導(dǎo)數(shù)教材和經(jīng)典總結(jié)

1、第三章3.1導(dǎo)數(shù)的幾何意義一、知識(shí)回顧平均變化率：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量（改變量）（可以為負(fù)數(shù)），則函數(shù)相應(yīng)地有增量（改變量）。，則兩個(gè)增量的比值叫做函數(shù)在到之間的平均變化率。導(dǎo)數(shù)的定義：當(dāng)時(shí)，有極限，就說函數(shù)在處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即有說明：（1）當(dāng)時(shí)，有極限，則函數(shù)在處可導(dǎo)，若極限不存在，則函數(shù)在處不可導(dǎo)或無導(dǎo)數(shù)。（2） 自變量增量可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，還可以時(shí)正時(shí)負(fù)，但，而函數(shù)的增量可正可負(fù)，也可以為0。（3） 叫做在上的平均變化率，在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)叫做在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。（4） 在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義可變形為：或。幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(為常數(shù))；

2、()； ； ， ； 求導(dǎo)法則：法則 法則 , 法則： 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或。 2、 經(jīng)典例題分析1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：根據(jù)題意，。2 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率 2解：根據(jù)題意，。3已知函數(shù)，求的值 （-12）解：根據(jù)題意，則，原函數(shù)的解析式為，故。4已知函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；解：根據(jù)題意，斜率，切線方程為，化解為。5已知函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；解：根據(jù)題意，斜率，切線方程為，化解為。6已知曲線在點(diǎn)切線平行于直線，求點(diǎn)坐標(biāo)。解：根據(jù)題意，斜率，解得，帶入得點(diǎn)坐標(biāo)。7設(shè)直線是曲線的一條切線, 則實(shí)數(shù)的值為解：根據(jù)

3、題意，設(shè)點(diǎn)，解得，帶入可得。8設(shè)函數(shù)，其中，則導(dǎo)數(shù)的取值范圍是 解：根據(jù)題意，因，所以。9若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，垂直軸的切線斜率為0，則。10若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 解：根據(jù)題意，的切線方程為；的切線方程為，聯(lián)立，解得。11若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則 解析:，切線方程是，令，令，三角形的面積是，解得。3、 經(jīng)典模型分析求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解：根據(jù)題意，化解得。變式訓(xùn)練求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解：根據(jù)題意，化解得?？偨Y(jié)：本類型是就是直接求導(dǎo)，利用求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法，特別需要注意是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)中的求值問

4、題若在上可導(dǎo),則（ ）解：根據(jù)題意，解得，原表達(dá)式為，。變式訓(xùn)練已知函數(shù)滿足滿足，求的解析式解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則原表達(dá)式為。總結(jié)：本類型是求導(dǎo)函數(shù)的值，但是需要通過導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)的具體值，特別注意的是導(dǎo)函數(shù)的值是一個(gè)數(shù)，不是變量，求導(dǎo)為0。切線的斜率問題1已知函數(shù)在處切線的斜率解：根據(jù)題意，斜率。2設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為 4解：根據(jù)題意，斜率。變式訓(xùn)練曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為 。解：根據(jù)題意，對(duì)原表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)，所以?？偨Y(jié)：本類型是求切線的斜率，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率。通過切線的斜率求參數(shù)的值設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，,則的值 解：根據(jù)題

5、意，斜率，則。變式訓(xùn)練已知函數(shù)在處的斜率為二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求實(shí)數(shù)的值。-1解：根據(jù)題意，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，斜率，則?？偨Y(jié)：本類型是求參數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率，第三步對(duì)接切線斜率的已知值，求參數(shù)。與傾斜角有關(guān)的斜率問題設(shè)函數(shù)在任意一點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍是 解：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，切線的傾斜角為，斜率為，則，則。變式訓(xùn)練設(shè)為曲線上的點(diǎn), 且曲線在點(diǎn)處切線傾斜角的取值范圍為, 則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為() 解：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，斜率為，則?？偨Y(jié)：本類型是求傾斜角，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率，第三步對(duì)接切線斜率的傾斜角，則有。求切線的方程曲線在點(diǎn)處的切線方程為 解：根

