè)正向指標(biāo)值(i =1 , 2 , , m; r =1 ,2 , ., s ; j =1 , 2 , ., n), 以負(fù)向指標(biāo)做為輸入指標(biāo), 正向指標(biāo)做為輸出指標(biāo)?，F(xiàn)有6個(gè)承包商進(jìn)行投標(biāo)，其各項(xiàng)指標(biāo)如下：表3.1 承包商各項(xiàng)指標(biāo)承包

10、商年生產(chǎn)能力投標(biāo)能力履約保險(xiǎn)系數(shù)凈資產(chǎn)負(fù)債率（%）收益利息率（%）資產(chǎn)利潤率(%)可獲信貸（萬元）運(yùn)營資本收益率（%）11.83.22.543.75.294.3810006908721.62.82.138.34.589.288006702632.86.15.1120.53.054.0420003905442.55.44.0140.72.551.23150030.2151.32.21.8225.62.029.5960023.3161.41.91.5214.31.914.3550018.95各指標(biāo)中, 凈資產(chǎn)負(fù)債率和收益利息率為負(fù)向指標(biāo), 其余為正向指標(biāo)。DEA 評(píng)價(jià)結(jié)論與指標(biāo)量綱無關(guān), 不必對(duì)上

11、述各指標(biāo)進(jìn)行無量綱化處理?，F(xiàn)以凈資產(chǎn)負(fù)債率X1 、收益利息率X2 為輸入指標(biāo), 以年生產(chǎn)能力Y1 、投標(biāo)能力Y2 、履約保險(xiǎn)系數(shù)Y3 、資產(chǎn)利潤率Y4 、可獲信貸Y5 、運(yùn)營資本收益率Y6 為輸出指標(biāo), 利用工程建設(shè)項(xiàng)目評(píng)標(biāo)模型, 由MATLAB6 .1 軟件中的線性規(guī)劃程序可分別計(jì)算出6 個(gè)承包商的效率值和優(yōu)先序, 結(jié)果于表3.2。表3.2 各承包商模型效率值承包商承包商1承包商2承包商3承包商4承包商5承包商6模型效率值1.001.001.001.000.85200.7749排序111123發(fā)現(xiàn)求得的承包商1、2、3、4效率值均為1，無法進(jìn)行排序，故引入一個(gè)虛擬決策單元，替代評(píng)價(jià)決策單元，

12、令 稱Xn+1和Yn+1為輸入、輸出的決策單元，并且作為這n個(gè)承包商決策 單元的虛擬決策單元，使原來的各個(gè)決策單元相對(duì)這個(gè)決策單元變得非有效，這樣就達(dá)到了進(jìn)一步比較各決策單元差異程度的目的。把虛擬決策單元并入到實(shí)際的n個(gè)決策單元中，就可得到基于虛擬決策單元的工程建設(shè)項(xiàng)目評(píng)標(biāo)的DEA模型： 可以驗(yàn)證這一模型（P）的相關(guān)DEA理論都是成立的2。于是利用該模型進(jìn)行計(jì)算得到下表表3.3 P模型下各承包商效率計(jì)算承包商承包商1承包商2承包商3承包商4承包商5承包商6P模型效率值0.87640.96260.63330.67860.44110.5000排序214365得到各承包商的優(yōu)劣順序依次為:2 , 1

13、 , 4 , 3 , 6 ,5 。故應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇承包商2。3.2 環(huán)保項(xiàng)目評(píng)價(jià)3現(xiàn)有10個(gè)環(huán)境保護(hù)項(xiàng)目燃燒固體廢棄物發(fā)電的項(xiàng)目，需要對(duì)其進(jìn)行有效性的評(píng)價(jià)。各項(xiàng)目的設(shè)備、工藝水平相當(dāng)，其他項(xiàng)目指標(biāo)如下表表3.4 環(huán)保項(xiàng)目指標(biāo)項(xiàng)目煤炭資金供燃燒的廢物輸出電能飛灰項(xiàng)目187.2719040.435432.6113257.662651.75項(xiàng)目254.9611232.174789.7212378.541845.02項(xiàng)目385.5018499.924935.7013108.852563.64項(xiàng)目496.9318053.169170.0816067.432432.37項(xiàng)目597.4218074.18883

