車燈線光源的優(yōu)化設計數學建模論文

1、高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括 、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話

2、）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?重 慶 大 學 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括 、電子郵件、網上咨

3、詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： B 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?重 慶 大 學 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 年 月

4、日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：車燈線光源的優(yōu)化設計 摘要車燈作為汽車的一個重要部件，不僅影響車子造型的美觀，而且是夜間行車時必要的照明工具。如何設計車燈線光源的長度，使它既能達到一定的照明效果又能充分地節(jié)約能源，是一個值得探討的問題。本文在滿足給定設計規(guī)范的條件下，對車燈線光源的優(yōu)化問題進行了分析研究。首先根據幾何光學的反射定律，求出了線光源上任意點經

5、過拋物面任意點反射所得光線的方程。其次利用所得直線方程，根據能量守恒推導出點光源的一條入射光的強度與測試屏上相應點的光強度的關系。對于固定的點光源和測試屏上的一點，利用反射方程可以確定有限個反射點，對這些點進行疊加，求出點光源經拋物面一次反射后在屏幕上某點所得的光強度。將線光源離散化成若干個點光源，用點光源的性質計算了線光源在屏幕上給定點B、C的光強度。以設計規(guī)范對B、C點光強度的要求為約束條件，線光源的最小功率為目標，利用數值計算方法計算出功率最小的線光源長度4.15毫米。用反射光線方程與測試屏方程，將反射光線在屏幕上的“照亮點”用點光源作標記反射點坐標表示出來（見式子（6）。用一定步長取遍

6、線光源及反射點坐標，逐個計算相應的照亮點，就能得到線光源在測試屏上的反射光的亮區(qū)（見圖3）。在考慮反射光傳播過程時，本文采用了曲面變換的雅克比行列式，描述了光束截面擴大的效應，簡潔的得到了由于面鏡對改變光的傳播方向所引起的光強度的變化，另外，針對反射光的亮區(qū)圖案作了定性分析。最后，在文末討論了該規(guī)范設計的合理性，就B、C點位置特征的合理性進行分析，并對于二燈制前照燈設計規(guī)范驚醒了改進，以及近遠光的考慮。一問題重述安裝汽車頭部的車燈的形狀唯一旋轉拋物面，車燈的對稱軸水平的指向正前方。一種典型車燈的開口半徑為69毫米，深度為21.6毫米。經過車燈的焦點，在與對稱軸相垂直的水平方向面對成的放置一根長

7、度均勻分布的線光源（中心位于焦點），其每一個發(fā)光都相同。要求在某一設計規(guī)范標準下確定光源的長度，使其功率最小。該規(guī)范如下：在焦點F正前方25米處的點豎直放置一測試屏，屏與連線垂直，用以測試車燈的反射光，在屏上過點引出一條水平的直線，在該直線上點的同側取點和點，使得米，米。要求點的光強度度不小于某一額定值（可取為個單位），點的光強度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。為了優(yōu)化車燈光源的設計，使之既滿足以上的設計規(guī)范又能夠達到節(jié)能耐用的標準，現在要求如下問題：（）在滿足給定設計規(guī)范的條件下，計算線光源的長度，使線光源的功率最小。（）對得到的線光源長度，在有標尺的坐標系中畫出測試屏上的反射光的

8、亮區(qū)，得到一個直觀的燈光照明效果的圖像。（）討論給定的設計規(guī)范的合理性，看它能否比較好的反映出車燈照明效果的好壞。二、問題分析以車燈拋物面定點為原點，拋物面的對稱軸為坐標系的軸，車燈所對正前方為軸的正方向，建立空間直角坐標系。則根據拋物面開口半徑為，深度為，可以求得車燈拋物面的方程如下：（）其焦點坐標為（，），用繪制出該拋物面的圖形如下：由給定的設計規(guī)范，整個“車燈測試屏”的檢測系統(tǒng)簡化結構如下：假設線光源的亮度是均勻分布的，可以認為它是由無數發(fā)光強度相同的點光源構成。設線光源長度為，總發(fā)光功率為，在線光源上任取一小段長為dl的線元，其功率為dp，則有：dpdl將長的線光源看成一個功率為的點光