6、據(jù)題意，斜率，點(diǎn)斜式建立切線方程為。變式訓(xùn)練曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.解：根據(jù)題意，斜率，點(diǎn)斜式建立切線方程為。總結(jié)：本類型是求切線方程，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率，第三步點(diǎn)斜式求切線方程，則有。求切點(diǎn)的坐標(biāo)問題若曲線=在處切線斜率等于 3 ，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：根據(jù)題意，斜率，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為。變式訓(xùn)練已知與曲線相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)解：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)，斜率，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為?？偨Y(jié)：本類型是求切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率，第三步點(diǎn)斜式求切線方程，則有，對(duì)接求出切點(diǎn)。切線中的平行問題求曲線上與軸平行的切線方程. 解：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)，解得，切線方程為。變式訓(xùn)練在平面直角坐標(biāo)系

7、中，若曲線(為常數(shù))過點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則的值是 -3解：根據(jù)題意，且，解得，故。總結(jié)：本類型是求斜率，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率，已知斜率與所求斜率相等。切線中的垂直問題已知曲線與在處的切線互相垂直，求。解：根據(jù)題意，由斜率垂直得，解得。變式訓(xùn)練設(shè)直線分別是函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線，與垂直相交于點(diǎn)，且分別與軸相交于點(diǎn)，則的面積的取值范圍是 解：設(shè),。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。因?yàn)楹痛怪?，所以，直線：；直線：。兩直線與軸的交點(diǎn)分別為，則；兩條直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的特點(diǎn)，且，所以，則的面積的取值范圍是?？偨Y(jié)：本類型是求斜率，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率，已知斜

8、率與所求斜率相乘為-1。切線中的含參數(shù)問題已知直線與曲線相切，則的值為 解：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)，則，又切線方程為的斜率為1，即，故。源.網(wǎng)源.網(wǎng)22變式訓(xùn)練已知曲線在點(diǎn) 處的切線與曲線 相切,則 解：根據(jù)題意，切線方程為，又因?yàn)榍芯€與曲線相切則有，轉(zhuǎn)化為有一個(gè)根，（舍）或?？偨Y(jié)：本類型是求參數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率，有，對(duì)接切線方程求出參數(shù)。切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，求的值解：根據(jù)題意，斜率，切線方程為，則的值為1。變式訓(xùn)練曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 解：根據(jù)題意，斜率為，切線方程為，與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是10?？偨Y(jié)：本類型是求交點(diǎn)

9、坐標(biāo)，設(shè)切點(diǎn)為，第一步求導(dǎo)，第二步求斜率，有，橫坐標(biāo)為0，求縱坐標(biāo)；縱坐標(biāo)為0，求橫坐標(biāo)。切線與數(shù)列綜合的問題函數(shù) 的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為, 其中， 若, 則的值是 解：根據(jù)題意，斜率為，切線方程為，則，故的值是21變式訓(xùn)練設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，則的值為 解：根據(jù)題意，斜率為，切線方程為，解得，?？偨Y(jié)：本類型是通過切線求數(shù)列問題，第一步求導(dǎo)，第二步求切線方程，然后和數(shù)列建立關(guān)系，求具體的值。切線中涉及函數(shù)的奇偶性問題設(shè)是偶函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則該曲線在處的切線的斜率為_.解：根據(jù)題意，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，故有。變式訓(xùn)練已知為偶函數(shù)，當(dāng)

10、時(shí)，則曲線在處的切線方程式_解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)時(shí)，所以，則，在處的切線方程為?？偨Y(jié)：本類型是通過函數(shù)的奇偶性求切線問題，第一步求導(dǎo)，求斜率，然后求相關(guān)的值。切線過坐標(biāo)原點(diǎn)的問題已知函數(shù)，它的一條切線方程過坐標(biāo)原點(diǎn)，求此切線方程 解：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，即，故此切線方程 變式訓(xùn)練經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線相切的方程是 解：根據(jù)題意，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，即或，故此切線方程 或總結(jié)：本類型是過非切點(diǎn)的切線問題，第一步求導(dǎo)，求斜率，第三步求切線方程，第四步將定點(diǎn)帶入。與切線圍成的面積問題曲線在點(diǎn)處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為= .解：根據(jù)題意，切線方程為：，與軸的交點(diǎn)