14、1.5416249.792752.78項(xiàng)目665.129687.736811.1215472.151737.60項(xiàng)目769.0911584.398669.4415763.831986.96項(xiàng)目868.8612314.164568.9210492.732081.35項(xiàng)目976.6510432.539347.3816532.112112.51項(xiàng)目1073.2114416.357392.4311230.652347.46于是將輸入選定為煤炭（x1）、資金（x2）、供燃燒的廢物（x3），輸出選定為輸出電能（y1）、飛灰（y2）。將每一個(gè)項(xiàng)目當(dāng)做一個(gè)決策單元，運(yùn)用C2R模型計(jì)算出不同環(huán)保項(xiàng)目有效性數(shù)值，

15、如下表表3.5 各項(xiàng)目相對(duì)效率值項(xiàng)目項(xiàng)目1項(xiàng)目2項(xiàng)目3項(xiàng)目4項(xiàng)目5項(xiàng)目6項(xiàng)目7項(xiàng)目8項(xiàng)目9項(xiàng)目10相對(duì)效率值0.70481.00000.70460.77500.75731.00001.00000.85981.00000.8908從上表中，可以發(fā)現(xiàn)項(xiàng)目2、6、7、9有效性均為1，說明這些項(xiàng)目是相對(duì)有效率的，而項(xiàng)目1、3、4、5、8、10有效性均小于1，說明是非DEA有效的，需要改進(jìn)或者加強(qiáng)控制。3.3 科研評(píng)價(jià)4四家體育科研所在三年期間有不同的資源投入(平均值) 和不同的產(chǎn)出(省部級(jí)課題、發(fā)表專著、期刊文章和培養(yǎng)研究生人數(shù)) 見下表3.6。表3.6 四家體科所的投入和產(chǎn)出表項(xiàng)目國家體科所北京體科

16、所湖北體科所北京體育大學(xué)體科所投入投入資金（萬元）28.5216.2327.5721.04高學(xué)歷（人）12.3812.834.8515.41高職稱（人）10.676.4210.4110.40產(chǎn)出課題（篇）4.813.463.673.32專著（部）4.312.714.595.65期刊文章（篇）25.3014.8017.5016.0培養(yǎng)學(xué)生（人）4.102.702.308.40模型變量:A, B, C , D 分別為各科研所的權(quán)重;E 為待定的比例系數(shù), 求Min :E 約束條件之一:產(chǎn)出約束, 組合體科所產(chǎn)出待評(píng)價(jià)體科所的產(chǎn)出4.81A +3.46B+3.67C +3.32D3.464.31A

17、+2.71B+4.59C +5.65D2.7125.3A +14.8B+17.5C +16.0D14.84.1A+2.7B+2.3C+8.4D2.7約束條件之二:投入約束, 組合體科所投入待評(píng)價(jià)體科所的投入待定比例系數(shù)28.52A+16.23B+27.57C +21.04D16.23E12.38A+12.87B+34.85C +15.41D12.87E10.67A+6.42B+10.41C +10.4D6.42E約束條件之三:權(quán)重之和為1A+B +C +D=1A, B, C , D, E0通過計(jì)算得出結(jié)果如下表3.7、表3.8表3.7 北京體科所計(jì)算結(jié)果投入國家北京湖北北體大組合Suplus資

18、金28.555216.2327.5721.040.000.00高學(xué)歷12.3812.8734.8515.410.000.00高職稱10.676.4210.4110.400.000.00產(chǎn)出課題4.813.463.63.323.460.00專著4.312.714.595.652.710.00期刊文章25.3014.8017.5016.014.80培養(yǎng)學(xué)生4.102.702.308.402.70權(quán)重0.001.000.000.001目標(biāo)函數(shù)1表3.8 湖北體科所計(jì)算結(jié)果投入國家北京湖北北體大組合Suplus資金28.555216.2327.5721.040.003.58高學(xué)歷12.3812.873

19、4.8515.410.0017.44高職稱10.676.4210.4110.400.000.00產(chǎn)出課題4.813.463.63.323.460.00專著4.312.714.595.652.710.00期刊文章25.3014.8017.5016.014.800.16培養(yǎng)學(xué)生4.102.702.308.402.703.70權(quán)重0.2120.2600.000.5271目標(biāo)函數(shù)0.90524從表3.7中可看出目標(biāo)函數(shù)值為1，表明北京體科所位于有效邊界上，其用適量資源投入，獲得較高的產(chǎn)出，工作效率是相對(duì)有效的。從表3.8可看出, 目標(biāo)函數(shù)小于1 , 表明湖北體科所不在有效邊界上, 是相對(duì)非有效的。計(jì)算

