平面直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的探索與聯(lián)系

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載平面平面直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的探索與聯(lián)系初 2015 級 6 班杜晨喆張昊晗參考書目：微積分（翻譯版·原書第 9 版） 機(jī)械工業(yè)出版社（ 2011 年 8 月第1版）數(shù)學(xué)·選修 4-4 北京師范大學(xué)出版社（2007 年 5 月第 2 版）八年級數(shù)學(xué)上冊第三章北師大版北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，（ 2013 年 6 月印制）九年級數(shù)學(xué)下第一章北師大版北京師范大學(xué)出版集團(tuán)在學(xué)習(xí)完位置與坐標(biāo)一章后，我們認(rèn)識了平面直角坐標(biāo)系，學(xué)會了利用平面直角坐標(biāo)系來確定平面上點(diǎn)的位置。 而我和張昊晗同學(xué)在課下討論時， 萌生了一個想法： 我們學(xué)過的在平面內(nèi)表示點(diǎn)的位置不是還有一種“極坐

2、標(biāo)定位法”嗎？能否順著“極坐標(biāo)定位法”的想法來創(chuàng)造一種坐標(biāo)系呢？在好奇心的驅(qū)使下， 我們開始了進(jìn)一步創(chuàng)新與探究。一、建立極坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)表示：首先我們觀察圖1 ：學(xué)習(xí)好資料歡迎下載圖 1點(diǎn)的位置如圖 1 所示， B 點(diǎn)在 A 點(diǎn)的北偏東 45 o方向上，距點(diǎn) A 為 1.6 千米；點(diǎn) C 在點(diǎn) A 的北偏西 75 o方向上，距點(diǎn) A 為 2 千米。如此看來，利用方位角和距離也可確定平面上點(diǎn)的坐標(biāo)。所以，我們產(chǎn)生了如下想法：如圖 2 ，在平面內(nèi)取一個定點(diǎn) O，叫做原點(diǎn)，從點(diǎn) O 引一條射線 Ox ，規(guī)定右邊為正方向，選定一個單位長度，以逆時針為角的正方向，這樣建立起了一個坐標(biāo)系。我們稱之為極坐

3、標(biāo)系。既然坐標(biāo)系建立了， 那么極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)如何表示呢？根據(jù)極坐標(biāo)定位法的思想，我們規(guī)定：對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M ，用 a表示 M 到原點(diǎn)的距離（即線段OM 的長），用表示MOx 的角度，學(xué)習(xí)好資料歡迎下載那么點(diǎn) M 的坐標(biāo)即可表示為（ a，）。當(dāng)點(diǎn) M 在原點(diǎn)上時，它的坐標(biāo)為（ 0 ，）（為任意角度數(shù)）。例如，在圖 3 中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 2,60 o），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 1 ，180 o），點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 3,300 o）。圖 3極坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)在用極坐標(biāo)表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置時， 我們驚奇的發(fā)現(xiàn)： 對于極坐標(biāo)系內(nèi)任何一個點(diǎn)， 都有無數(shù)組坐標(biāo)與它對應(yīng)； 但對于每一個坐標(biāo)而言，有

4、且只有一個點(diǎn)與它對應(yīng)！例如，在圖 3 中，由于我們規(guī)定了逆時針為角的正方向， 即角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)為正角， 順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角。所以點(diǎn) A 的坐標(biāo)如果用負(fù)角表示，應(yīng)為（ 2 ，-300 o）。而角的終邊可以旋轉(zhuǎn)無限大，因此，點(diǎn) A 的坐標(biāo)還可表示為（ 2,420 o），（2 ，780 o），（2 ，-660 o），（2 ，-1020 o）等等。那么我們又想到兩個問題：這些坐標(biāo)都表示同一個點(diǎn)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不變，那么角度數(shù)有什么規(guī)律？有沒有一種情況下， 極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與其坐標(biāo)形成一一對應(yīng)的關(guān)系呢？我們先來看看第一個問題。 由于我們規(guī)定了角的正負(fù)， 所以我們學(xué)習(xí)好資料歡迎下載分兩種情況討論：當(dāng)為正角

5、時和當(dāng)為負(fù)角時。（1 ）當(dāng)為正角時，以點(diǎn) A 的坐標(biāo)為例，觀察其角度數(shù)：60 o，420 o，780 o，1140 o ，不難發(fā)現(xiàn)，60 o=360 o×0+60 o，420 o=360 o×1+60 o，780 o=360 o×2+60 o，1140 o=360 o×3+60 o 。因此，我們可以歸納出當(dāng)為正角時，（a，360 o·k ?+）（k ?0 且 k ?為整數(shù)）表示同一個點(diǎn)。（ 2 ）當(dāng)為負(fù)角時，我們?nèi)砸渣c(diǎn) A 的坐標(biāo)為例，觀察其角度數(shù)：-300 o，-660 o，-1020 o ，不難發(fā)現(xiàn)： -300 o=360 o×（