11、坐標(biāo)分別為，三角形面積為，解得。變式訓(xùn)練曲線在點(diǎn)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為() 解：根據(jù)題意，切線方程為：，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，與的交點(diǎn)為三角形面積為。總結(jié)：本類型是過非切點(diǎn)的切線問題，第一步求導(dǎo)，求斜率，第三步求切線方程，第四步橫坐標(biāo)為0，求縱坐標(biāo)；縱坐標(biāo)為0，求橫坐標(biāo)。第五步利用三角形的面積求具體的值。公共切線問題已知函數(shù)，若曲線和曲線都過點(diǎn)，且在點(diǎn)處有相同的切線，求的值。解：根據(jù)題意，而，故。變式訓(xùn)練函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合，則的取值范圍是解：根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，若時(shí)，點(diǎn)處的切線方程為，點(diǎn)處的切線方程為，由公共切線可得，令，則在上是減函數(shù)，故的取值范圍是。 總結(jié)：本類型

12、是公共切線問題，第一步求導(dǎo)，求斜率，第三步通過兩個(gè)切點(diǎn)求兩條切線方程，兩條切線是一條，求出已知值。課程小結(jié)本節(jié)課主要講述導(dǎo)數(shù)問題，從導(dǎo)數(shù)的公式開始，涉及一些曲線的切線問題，多數(shù)都是套公式。在求曲線的切線方程，我們必須按給出的方法求，思路是比較簡(jiǎn)單，需要學(xué)生要準(zhǔn)確的理解知識(shí)點(diǎn)，靈活并熟練地掌握方法，特別是沒有給出具體點(diǎn)切線方程的建立。下面對(duì)本節(jié)課的所學(xué)知識(shí)做一總結(jié)：（1）求導(dǎo)公式的應(yīng)用；（2）求曲線的切線方程；（3）求未知點(diǎn)以及含參數(shù)的切線方程；（4）切線的綜合性問題。習(xí)題1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)3已知函數(shù)在處的切線斜率4設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則5已知函數(shù)的一條切線是垂直軸，求=

13、6已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為10，求實(shí)數(shù)的值；7已知函數(shù)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；8 求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；9曲線在點(diǎn)處的切線方程為 10已知函數(shù)則的值為 11已知點(diǎn)在曲線上，a為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是 12【2016河北衡水四調(diào)】設(shè)過曲線（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線為，總存在過曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）13已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為 114設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為，求的值15已知函數(shù)，當(dāng)曲線的切線的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求在軸上截距的取值范圍。16若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于答案：1 ；2 ；3 2；4

14、-2；5 0；6 8；7 ；8 9 ；10 1；11；12 ；13 1；14 3；15 ；16 或。3.2導(dǎo)數(shù)在函數(shù)上的研究函數(shù)一、知識(shí)回顧函數(shù)單調(diào)性的研究：一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)， 函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果有，那么函數(shù)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)，為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；如果有，那么函數(shù)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù)，為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。（1） 當(dāng)切線斜率非負(fù)時(shí)，切線的傾斜角小于，曲線呈上升狀態(tài)；當(dāng)切線斜率為負(fù)時(shí)，切線的傾斜角大于，且小于，曲線呈下降狀態(tài)。（2） 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則在這個(gè)區(qū)間內(nèi)等于常數(shù)。（3） 若在某個(gè)區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使，在其余點(diǎn)恒有（或），則仍