20、結(jié)果解釋為:組合體科所由21.2%國家體科所, 26%北京體科所及北京體育大學(xué)體科所52.7%構(gòu)成, 用了少于90.524%的資源獲得不少于湖北體科所的產(chǎn)出。組合體科所少使用資金3.58 萬元,高學(xué)歷17.44 人, 多產(chǎn)出期刊文章0.16 人, 培養(yǎng)學(xué)生3.70人。第四章 總結(jié)4.1 DEA方法的優(yōu)點(diǎn)DEA的優(yōu)點(diǎn)吸引了眾多的應(yīng)用者，應(yīng)用范圍已擴(kuò)展到美國軍用飛機(jī)的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面目前，這一方法應(yīng)用的領(lǐng)域正在不斷地?cái)U(kuò)大它也可以用來研究多種方案之間的相對(duì)有效性（例如投資項(xiàng)目評(píng)價(jià)）；研究在做決策之前去預(yù)測一旦做出決策后它的相對(duì)效果如何（例如建立新廠后，新廠相對(duì)于已

21、有的一些工廠是否為有效)DEA模型甚至可以用來進(jìn)行政策評(píng)價(jià)。 自從數(shù)據(jù)包絡(luò)法提出至今，其應(yīng)用范圍日漸廣泛。例如它被廣泛應(yīng)用于學(xué)校、醫(yī)院、鐵路、銀行等公共服務(wù)部門的運(yùn)行效率的評(píng)估實(shí)證研究。DEA作一種新的效率評(píng)估方法，與以前的傳統(tǒng)方法相比有很多優(yōu)點(diǎn)。首先，DEA方法可以用于對(duì)具有多投入、多產(chǎn)出的多個(gè)決策單元的生產(chǎn)(或經(jīng)營)績效性進(jìn)行評(píng)價(jià)，而且應(yīng)用時(shí)可以避免像傳統(tǒng)方法那樣因?yàn)楦髦笜?biāo)量綱的不同而尋求權(quán)重因素所帶來的諸多困難，其評(píng)價(jià)結(jié)果相對(duì)而言比較客觀；其次，DEA模型中投入、產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)重可以建立數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，然后根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)而產(chǎn)生，而不是事先給定投入與產(chǎn)出的權(quán)重權(quán)重系數(shù)，因此它不受人為主觀因素的

22、影響，可避免在權(quán)重的分配時(shí)評(píng)價(jià)者的主觀意愿對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的造成人為的影響。 另外，數(shù)據(jù)包絡(luò)法是一種典型的非參數(shù)估計(jì)方法，應(yīng)用該方法評(píng)價(jià)時(shí)無須設(shè)定評(píng)價(jià)函數(shù)的具體形式，投入產(chǎn)出采用隱函數(shù)的形式表示，不同決策單元的評(píng)價(jià)函數(shù)其參數(shù)可以變動(dòng)，針對(duì)各個(gè)決策單元都將通過數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的手段給出最優(yōu)的投入產(chǎn)出函數(shù)，從而利用計(jì)算簡化。數(shù)據(jù)包絡(luò)法評(píng)價(jià)的是決策單元的相對(duì)有效性，其生產(chǎn)前沿面可以看成是最優(yōu)決策單元的投入與產(chǎn)出所組成的一個(gè)包絡(luò)面，如果對(duì)應(yīng)被評(píng)價(jià)的決策單元在該生產(chǎn)前面上，則稱之為DEA有效，否則，稱之為非DEA有效以決策單元(DMU)各輸入輸出的權(quán)重向量為變量，從最有利于決策的角度進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而避免了人為因素確定各指標(biāo)的權(quán)重而使得研究結(jié)果的客觀性收到影響。這種方法采用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，對(duì)所有決策單元的輸出都“一視同仁”。這些輸入輸出的價(jià)值設(shè)定與虛擬系數(shù)有關(guān)，有利于找出那些決策單元相對(duì)效益偏低的