6、-1 ）+60o，-660 o=360 o×（-2 ）+60 o，-1020 o=360 o×（-3 ）+60 o 。所以，我們歸納出當(dāng)為負(fù)角時，（a，360 o×k ?+）（k ?為負(fù)整數(shù)）表示同一個點(diǎn)。以上是角度數(shù)的規(guī)律。綜上所述，我們不難得出：（ a，），（a，360 o·k+ ）（k 為整數(shù)）表示同一個點(diǎn)。我們再來看第二個問題。 首先我們可以肯定的是： 如果要形成一一對應(yīng)的關(guān)系，因?yàn)?a 表示某點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以 a 必須為非負(fù)數(shù)。那么角度數(shù)呢？那就必須限定角的正負(fù)， 我們規(guī)定逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為正，順時針旋轉(zhuǎn)的角度為負(fù)。當(dāng)角度為正時，我們就可以

7、得出角度數(shù)的取值范圍： 0o360 o；當(dāng)角度為負(fù)時，那么我們也可以得出角度數(shù)的取值范圍： -360 o0o。因此，當(dāng) a0 ，0o360 o或 -360 o0o時，極坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)形成一一對應(yīng)的關(guān)系。二、點(diǎn)的極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的互化：學(xué)習(xí)好資料歡迎下載我們已經(jīng)用極坐標(biāo)表示出了平面內(nèi)點(diǎn)的位置， 那我們學(xué)過的還有一種表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置的方法： 平面直角坐標(biāo)系。 那么疑問也隨之而來：如何將極坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)？又如何將平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)呢？首先，在同一平面內(nèi)， 我們同時建立一個平面直角坐標(biāo)系和一個極坐標(biāo)系（如圖 4 ），使它們的原

8、點(diǎn)重合。那么，對于平面內(nèi)任意一點(diǎn) P，它的平面直角坐標(biāo)為（ x ，y），它的極坐標(biāo)為（ a，）。如果限定 a0,0 o360 o，平面內(nèi)點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)是一一對應(yīng)的。很顯然，我們可以發(fā)現(xiàn)：在Rt AOP 中，OP2=OA 2+AP 2=x 2+y2=a 2所以我們可得出a 與 x，y 的關(guān)系式為：a2=x 2+y2那么對于來說，在 Rt AOP 中，銳角的度數(shù)已經(jīng)確定，那學(xué)習(xí)好資料歡迎下載么 AP/OA的值也已經(jīng)確定。即：tan = AP = yOAx這樣，我們就得出了將點(diǎn)P 平面直角坐標(biāo)（ x ，y ）轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)（ a，）的關(guān)系式為：a2=x 2+y2在此，我們查閱了初三數(shù)學(xué)課本第

9、一章三角函數(shù)章節(jié)的內(nèi)容，我們知道了用三角函數(shù)可以把角度與線段巧妙的結(jié)合起來，在此，我們延展到函數(shù)值根據(jù)其坐標(biāo)的正負(fù)也可以為正或負(fù)，因此我們得到：tan = y （x 0）x因?yàn)槲覀冊试S三角函數(shù)值隨著這個點(diǎn)坐標(biāo)的變化而產(chǎn)生的比值可以為正或負(fù)，所以同樣可以得出以下算式：sin = xcos =aya而 OP 的值已經(jīng)確 定是 a，那么我們就可以表示出點(diǎn) P 極坐標(biāo)（a，）轉(zhuǎn)化成平面直角坐標(biāo)（ x，y）的關(guān)系式為：x=a ·cos y=a ·sin 通過上面兩組關(guān)系式， 我們就可以任意的將點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)和點(diǎn)的極坐標(biāo)進(jìn)行互化。下面我們對得到的結(jié)論加以進(jìn)一步驗(yàn)證和運(yùn)用。1 、在極坐

10、標(biāo)系中，描出以下各點(diǎn)：A（3,60 o），B（3,30 o），C（3,90 o），D（3,180 o），E（3,270學(xué)習(xí)好資料歡迎下載o），并說明這 5 個點(diǎn)有什么關(guān)系。分析：在極坐標(biāo)系內(nèi)描出這五個點(diǎn)，觀察它們的坐標(biāo)后發(fā)現(xiàn)：它們距原點(diǎn)的距離都相等；從圖形的角度看，他們都在以原點(diǎn)為圓心，以 3 為半徑的圓上。解：點(diǎn) A，B ，C，D ，E 即為所求作。從坐標(biāo)上看，它們距原點(diǎn)的距離都相同；從圖形上看， 他們都在以原點(diǎn)為圓心， 以 3 為半徑的圓上。2 、將下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化成平面直角坐標(biāo)：（ 1 ）A（2,60 o）（ 2 ）B（4,30 o）學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（ 3 ）C（4,45 o）解：（1 ） x=2cos60 o=2 × 1 =12y=2sin60 o=2 × 3 = 32點(diǎn) A 的平面直角坐標(biāo)為（ 1 ，3 ）（2