15、為增函數(shù)（或減函數(shù)），也就是說，在區(qū)間內(nèi)（或）是函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分而不必要條件。（4） 若函數(shù)在內(nèi)存在導(dǎo)函數(shù)且單調(diào)遞增（遞減），則對(duì)一切都有（），且在的任一子區(qū)間內(nèi)不恒為零。求函數(shù)單調(diào)性的常用思路：（1） 確定函數(shù)的定義域（2） 對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，（3） 通過（或）來確定極值點(diǎn)和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。的解集是的單調(diào)增區(qū)間；的解集是的單調(diào)減區(qū)間；如果的根左側(cè)附近區(qū)間有，左側(cè)附近區(qū)間有2、 經(jīng)典例題分析1若函數(shù)，則的解集為解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，解得?已知函數(shù)的最值 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，解得，?dāng)，在上單增，當(dāng)，在上單減，則有極大值-1。3求函數(shù)的極小值 -16解：根據(jù)題意，解得，當(dāng)，在上單增

16、，當(dāng)，在上單減，則有極小值。4已知函數(shù)（）在處取得極值，求的值，解：根據(jù)題意，將帶入導(dǎo)函數(shù)得。5已知函數(shù)，證明：證明：令函數(shù)，求導(dǎo)，解得，當(dāng)，在上單減，當(dāng)，在上單增，則，故，得。6設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，?dāng)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)，解得，在內(nèi)單調(diào)遞減；，在內(nèi)單調(diào)遞增。7函數(shù)，若，求的取值范圍；解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，等價(jià)于，令，則。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)是的最大值點(diǎn)，所以，綜上可知，的取值范圍。8設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)增區(qū)間解：根據(jù)題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，解得。9若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解：根據(jù)題意，解得，當(dāng)，在上單增，當(dāng)，在上單減，則有極小值和有極大值，綜

17、合上述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是。10已知函數(shù)，證明：對(duì)任意。證明：根據(jù)題意，可轉(zhuǎn)化為，由和，則，上述不等式已證完。11函數(shù)與直線有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：根據(jù)題意，令有三個(gè)零點(diǎn)，解得或，當(dāng)，在上單增，當(dāng)，在上單減，只需，解得。3、 經(jīng)典模型分析通過導(dǎo)數(shù)解不等式若函數(shù)，則的解集為 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋獾?。變式?xùn)練若函數(shù)，則的解集為 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，解得，上述不等式的解集為?總結(jié)：本類型是求導(dǎo)函數(shù)的不等式，第一步求導(dǎo)，然后導(dǎo)函數(shù)大于零或小于零解不等式。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 解：根據(jù)題意，解得單調(diào)遞增區(qū)間為。2函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋獾脝?/p>

18、調(diào)遞減區(qū)間為。變式訓(xùn)練1已知函數(shù)， 求的單調(diào)遞減區(qū)間；,解：根據(jù)題意，解得的單調(diào)遞減區(qū)間為。2設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)增區(qū)間；解：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋膯握{(diào)增區(qū)間為。 總結(jié)：本類型是求單調(diào)區(qū)間，第一步求導(dǎo)，然后導(dǎo)函數(shù)大于零或小于零解不等式，通過不等式的解集，確定原函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值1求函數(shù)的極值點(diǎn) 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，解得，?dāng)，在上單減，當(dāng)，在上單增，則有極小值。變式訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)，求的極值 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，解得，?dāng)，在上單增，當(dāng)，在上單增，則有極大值。2設(shè)其中，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，求函數(shù)的極值。極小值為3解：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋?解得。，解得，當(dāng)，在上單減；當(dāng)，在上單

19、增，則有極小值。 總結(jié)：本類型是求單調(diào)區(qū)間，第一步求導(dǎo)，然后導(dǎo)函數(shù)等于0，確定導(dǎo)函數(shù)的幾個(gè)范圍，通過導(dǎo)函數(shù)范圍確定原函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值。通過函數(shù)的極值點(diǎn)來求參數(shù)的值已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值；解：根據(jù)題意，解得。變式訓(xùn)練1函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，求的值解：根據(jù)題意，解得。2已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求的值 解：根據(jù)題意，解得。求函數(shù)的最值1已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，解得，?dāng)，在上單減，當(dāng)，在上單增，則有最小值。變式訓(xùn)練1已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；解：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋獾?，?dāng)，在上單減，當(dāng)，在上單增，則有最大值。2設(shè)函數(shù)，若在上的最大值為，求的值。解