9、源，求出每個點光源對、兩點光亮度的貢獻，然后把所有點光源的光強度貢獻積分，就可以得出、兩點的總光強度。三、模型假設線光源亮度均勻，它的中心位于旋轉拋物面的焦點，水平放置在焦平面上；不考慮燈拋物面對光線的多次反射，只考慮一次反射。設計規(guī)范中要求的點的最小光強度為；四、模型的建立與求解反射光線與測試屏交點坐標的確定車燈拋物面焦點的坐標（，），線光源所在直線過G點且平行于軸，可以求出其直線方程為；測試屏所在平面與z軸垂直，求得其方程為：Z=25015取B、C兩點在A點的X軸正方向一側，于是得到：B點坐標：（1300，0，25015） C點坐標：（2600，0，25015）直線v與拋物面的交點為：（3

10、0，0，15）和（-30，0，15），所以線光源的最大長度為60毫米設點光源上一點T（3t，0，15）發(fā)出的光線射到拋物面上某一點P0（x0，y0，z0），則入射光線Tp0的方程為拋物面上點P0處的法線方程為有P0在拋物面上，故有：60Z=x+y (1)計T點關于法線的對稱點為T（x1，y1，z1），則由線段TT 的中點 在法線上可得的: （2）又因直線TT與法線垂直，有（x-t）x+(y-0)y-30(z-15)=0聯立（1）（2）（3）可求出x,y,z的表達式如下：x=x+(-900tx-ty)/(900+x+y)y=y+2txy/(900+x+y)z=(405000-1800tx+135

11、0x+x+1350y+2xy+y反射光線PT的方程為在此處鍵入公式。pT與測試屏平面的交點記為Q（x，y，z），其坐標滿足下列方程組：解之得：把（1），（4）代入（5）得到下式：2。關于反射點的個數的分析命題：任何一個確定的點光源T和測試屏上的一點Q，在拋物面上只有有限個反射點使從點光源T發(fā)射出的光線經過反射后可以到達D點。證明：（6）式完整描述了屏上任意一點Q、線光源上一點T與拋物面上對應的反射點的關系。由表達式可知x，y均只與x0，y0，t有關，可以記為；當給定Q、T時，x，y，t均為常數。于是以上函數關系就轉化為下列方程組；這就是求兩條平面曲線的交點。由于這兩個曲線方程的形式不同，不可能

12、重合。因此它們的交點最多只有有限個。三。測試屏上任意一點光強度的確定（6）式確定了從線光源上一點T發(fā)出的光線經過拋物面上一點P0反射后在測試屏任意一點Q*（x，y，z）的坐標值代入，就可以得到所有通過Q*點的反射光線所滿足的關于x0，y0，t的關系式。對給定的t求出所有過Q*的反射光線在Q*產生的光強度，再對t的線光源L上積分就可以求出Q*的總反射光強度E0，它是一個關于線光源長度L和線光源總功率P的函數。點的光強度包含兩個部分，除總反射光強度外，還有總直射光強度：=+其中直射光強度E1為線光源不經反射直接射到Q*的光強度4光強度的物理分析設車燈光源的總發(fā)光功率為，光通量為F，則有如下規(guī)律：F

13、=（）其中：為比例常數：為人眼對于波長光線（白光）的視覺靈敏度。有發(fā)光強度的關系式：其中：為立體角，對于電光源，由于點光源發(fā)出的光為球面波，球面上任意一點的光強度都相同，有：（）對于照度（光強度）有：（）其中：為發(fā)光點到照射面的距離：為照射面發(fā)現方向與照明方向的夾角。聯立（）（）（）解得：（）由上式可知：光強度（照度）與線光源總功率成正比，與投射角的余弦成正比，與距離的平方成反比。直射光線所產生的光強度分析由于線光源與測試屏的距離為米，而線光源的最大長度為厘米，可把線光源當成在焦點處的點光源，其產生的光強度：（）其中：（為測試屏上點到A電的距離） ， F=6.B、兩點光強度與線光源的功率長度的

