【課件】5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課件（1）-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

1、5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義第一課時(shí)第一課時(shí)平均速度瞬時(shí)速度割線斜率切線斜率2( )4.94.811h ttt 2( )f xx問題1 高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度問題2 拋物線的切線的斜率拋物線的切線的斜率新課導(dǎo)入時(shí)間段時(shí)間段t0,t0+t內(nèi)的平均速度內(nèi)的平均速度當(dāng)當(dāng)t=t0時(shí)時(shí)的瞬時(shí)速度的瞬時(shí)速度000000)()()(lim)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfxxfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00函數(shù)圖象在點(diǎn)函數(shù)圖象在點(diǎn)P0(x0, f(x0)處的斜率處的斜率解決解決這這兩類問題時(shí)有什么共性？兩類問題時(shí)有什么共性？思考1平均速度瞬時(shí)

2、速度割線斜率切線斜率2( )4.94.811h ttt 2( )f xx問題1 高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度問題2 拋物線的切線的斜率拋物線的切線的斜率000000)()()(lim)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfxxfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00平均變化率平均變化率瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率都采用了由都采用了由“平均變化率平均變化率”逼近逼近“瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率”的思想方法的思想方法. .求極限求極限逼近逼近求極限求極限逼近逼近思考2 一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)yf (x)，你能用，你能用“平均變化率平均變化率”逼近逼近“瞬

3、瞬時(shí)變化率時(shí)變化率”的思想方法研究其在某點(diǎn)（如的思想方法研究其在某點(diǎn)（如xx0）處的）處的瞬時(shí)變化率嗎瞬時(shí)變化率嗎？為了研究函數(shù)為了研究函數(shù) yf (x) 在在 x x0 處的瞬時(shí)變化率，我們可以研究哪處的瞬時(shí)變化率，我們可以研究哪個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值的個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值的平均變化率呢平均變化率呢？新課講授自變量自變量 x 從從 x0 變化到變化到 這個(gè)過程中，這個(gè)過程中，函數(shù)值的平均變化率函數(shù)值的平均變化率如如何表示呢？何表示呢？0 xx00()()yf xxf xxx 自變量自變量x：0 x0 xxx函數(shù)值函數(shù)值y：0()f xx0()f x00()()yf xxf x 函數(shù) yf (x) 函數(shù)函數(shù)

4、yf (x) 從從 x0 到到 的的平均變化率平均變化率：0 xx函數(shù)函數(shù) yf (x)在在 xx0 處的瞬時(shí)變化率該如何表示呢？處的瞬時(shí)變化率該如何表示呢？逼近取極限瞬時(shí)速度切線斜率2( )4.94.811h ttt 2( )f xx問題1 高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度問題2 拋物線的切線的斜率拋物線的切線的斜率000000)()()(lim)(tttthtthtvtxxfxxfkx)()(lim0000瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率00()()yf xxf xxxx00 x0 xx 無限趨近于無限趨近于？無限趨近于函數(shù) yf (x) 逼近取極限(0)(0)|.yfxfxxxx考查考查 f

5、 (x)| x | 在在 x0 附近的變化情況附近的變化情況.舉反例：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0 x 0 x 1.yxxx 1.yxxxxyx當(dāng)當(dāng) 無限趨近于無限趨近于0時(shí)，平均變化率時(shí)，平均變化率 是否一定會(huì)無限趨近于一是否一定會(huì)無限趨近于一個(gè)確定的值呢？個(gè)確定的值呢？不一定導(dǎo)數(shù)（瞬時(shí)變化率）定義：如果如果當(dāng)當(dāng) 無限趨近于無限趨近于 0 時(shí)，平均變化率時(shí)，平均變化率 無限趨近于一個(gè)確定的無限趨近于一個(gè)確定的值，值，即即 有極有極限限，則，則稱稱_，并把這個(gè)確定的值叫做并把這個(gè)確定的值叫做_(也稱為也稱為_ ) ，記作記作_或或_. 用用極限符號極限符號表示這個(gè)定義，就是表示這個(gè)定義，就是

6、_ xyxyx0()fx0|x xy00000()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).y f (x) 在在x x0處處可導(dǎo)瞬時(shí)變化率 y f (x) 在在xx0處的處的導(dǎo)數(shù)思考3 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，你能用導(dǎo)數(shù)來重述跳水運(yùn)動(dòng)員速度問題根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，你能用導(dǎo)數(shù)來重述跳水運(yùn)動(dòng)員速度問題和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？平均速度瞬時(shí)速度割線斜率切線斜率2( )4.94.811h ttt 2( )f xx問題1 高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的速度問題2 拋物線的切線的斜率拋物線的切線的斜率000000)()()(li