20、：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋谏蠟樵龊瘮?shù)，解得。函數(shù)零點(diǎn)的問題1已知函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則的值 解：根據(jù)題意，解得，根據(jù)三次函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性可知，解得。變式訓(xùn)練設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù),當(dāng)曲線與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是。解：根據(jù)題意，解得或，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，極小值或極大值，只有一個(gè)交點(diǎn)，應(yīng)滿足或，解得或。通過單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，在區(qū)間上恒成立，故。變式訓(xùn)練若函數(shù)在是增函數(shù)，則的取值范圍是 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，在區(qū)間上恒成立，故。存在性問題1已知函數(shù)，存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；解：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋薪?，有解，?/p>

21、據(jù)二次函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，故。變式訓(xùn)練設(shè)，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；解：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，有解，有解，根?jù)二次函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，故。與0有關(guān)對(duì)參數(shù)的討論已知，討論的單調(diào)性。解：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋?dāng)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，解得，在內(nèi)單調(diào)遞增；，在內(nèi)單調(diào)遞減。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性。解：根據(jù)題意，當(dāng)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，解得，在內(nèi)單調(diào)遞減；，在內(nèi)單調(diào)遞增。與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)討論1已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性。 解：根據(jù)題意，定義域?yàn)椋獾?；?dāng)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)解得，在內(nèi)單調(diào)遞減；，在內(nèi)單調(diào)遞增。變式訓(xùn)練已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性。解：根據(jù)

22、題意，定義域?yàn)?，解得或；?dāng)，令，解得或；令，解得；當(dāng)，令，解得，令，解得；當(dāng)，令，解得；令，或。綜上所述，當(dāng)時(shí)，在，內(nèi)單調(diào)遞減；在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減；在，內(nèi)單調(diào)遞增。通過討論零點(diǎn)來研究函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明：.證明：當(dāng)，時(shí)，故只需證明當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，又，故在有唯一實(shí)根，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值由，得， 故. 綜上，當(dāng)時(shí)，。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)，若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求的最大值解：根據(jù)題意，時(shí)，且當(dāng)時(shí)，；令，在是單增函數(shù)，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，所以在上存在唯一的零點(diǎn)設(shè)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在的最小值為。又得，所以，所以，的最

23、大值為2。函數(shù)恒成立問題設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的值為_4_解：根據(jù)題意，當(dāng)，有成立；當(dāng)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此；當(dāng)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此；故。變式訓(xùn)練已知函數(shù)，且，求的值；1解：的定義域?yàn)?，設(shè)，則等價(jià)于，因?yàn)?，故，而，得，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故，綜上，。十一、構(gòu)造模型函數(shù)的類型函數(shù)的定義域是，對(duì)任意，則不等式的解集為()解：根據(jù)題意，設(shè)，即在定義域內(nèi)為增函數(shù)，當(dāng)，則的解集為。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為 解：根據(jù)題意，設(shè)，當(dāng)時(shí)

24、，所以在上單調(diào)遞減，即不等式等價(jià)為，解得。構(gòu)造新函數(shù)解決參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，如果對(duì)任意，求的取值范圍。解：根據(jù)題意，設(shè)，而在上是減函數(shù)，則有，令在上是減函數(shù)，則，故的取值范圍。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)若對(duì)所有的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：根據(jù)題意，令，對(duì)求導(dǎo)得，令，當(dāng)時(shí),對(duì)所有的，都有,所以在上為單調(diào)增函數(shù)，又,所以對(duì)時(shí)有，即當(dāng)時(shí)都有，所以成立，當(dāng)時(shí),對(duì)于時(shí)，所以在上是減函數(shù)，又，所以對(duì)于，即, 所以當(dāng)時(shí)，不一定成立，綜上所述可知的取值范圍是。導(dǎo)數(shù)中對(duì)函數(shù)根的討論已知函數(shù)，討論的導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，說明理由。解：根據(jù)題意，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞增