14、關系把點取為點，就可以求出點的總反射光強度，它是關于、的函數，設為：（，）又射線光源在B點的總直射光強度為，它也是關于P，L的函數，設為：（，）則B點總光強度有：+=（，）+（，）設計規(guī)范條件要求B點的光強度不小于2，即：=（，）+（，）2同理，對才C點也可以得到：=（，）+（，）1這樣（12）（13）分別確定了一個在以，為坐標系的平面內地兩個區(qū)域，兩個區(qū)域的重疊區(qū)即代表了多有滿足設計規(guī)范的，的范圍，園區(qū)該重疊區(qū)的值最小的店所得到的對應的L值就是所要求的線光源的長度。7.反射光線與入射光線能量關系的確定光線從點光源T出發(fā)到拋物面上點的傳播距離為r，有：+到達處的光強度為：式中L為線光源的總長度

15、，F為線光源發(fā)出的總的光通量。設一小束光線到達時垂直于T截面面積為d，照射到拋物面上的面積為d，d在xy平面上的投射面積為d，該光束反射到測試屏上的Q（x，y，z）點處的面積為d，則由幾何關系可知：=第九頁空缺因為由 難以寫出x0,y0關于x,y的顯式表達式，但是通過固定屏上點Q（x,y,25015）和點光源T，然后搜索拋物面上的反射點P0，結合前面的證明知P0只有有限個點，可以疊加出T點經過拋物面反射到O點的光強。以下為豎直求解的算法（相應程序見附錄1）考慮T點附近t的一段線光源可近似為點光源，對Q點，代入（6）中可數值求解出幾組（x0,y0）解。2）對解的判別：用數學軟件求出所有的實根，首

16、先判斷P0是否超出反射面的范圍： （因為拋物面開口半徑為36毫米）：其次判斷反射光線是否交與拋物面開口圓面的內部。3)由可能的解P0算出T點對Q點光強度的貢獻 。因為 的表達式只與 ，P，L 有關，如下式：=(+)其中R=為焦點G與Q的距離，為直射光強度：而=，為反射光能損失系數，為發(fā)射光的方向向量，其實只要討論這一相對量。再對t從-L到L，以為步長，進行累加=q其中為；q為Q點處的總光強度。4）每小段線光源t的發(fā)光功率Pt/L=pt為恒定的值，對固定A，B，當|t|=0，t，2tnt，分別求出，i=0，1，2，.n，n30/t對B點：q（B）=（B）對C點：q（C）=（C）又因為B要大于額定

17、值的兩倍，所以取min（q（B）/2，q（c）而線光源的總發(fā)光功率為P=（2n+1）t 所以滿足相對于額定值的單位光強度所需的發(fā)光功率為： =從1開始，改變n的值，算出發(fā)光功率Pn。取t取最小的功率對應的n值，則長度L=（2n+1）t為最優(yōu)線光源設計長度。5）首先以1mm為步長， =10000000則算得 為下表：n12345Pn1.03450.00250.00270.00320.0038由表容易看出Pn的最小值對應的n=2，則知最優(yōu)長度在4毫米附近，再以0.05毫米為步長，同理算得下表：n3233343536373839404142Pn2.36011.71541.49271.38201.31

18、861.28001.25601.24161.23031.22721.227易發(fā)現在=41時，最小，所以最優(yōu)長度為： L=0.05（2n+1）=4.15（毫米）五.測試屏上反射光亮區(qū)的繪制 要求出測試上反射光線的亮區(qū)，就是要求所有反射光線與測試屏交點的分布范圍。對于每一個點光源在測試屏上都有它們自己對應的亮區(qū)，把所有點光源對應的亮區(qū)重疊起來形成的總的包絡面就是線光源的反射光的亮區(qū)。我們考慮用計算機編程來繪制出亮區(qū)。算法設計的分析 由于給定點光源的位置（即值）和拋物面上的任意一個反射點的坐標Xo,Yo（Zo可以有拋物面方程確定，所以不是自由變量），就可以唯一確定一條反射光線，從而可求出該反射光線與

