加菲爾德勾股定理

1、總統(tǒng)思考的思考【趣聞】：在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討。由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么。只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形。于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟墒裁矗恐灰?jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀。”小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三

2、角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又說(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)?！弊C法。 例1：如圖所示，這是美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理時(shí)所采用的

3、圖形，是用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形拼出一個(gè)梯形借助這個(gè)圖形，你能用面積法來(lái)驗(yàn)證勾股定理嗎？例2：如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為_(kāi). 例3：（2010望城縣模擬）在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S2+S3+S4=_. 例4：如圖1，等腰直角ABC的直角頂點(diǎn)B在直線l上，A、C在直線l的同側(cè)過(guò)A、C作直線l的垂線段AD、CE，垂足為D、E（1）請(qǐng)證明AD+CE=DE（2）如圖2，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的線段GH的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為G（

4、3，3），H（0，1）將線段GH繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段 KH求點(diǎn)K的坐標(biāo)（3）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)P（a，b）、M（-2，1），將點(diǎn)P繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)Q，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo) （1）證明：ABC是等腰直角三角形，AB=BC，ABC=90，ADl，CEl，ADB=BEC=ABC=90，DAB+DBA=90，DBA+CBE=90， DAB=CBE，ADBBEC，AD=BE，DB=EC，又DE=DB+BE，DE=AD+CE； （2）解：過(guò)G、H作y軸的垂線段GG、KK，垂足為G、K，G（3，3），H（0，1），GG=3，GO=3，HO=1，GH=3-1=2，根據(jù)（1）同理可得KK

5、=GH=2，KH=GG=3，KO=KH-HO=3-1=2，點(diǎn)K在第四象限點(diǎn)K的坐標(biāo)為（2，-2）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1-b，3+a）例5: 如圖1，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論圖2中的ABC與AEF的面積相等嗎？（不用證明）拓展延伸1、如圖4，ABC中，AGBC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

6、由 2、（山東菏澤2012）如圖，一次函數(shù)的圖像分別與軸、軸交于點(diǎn)、，以線段為邊在第一象限內(nèi)作等腰,.求過(guò)、兩點(diǎn)直線的解析式.xyOABC備用1. 直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C置于直線l上，AC=BC，現(xiàn)過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E，（1）請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并寫(xiě)出證明過(guò)程；（2）若BE=3，DE=5，求出AD的長(zhǎng)解：（1）ACDCBE理由如下： ADCE，BECE，ADC=CEB=90，又ACB=90，ACD=CBE=90-ECB在ACD與CBE中，ADCCEB，ACDCBE，ACDCBE（AAS）；（2）ACDCBE，CD=BE=3，AD=CE，又CE=CD+DE=3+5=8，AD=82、如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？ADEBC第2題圖16下列圖、中陰影分別三所作正多形；圖中陰影分別三直徑所