25、，所以在單調(diào)遞增，又，當(dāng)滿足且時(shí)，故當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)，其中，討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由。解：根據(jù)題意，的定義域?yàn)?，令，?）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)。當(dāng)，設(shè)方程，的兩根分別為，因?yàn)椋值膱D像的對(duì)稱軸為，所以，由，可得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)。（3）當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞増；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).導(dǎo)數(shù)中對(duì)稱性的問題若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的

26、最大值為_.解：根據(jù)題意，由圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則，解得=8，=15，當(dāng)時(shí)，在此定義域?yàn)閱握{(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在此定義域?yàn)閱握{(diào)遞減；，故當(dāng)和時(shí)取極大值，。變式訓(xùn)練設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（ ）解：根據(jù)題意，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)上的點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)函數(shù)，由圖象關(guān)于對(duì)稱得：最小值為。通過對(duì)導(dǎo)數(shù)中根的討論已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；解：根據(jù)題意，的定義域?yàn)?，解得或，若時(shí)，則在此區(qū)間上單增；，則在此區(qū)間上單減。若時(shí)，則在此區(qū)間上單增，則在此區(qū)間上單減；若時(shí)，則在此區(qū)間上單增，則在此區(qū)間上單減；變式訓(xùn)練已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；解：根據(jù)題意，（1）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在單調(diào)

27、遞減，在單調(diào)遞增。（ 2 ）當(dāng)時(shí)，由，解得：或，若，即，則，故在單調(diào)遞增若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減。若，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減。函數(shù)的圖像問題函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是解：根據(jù)題意，導(dǎo)函數(shù)有兩部分大于零和兩部分小于零，則原函數(shù)先減后增再減再增，排除A和C，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況，可選擇D。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（A）函數(shù)有極大值和極小值 （B）函數(shù)有極大值和極小值 （C）函數(shù)有極大值和極小值 （D）函數(shù)有極大值和極小值 解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)單調(diào)

28、遞增；當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)單調(diào)遞增；故選D。通過對(duì)導(dǎo)數(shù)中根的討論求參數(shù)已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍解：（）（i）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)（ii）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，取滿足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)（iii）設(shè)，由得或，若，則，故當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，的取值范圍為。變式訓(xùn)練已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)=（），=。有題設(shè)可得，即，令=0得，=，=2，（1） 若，則20，當(dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)， 0

29、，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值，而=0，當(dāng)2時(shí)，0，即恒成立。(2)若，則=，當(dāng)2時(shí)，0，在(2,+)單調(diào)遞增，而=0，當(dāng)2時(shí)，0，即恒成立，(3)若，則=0，當(dāng)2時(shí)，不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為1,。直接利用導(dǎo)數(shù)證明不等式已知函數(shù)，證明：證明：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，解得，?dāng)，；當(dāng)，故有。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，；證明：，當(dāng)時(shí)，所以為增函數(shù)，又，故當(dāng)時(shí)，。構(gòu)造新函數(shù)思想已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，；證明：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，令，有，?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)，證明：。證明：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，設(shè)則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，而，故當(dāng)

30、時(shí)，即。 分類討論證明不等式已知函數(shù)，證明： 證明：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則有，所以變式訓(xùn)練已知函數(shù)，證明：當(dāng)，且時(shí)，證明：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，知，所以，考慮函數(shù)，則所以當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，從而當(dāng)，且，即。利用新函數(shù)證明不等式已知函數(shù)，且，從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為，證明：。證明： 根據(jù)題意，又，所以由，在上式中，令，則，即，所以變式訓(xùn)練已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值，且證明：。.5證明：當(dāng)時(shí)，令 （），則，解得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即，。通過零點(diǎn)確定最值已知函數(shù)，證明：當(dāng)