19、測試屏的交點坐標，即這條光線在測試屏上所“打出”的一個亮點的位置可以確定。 再考慮這條反射光線是否只經過了一次反射。一般的做法是用該反射方程與拋物方程聯立，看是否有除反射點（Xo,Yo,Zo）以外的交點。但是在這里我們從另一個角度去考慮，即：如果該反射光線所在直線從拋物面開口處的圓中穿過，則它不會經歷多于一次的反射。 這樣，求出反射光線在z取值為21.6時點的另外兩個坐標x,y的值，只要它們滿足以下不等式就不會經過多于一次的反射： + 如此，求解條件和約束條件都確定了，接下來就可以設計程序算法了。由于給定一個反射點（Xo,Yo,Zo）只要給定其Xo,Yo的值就可以了。把拋物面投影到xoy平面，

20、其投影為一圓，方程為： + 把該圓按照半徑r和中心角劃分成網格或者按照直角坐標x,y劃分網格。這樣給定一個t值，然后對于每一個網格上的點，確定一條相應的反射光線，求出它與測試屏的交點，即在屏上打一個點；變化t值，重復上述過程。這樣最后就得出整個線光源發(fā)出的光線反射后在測試屏上對應的照亮區(qū)域（用標點出來的）。 算法實現后的結果 用以上算法在Matlab 中變成求解（程序見附錄2），以直角坐標劃分網格，當t在（-2.075，2.075）范圍內變動（即線光源長度L為4.15）時，測試屏上亮點的分布如下圖（圖中標尺的單位為毫米）：第十三，十四頁空缺發(fā)生很大的畸變，而距離焦點越遠處的點的亮區(qū)的畸變速度越

21、慢；2t值為正的點光源在屏上的照亮區(qū)域明顯地偏向x軸的負方向，即：車燈線光源左邊部分的反射光主要照亮汽車右前方，而右邊部分的反射光主要照亮汽車左前方，存在光路的交叉。六設計規(guī)范的合理性分析：安裝在汽車頭部的車燈（前照燈）要滿足行車前方道路有明亮而均勻的照度，又不致使對方來車駕駛員眩目或有不舒適感，需對其進行精確的調整（對其車燈的光束位置和燈絲的長度設置等）來滿足使用需求，模型結合對汽車前照燈配光性能的具體要求，用測試屏對前照燈照射位置和光強度進行檢測，來判斷此前照燈的好壞。檢測車燈時，如果該設計規(guī)范是非常合理的，則僅從B、C的光強度，就能反映出整個測試屏的光強度來。測試屏離車燈25米，屏上過被

22、測試兩點B、C形成的線與線光源平行。測量了點B、C的光強度。從測試屏的光強度分布圖（圖3）來看，車子的前照燈射出的光線在測試屏呈往左右延伸的光帶，且往兩側逐漸減弱，讓屏上的線BC水平放置，則該設計重點測試了行車前方左右兩側的光強度分布；由于反射鏡是個旋轉拋物面，且光源呈水平放置的線狀，反射光不會過大的擴散，因此在垂直方向沒有設置測試點；B、C點在直線上A點的同一側，也就知道了另一側相應對稱點的光強度，因此B、C在同側會得到更多的有關光強度分布的消息；B=1.3米，C2.6米，其長度與實際汽車在路上奔跑所轄的路寬差不多，其距離也是相當合理。歸納之，這樣的測試方法是非常合理的。從不同的幾個測試屏上