7、m)(tttthtthtvttthtthv)()(00 xxfxxfkx)()(lim0000 xxfxxfk)()(00實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)可以描述許多運(yùn)動(dòng)變化事物的瞬時(shí)變化率. 比如效率、國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長率等. 例題1 設(shè)設(shè) ，求，求1( )f xx(1).f 分析：分析： 因?yàn)橐驗(yàn)?0000()()()limlim,xxf xxf xyfxxx 所以所以00(1)(1)(1)limlim.xxyfxffxx 為了便于計(jì)算，我們可以先求出為了便于計(jì)算，我們可以先求出 ，再對它取極限，再對它取極限.yx例題鞏固解：(1)(1)yfxfxx111xx1.1x 001(1)limlim()1xxyfx

8、x 1. 思考4 你能總結(jié)出你能總結(jié)出求函數(shù)求函數(shù)yf (x)在在 xx0 處導(dǎo)數(shù)處導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？的步驟嗎？例題1 設(shè)設(shè) ，求，求1( )f xx(1).f 例題鞏固求函數(shù)求函數(shù)yf (x)在在 x1處導(dǎo)數(shù)處導(dǎo)數(shù)求求y| x1查看導(dǎo)數(shù)定義，思考題目還可以怎么表述？第一步，寫出寫出 并化簡；并化簡；00()()f xxf xyxx第二步，求極限求極限 ， 若若 存在，則存在，則0limxyx 0limxyx 00()lim.xyfxx 思考4 你能總結(jié)出求函數(shù)你能總結(jié)出求函數(shù)yf (x)在在 xx0 處導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？處導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？2( )715 (0 8).yf xxxx 這個(gè)實(shí)際問題與導(dǎo)數(shù)有

9、什么關(guān)系？這個(gè)實(shí)際問題與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？例題2 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱原油進(jìn)行冷卻和加熱. 已知在第已知在第 x h時(shí)，原油的溫度（單位：時(shí)，原油的溫度（單位：）為）為 計(jì)算第計(jì)算第2 h與第與第6 h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義的意義.例題鞏固導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).解：解： 在在第第2h和和第第6h時(shí)，時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率原油溫度的瞬時(shí)變化率就是就是 和和(2)f (6).f (2)(2)yfxfxx22(2)7(2) 15(27 2 1

10、5)xxx 3,x 00(2)limlim(3)xxyfxx 所以所以3. 因?yàn)橐驗(yàn)橥?，同理?6)5.f 在本題中 是原油溫度在時(shí)刻 x0 的瞬時(shí)變化率，它反映的是原油溫度在時(shí)刻 x0 附近的變化情況.00() (08)fxx 表示在第2h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為3/h. 這說明在第2h附近，原油溫度大約以3/h的速率下降. (2)3f 導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為負(fù)，體現(xiàn)了下降的變化趨勢. (6)5f (2)3f 和和 在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？ 表示在第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為5/h，這說明在第6h附近，原油溫度大約以5/h的速率上升.(6)5f 導(dǎo)數(shù)

11、(瞬時(shí)變化率)為正，體現(xiàn)了上升的變化趨勢. 瞬時(shí)加速度就是速度的瞬時(shí)變化率.例題3 一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車的速度時(shí)汽車的速度（單位：（單位：m/s）為）為 yv(t)t26t60，求汽車在第，求汽車在第2s與第與第6s時(shí)時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義.例題鞏固 速度與瞬時(shí)加速度的關(guān)系是什么？速度與瞬時(shí)加速度的關(guān)系是什么？解：在第2s和第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度就是 和(2)v(6).v(2)(2)yvtvtt22(2)6(2)60( 26 260)ttt 2,t 00(2)limlim(2)ttyvtt 所以2.因?yàn)橥恚?6)6.v 在本題中 是 t0時(shí)刻汽車的瞬時(shí)加速度，反映了速度在 t0時(shí)刻附近的變化情況.00( ) (0)v tt 表示在第2s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度是2m/s2，這說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s. (2)2v導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為正，體現(xiàn)了增加的變化趨勢. (6)6v (2)2v 和和 在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？ 表示在第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度是-6m/s2，這說明在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少6m/s. (6)