31、時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)。證明：，設(shè)，由題設(shè)知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在有唯一實(shí)根。當(dāng)時(shí)，令，則 ，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，在沒有實(shí)根，綜上在R由唯一實(shí)根，即曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)，且有唯一的極小值，沒有極大值，證明：當(dāng)時(shí)，。證明：根據(jù)題意，設(shè)在的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得唯一的最小值，由，所以，故當(dāng)時(shí)，。利用分析法證明不等式設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，；證明：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，令，則，當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)；故，所以當(dāng)時(shí)，。變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)，證明：。證明：.，從而等價(jià)于，設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在

32、單調(diào)遞增，從而在的最小值為，設(shè)函數(shù)，則所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而在的最大值為，綜上，當(dāng)時(shí)，即。利用放縮法證明不等式已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明0。證明：根據(jù)題意，由和，有等號(hào)成立的條件分別是和，故。變式訓(xùn)練1已知函數(shù)，設(shè)，證明：對(duì)任意證明：根據(jù)題意，定義域?yàn)?，因?yàn)?，則有，另有和，則有。2設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，。證明：根據(jù)題意，由均值不等式，當(dāng)時(shí)，令，令，當(dāng)，則，所以，因此在內(nèi)是遞減函數(shù)，又，得，于是當(dāng)時(shí)，。習(xí)題1已知函數(shù)，若在上恒成立，求的取值范圍 2已知函數(shù),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；3若上是減函數(shù)，則的取值范圍是 4已知函數(shù)，若有兩個(gè)極值

33、點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍5函數(shù)，若有極大值28，求在上的最小值。6（2011年安徽高考卷）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；7當(dāng)時(shí)，求證：8已知函數(shù)，證明：. 9已知函數(shù)，討論的單調(diào)性。10對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有()A B CD11若，則()A B C D 12函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)，設(shè)，則的大小關(guān)系()13已知，當(dāng)有最大值，且最大值大于時(shí)，求的取值范圍。14已知函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。 15已知函數(shù)，下列正確的是 CA 則在單調(diào)遞增 B 則在單調(diào)遞減 C 的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱16設(shè)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線與軸相交于點(diǎn)，求函數(shù)的極值。17若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為

34、（ ）18已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是 19若函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）20設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使得成立的的取值范圍是（ ）21若函數(shù)有極值點(diǎn)，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是 22已知函數(shù)過，且關(guān)于中心對(duì)稱，若有三個(gè)不同的根，求的取值范圍23已知函數(shù)，證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且。24函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，則下列判斷一定正確的是 A B C D 25已知函數(shù)，對(duì)任意的，存在，則的最小值為26已知函數(shù)，若至少存在一個(gè)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()27已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍28已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)，若，這兩

35、個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍。29已知函數(shù)，設(shè)為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)，求的最小值30在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在處的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的最大值是_31設(shè)函數(shù)，若存在使得，求的取值范圍。32設(shè)函數(shù)，設(shè)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍33已知函數(shù),若對(duì)于任意存在，滿足，且成立，求的取值范圍。34已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，則的取值范圍 35已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域。36已知函數(shù)，() 證明: 對(duì)任意的， 存在唯一的, 使；() 設(shè)()中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為，證明：當(dāng)時(shí), 有。3

36、7已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.答案：1；2 ；3 ；4 ；5 -4；6 或；7 略；8 略；9 綜合上述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增。當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增。10 A；11 C；12 ；13 ；14 ；15 C；16 ；17 -1；18 ；19 ；20 ；21 3；22 ；23 略；24 B；25 ；26 ；27 ；28 ；29 3；30 ；31；32 ；33 ；34 ；35 ；36 略；37 略。3.3定積分與微積分定理一、知識(shí)回顧定積分的概念 一般

37、地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：如果無限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為： 其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。說明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱為，而不是 （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；變力做功 。從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示直線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積，這就是定積分的幾何意義。定積分的幾何意義 說明：一般

38、情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào)（可以先不給學(xué)生講）分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值?？疾旌褪讲环猎O(shè)于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4 （定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）說明：推廣： 推廣: 性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)1微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式定理：如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上