23、光強度分布圖可發(fā)現，B、C分別處在兩個不同光強度區(qū)域，它們之間有條較明顯的明暗截止線。25 米是汽車前照燈傳統(tǒng)測試方法的常用長度。在正常駕車情況之下，與前車保持兩秒鐘車速的距離是安全的。根據科學研究，一般駕車員的制動反應時間在0.390.63秒之間，采取制動的時間在11.35秒之間，兩者之和為1.391.98秒，小于兩秒。而通常前后車的車速基本相同，所以在制動時間相同的情況下制動距離也基本相同。兩秒鐘的間隔，就可以保證前后車輛的有效制動。再考慮交通規(guī)則所限制的車速，25米是一個安全合理的車距。而司機必須能看到前方這么遠的事物，所以測試面上的點的光強度不能少于某一值。25米是一個比較合理的測試距

24、離。七設計規(guī)范的進一步分析1二燈制前照燈實際運行的汽車是有兩個車燈的，他們的光束互相影響。為了便于分析，不妨令兩個車燈的距離為1.3米，且兩個燈的類型相同。如下圖所示：CB在二燈制前照燈下測試屏上的光強度其實就是每個車燈在測試屏上的光強度疊加。先遮住射出的光線，則只在單燈F的情況下考慮點A、B、C的光強度，同理也得到、在燈的照射下的光強度，并且C與是對稱的。顯然，只要測到點B、C的光強度，也就得到整個測試屏的光強度。2車燈的遠近光分析每個車燈都會發(fā)出遠光或近光。前照燈的配光應使其近光具有足夠的照明和不眩目，遠光具有良好的照明。二燈光測試：左、右燈投射的光束互相影響。汽車左、右前照燈之間的間距，

25、根據車型的不同，大約在0.91.5m之間。眾所周知，汽車前照燈光束，不是平行光，而是以一定角度發(fā)散投射出去的。根據實際觀察的結果，在同時開亮左右燈的情況下，在距離前照燈3m遠處，左燈近光光束右側向上傾斜的亮區(qū)，與右燈近光光束左側水平線上的暗區(qū)產生重疊現象。這種重疊現象在前照燈發(fā)光強度比較好的情況下更為明顯。這種重疊現象，使得右燈的近光光束的暗區(qū)不暗哦，給右燈近光光束的明暗截止線水平部分的準確判別以及明暗截止線拐點的準確判別都帶來不可避免的不良影響。而在距離前照燈1m處，則不會出現這種重疊現象。所以在測試近光時，測試屏應在距離前照燈1m處。八參考文獻1 荊工 史爾 應用光學 國防工業(yè)出版社 19

26、732 呂林根 許子道 解析幾何（第三版） 高等教育出版社 19873 網址 :/ ：1568 4 云舟工作室 Matlab數學建?；A教程 人民郵電出版社 2001附錄1p=10000000;m1=0;q=0,0;c=0;flag=0;e=1;x2,y2=solve(x+(900*t+t*x2-t*y2)/(900+x2)/(405000-1800*t*x+1350*x2+x4+350*y2+2*x2*y2+y4)/(30*(900+x2+y2)/60)*(25015-(x2+y2)/60)-1300,y+2*t*x*y/(900+x2+y2)/(900+x2+y2

27、)/(405000-1800*t*x+1350*x2+x4+1350*y2+2*x2*y2+y4)/(30*(900+x2+y2)-(x2+y2)/60)*(25015-(x2+y2)/60); q2=0;n=length(x2);for i=1:n x(i)=x2(i);y(i)=y2(i);endfor i=1:n if imag(x(i)=0&imag(y(i)=0&(x(i)2+y(i)2)1296&f1(x(i),y(i),t,21.6)2+f2(x(i),y(i),t,21.6)21296a=x(i)-t,y(i),(x(i)2+y(i)2)/60-15;flag=flag+1;b=x(i),y(i),-30;r=norm(a,2); a=1/norm(a,2)*a;b=1/norm(b,2)*b;a=1/jcb(x(i),y(i),t);q2=q2+0.85*abs(g)*p*abs(a*b)/(4*pi*r2*abs(b*0,0.1); else endendm1=p/(4*pi*(13002+2500022)+q2;endp=10000000;c=0;m2=0;e=1;x2,y2=solve(x+(9000*t+t